Lemme : fonction uniformément continue qui admet une intégrale

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Soit \(f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}_{+}}\) : \(f\) est uniformément continue et \(f\) admet une intégrale sur \(\mathbb{R}_{+}\) \(\Rightarrow\) \(f(x) \underset{x\to \infty}{\longrightarrow} 0\)

Soit \(x \in \mathbb{R}, \epsilon > 0\), et \(\eta > 0\) un \({\rm mcu}(f, \epsilon)\). On suppose que \(F {\overset{\small{\text{déf}}}{=}}\int\limits_{0}^{\bullet} f\) a une limite finie en \(+\infty\).
Pour tout \(t \in [x, x+\eta]\) :

\[-\epsilon \leq f(x) - f(t) \leq \epsilon\]

d’où, en intégrant sur \([x, x+\eta]\) et en divisant par \(\eta\) :

\(-\epsilon \leq f(x) - \, \frac{1}{\eta} \underbrace{\int_x^{x + \eta} f}_{= \, F(x+\eta) - F(x)} \leq \epsilon\) Or :

\(F(x+\eta) - F(x) \underset{x\to \infty}{\longrightarrow} 0 \hspace{1em}\) (par abus de notation, en “libérant” x).

Donc

\(f(x) \underset{x\to \infty}{\longrightarrow} 0\).