Lemme : fonction uniformément continue qui admet une intégrale

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Soit f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}_{+}} : f est uniformément continue et f admet une intégrale sur \mathbb{R}_{+} \Rightarrow f(x) \underset{x\to \infty}{\longrightarrow} 0

Soit x \in \mathbb{R}, \epsilon > 0, et \eta > 0 un {\rm mcu}(f, \epsilon). On suppose que F {\overset{\small{\text{déf}}}{=}}\int\limits_{0}^{\bullet} f a une limite finie en +\infty.\ Pour tout t \in [x, x+\eta] :

-\epsilon \leq f(x) - f(t) \leq \epsilon

d’où, en intégrant sur [x, x+\eta] et en divisant par \eta :

-\epsilon \leq f(x) - \, \frac{1}{\eta} \underbrace{\int_x^{x + \eta} f}_{= \, F(x+\eta) - F(x)} \leq \epsilon Or :

F(x+\eta) - F(x) \underset{x\to \infty}{\longrightarrow} 0 \hspace{1em} (par abus de notation, en “libérant” x).

Donc

f(x) \underset{x\to \infty}{\longrightarrow} 0.

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