Système différentiel : orbites

Version PDF

Oral

On dispose de (U, V, X_0, \lambda) \in \left(\mathfrak{M}_{n,1}(\mathbb{R})\right)^3 \times \mathbb{R}. On considère alors A {\overset{ {\text{déf}}}{=}}\lambda I_n + U{}^tV et le système différentiel \left\{ \begin{array}{lcll} Y' & = & AY \\ Y(0) & = & X_0 \end{array}\right. \hspace{1em}\big(S_{U, V, X_0, \lambda}\big)

  1. Résoudre tous les problèmes de Cauchy correspondants.

  2. Quels sont les sous-espaces de \mathfrak{M}_{n,1}(\mathbb{R}) de dimension minimale qui contiennent l’orbite \Omega_{X_0} passant par X_0 ?

  3. Donner une CNS sur (U, V, \lambda) pour que l’orbite \Omega_{X_0} soit bornée.

  4. Donner une CNS sur (U, V, \lambda) pour que l’orbite \Omega_{X_0} soit bornée sur \mathbb{R}_{+}.

  1. Soit X \in (\mathfrak{M}_{n,1})^{\mathbb{R}} vérifiant \big(S_{U, V, X_0, \lambda}\big), soit t \in \mathbb{R}. On pose B {\overset{ {\text{déf}}}{=}}U {}^t V. \begin{align*} X(t) \, &= \, \operatorname{e}^{tA} X_0 \\ &= \, \operatorname{e}^{t\lambda I_n} \operatorname{e}^{t U {}^tV} X_0 && \text{(car } [\lambda I_n, U {}^tV] = 0 ) \\ &= \, \operatorname{e}^{t\lambda} \operatorname{e}^{t B} X_0\end{align*}

    Or, en posant \alpha {\overset{ {\text{déf}}}{=}}{}^t V U = \operatorname{Tr}(U {}^t V) = \left\langle V, U \right\rangle pour le produit scalaire euclidien canonique : \forall k \in \mathbb{N}^*, \, B^k = (U {}^t V)^k = \alpha^{k-1} U {}^t V = \alpha^{k-1} B d’où \operatorname{e}^{t U {}^tV} = I_n + \sum\limits_{k \geq 1} \frac{t^k \alpha^{k-1}}{k!} B = \begin{cases} \, I_n + \dfrac{\operatorname{e}^{t \alpha}-1}{\alpha} B & \mbox{si } \alpha \neq 0, \\ \, I_n + tB & \mbox{sinon.} \end{cases}

    Donc \forall t \in \mathbb{R}, \, \, X(t) = \begin{cases} \, \operatorname{e}^{\lambda t} X_0 + \operatorname{e}^{\lambda t} \dfrac{\operatorname{e}^{t \alpha}-1}{\alpha} \, B \, X_0 & \mbox{si } \alpha \neq 0, \\ \, \operatorname{e}^{\lambda t} X_0 + \operatorname{e}^{\lambda t} t B \, X_0 & \mbox{sinon.} \end{cases} {\hspace{1em} \circledast}

  2. Soit F un sous-espace de \mathfrak{M}_{n,1}(\mathbb{R}) tel que X_0 \in F.

    • Remarquons déjà que : F \supset \Omega_{X_0} \iff \begin{cases} \, X_0 \in F\\ \, B X_0 \in F \end{cases}       En effet : La condition est évidemment suffisante, et elle est nécessaire, puisque (avec t=1 dans \circledast) : \begin{cases} \, \underbrace{\operatorname{e}^{\lambda} X_0}_{\in F} + \underbrace{\operatorname{e}^{\lambda} \dfrac{\operatorname{e}^{ \alpha}-1}{\alpha}}_{\neq 0_\mathbb{R}} \, B \, X_0 \in F & \mbox{si } \alpha \neq 0, \\ \, \operatorname{e}^{\lambda} X_0 + \operatorname{e}^{\lambda} B \, X_0 \in F & \mbox{sinon.} \end{cases} d’où B X_0 \in F.
  • Minorons la dimension de F \supset \Omega_{X_0} :

  • Cas 1 : B = 0, i.e U = 0 ou V = 0

    (car B = \left([U]_i [V]_j\right)_{i,j \in ⟦ 1, n ⟧})    Alors le plus petit (pour l’inclusion) sous-espace contenant \Omega_{X_0} est \mathbb{R} X_0, et F \supset \mathbb{R} X_0 \, \text{, et } \, \dim F \geq 1

  • Cas 2 : B \neq 0, i.e U \neq 0 et V \neq 0 Remarquons que : B X_0 = U ({}^t V X_0) = \left\langle V, X_0 \right\rangle U Donc :

    • Sous-Cas 1 : X_0 \in \operatorname{Ker}B \, \overset{ U \neq 0}{=} \, (V)^\bot OU

    • Sous-Cas 2 : X_0 \in \mathbb{R} U    Dans les deux cas, il vient, de même, que : F \supset \mathbb{R} X_0 \, \text{, et } \, \dim F \geq 1

    • Sous-Cas 3 : X_0 \not\in \operatorname{Ker}B \cup \mathbb{R} U    Alors {\rm Vect}\left(X_0, B X_0\right) est un plan, d’où : F \supset {\rm Vect}\left(X_0, B X_0\right) \text{, et } \, \dim F \geq 2

  En conclusion : F \supset \Omega_{X_0} \iff \begin{cases} \, F \supset \mathbb{R} X_0 & \mbox{si } X_0 \in \operatorname{Ker}B \cup \mathbb{R} U, \\ \, F \supset \underbrace{ {\rm Vect}\left(X_0, B X_0\right)}_{\text{ c'est un plan}} & \mbox{sinon.} \end{cases}

  1. Si X_0 \in \mathfrak{M}_{n,1}\backslash\{0\}, on cherche une condition nécessaire et suffisante sur (U, V, \lambda) pour que l’orbite \Omega_{X_0} = \{\operatorname{e}^{t\lambda} \operatorname{e}^{t B} X_0 \}_{t \in \mathbb{R}} soit bornée.

    • On se débarrasse des cas triviaux :

      • Si n=1 : la CNS est \lambda = -B = -UV

      • Si B = 0 : comme \Omega_{X_0} = \left\{\operatorname{e}^{\lambda t} X_0\right\}_{t \in \mathbb{R}}, il faut et il suffit que \lambda = 0

     

  • Supposons que n \geq 2 et B \neq 0 :

    • Cas 1 : \alpha = \operatorname{Tr}(U {}^t V) \neq 0 :    B est diagonalisable, car annulée par le polynôme scindé à racines simples X(X-\alpha), et : il existe P = \Big(\begin{array}{c|c|c|c} C_1 & C_2 & \cdots & C_n \end{array}\Big) = \left( \begin{array}{c} \vphantom{\Big|}L_1 \\ \hline \vdots \\ \hline L_n \\ \end{array}\right) \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) telle que \begin{align*} \operatorname{e}^{t B} \, &= \, P \, \begin{pmatrix} 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & 0 & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \operatorname{e}^{t \alpha}\\ \end{pmatrix} \, P^{-1} \\ &= \, \Big(\begin{array}{c|c|c|c} 0 & \cdots & 0 & \operatorname{e}^{t \alpha} C_n \end{array}\Big) \, P^{-1} \\ &= \, \left( \begin{array}{c} \vphantom{\Big|}\operatorname{e}^{t \alpha} [C_n]_1 L_n \\ \hline \vdots \\ \hline \operatorname{e}^{t \alpha} [C_n]_n L_n \\ \end{array}\right) \, && \text{(non borné car } C_n \neq 0\text{ et } L_n \neq 0 ) \\\end{align*} Donc \Omega_{X_0} n’est pas bornée.

    • Cas 2 : \alpha = \operatorname{Tr}(U {}^t V) = 0 :    B n’est pas diagonalisable, car {\rm Sp}(B) = \{0\}, et, pour tout t \in \mathbb{R} : \operatorname{e}^{\lambda t} X_0 + \operatorname{e}^{\lambda t} t B \, X_0 \in \Omega_{X_0} donc \Omega_{X_0} n’est pas bornée.

  Finalement, si X_0 \in \mathfrak{M}_{n,1}\backslash\{0\} : \Omega_{X_0} \, \text{ est bornée} \iff \bigg(n=1 \, \text{ et } \, \lambda = -UV \bigg) \, OU \, \bigg(B=0 \, \text{ et } \, \lambda = 0 \bigg)

  1. Si X_0 \in \mathfrak{M}_{n,1}\backslash\{0\}, on veut que \Omega'_{X_0} {\overset{ {\text{déf}}}{=}}\{\operatorname{e}^{t\lambda} \operatorname{e}^{t B} X_0 \}_{t \in \mathbb{R}_{+}} soit bornée. On reprend les mêmes cas que précédemment :

      • Si n=1 : la CNS est \lambda \leq -B = -UV

      • Si B = 0 : il faut et il suffit que \lambda \leq 0

     

  • Supposons que n \geq 2 et B \neq 0 :

    • Cas 1 : \alpha = \operatorname{Tr}(U {}^t V) \neq 0 :    Il existe P = \Big(\begin{array}{c|c|c|c} C_1 & C_2 & \cdots & C_n \end{array}\Big) = \left( \begin{array}{c} \vphantom{\Big|}L_1 \\ \hline \vdots \\ \hline L_n \\ \end{array}\right) \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) telle que \begin{align*} \operatorname{e}^{t \lambda}\operatorname{e}^{t B} = \, \left( \begin{array}{c} \vphantom{\Big|}\operatorname{e}^{t (\lambda + \alpha)} [C_n]_1 L_n \\ \hline \vdots \\ \hline \operatorname{e}^{t (\lambda + \alpha)} [C_n]_n L_n \\ \end{array}\right) \, \\\end{align*} Donc \Omega_{X_0} est bornée si, et seulement si, \lambda + \alpha \leq 0

    • Cas 2 : \alpha = \operatorname{Tr}(U {}^t V) = 0 :    \operatorname{e}^{\lambda t} X_0 + \operatorname{e}^{\lambda t} t B \, X_0 \in \Omega_{X_0} et \Omega_{X_0} est bornée si, et seulement si, \lambda \leq 0 et \Big(X_0 \in \operatorname{Ker}B \text{ ou } \lambda \neq 0 \Big)

  Finalement, si X_0 \in \mathfrak{M}_{n,1}\backslash\{0\} : \Omega'_{X_0} \, \text{ est bornée} \iff \left\{ \begin{array}{l} \hspace{2.7em}n=1 \, \text{ et } \, \lambda \leq -UV \\ OU \hspace{1em}\, B=0 \, \text{ et } \, \lambda \leq 0 \\ OU \hspace{1em}\, \lambda \leq - \operatorname{Tr}(U {}^t V) \, \text{ et } \, \Big(\operatorname{Tr}(U {}^t V) \neq 0 \text{ ou } X_0 \in \operatorname{Ker}B \text{ ou } \lambda \neq 0 \Big) \\ \end{array}\right.

Leave a comment