Motion of Objects in Contact
J. Hopcroft & G. Wilfong
Younesse Kaddar
Article étudié: Motion of Objects in Contact (J. Hopcroft & G. Wilfong, 1986)
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Introduction
De l’importance de la contractilité
I. Espace des configurations
II. Détermination de TOUCH
III. Connexité et contractilité
IV. Mayer-Vietoris
I. Introduction
Théorème principal
Article fondateur (1986):
-
premier pas pour poser les bases d’une théorie des transformations d’objets
-
démontre un théorème d’existence de mouvement en contact
Ce que nous avons vu en cours sous la forme:
“Dès qu’il y a un chemin dans l’espace libre, il y a un chemin au contact”.
Théorème principal (Hopcroft & Wilfong):
Il existe mouvement de rotations et de translations entre 2 configurations où les objets forment une composante connexe,
⟹ il existe un mouvement entre ces 2 configurations tel qu’à tout instant, les objets forment une composante connexe.
De l’importance de la contractilité
L’espace des configurations n’est pas contractile
⟹ le théorème ne s’applique pas
Espace des configurations
-
Objet: partie de ℝ^n
- convexe
- compacte
- égale à l’adhérence de son intérieur
- bornée par un nombre fini de surfaces algébriques
- Origine ⟶ position/l’orientation
-
Objet composé:
- plusieurs sous-objets ⟶ graphe des sous-objets sont qui s’intersectent
- base: son origine = celle de l’objet composé
-
Configuration: est un vecteur de position et d’orientation des objets
- ⟶ espace de configuration
- B(x) / b(x)
Intersection, Chevauchement, Toucher
Si x est une configuration, on dit que deux objets B_i, B_j:
| s’intersectent en x | si B_i(x) ∩ B_j(x) ≠ ∅ |
| se chevauchent en x | si \int(B_i(x)) ∩ \int(B_j(x)) ≠ ∅ |
| se touchent en x | si B_i(x) ∩ B_j(x) ≠ ∅ ∧ \int(B_i(x)) ∩ \int(B_j(x)) = ∅ |
Ensembles de configurations
| Ensemble | Configurations x en lesquelles |
|---|---|
| PROPER | chaque objet composé a un graphe associé connexe (objets composés connexes et configurations propres) |
| VALID | chaque objet composé est connexe et est tel que tous les sous-objets qui s’intersectent se touchent (configurations valides) |
| Ensemble | Configurations x valides telles qu’il existe (au moins) deux objets |
|---|---|
| INTERSECT | qui s’intersectent en x |
| OVERLAP | qui se chevauchent en x |
| TOUCH | qui se touchent en x |
| Ensemble | Configurations x propres telles que |
|---|---|
| BASE | la base d’un objet composé intersecte la base d’un autre |
Enfin, on pose
Pourquoi ?:
En ajoutant \BASE \not⊆ \VALID à \cl(\OVER), on rend\NON ∪ \FILL\\ = \NON ∪ \cl(\OVER) ∪ \BASEcontractile.
Détermination de TOUCH
Attention avec TOUCH
\TOUCH = \NON ∩ \cl(\OVER)
Esquisse de preuve:
-
Objets sont
- égaux à l’adhérence de leur intérieur (pour ⊆) - de même pour les composés, car \cl(\int(\bu)) préseve l’union finie
- compacts (pour ⊇)
⟹ on montre que
Par fermeture de \VALID:
Et enfin
Puis, comme
\TOUCH = \FILL ∩ \cl(\OVER)
Connexité et contractilité
Connexité par arcs
BASE et FILL sont connexes par arcs
Lemme: De toute configuration dans VALID (resp. BASE), il existe un chemin dans VALID (resp. BASE) vers une configuration dans BASE où les origines des objets composés coïncident.
Corollaire:
\FILL ∪ \NON = \BASE ∪ \VALIDest contractile (et donc connexe par arcs)
Mayer-Vietoris
La suite suivante est exacte:
\begin{align*}H_1(\FILL ∪ \NON) &{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_0(\FILL ∩ \NON)\\&{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_0(\FILL)\oplus H_0(\NON) \\& {\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_0(\FILL ∪ \NON) \\& {\xrightarrow {\partial _{*}}}\, \lbrace 0 \rbrace\end{align*}
où i, j, k, l sont les inclusions, \partial _{*} est défini à partir de l’opérateur bord
Intuitivement:
- l’homologie est l’ensemble des invariants topologiques de X, indiqués par des groupes d’homologie
- le k-ième groupe d’homologie H_{k}(X) a autant de copies de ℤ que X contient de "trous" de dimension k
Il vient que:
\Big(\underbrace{H_0(\FILL)}_{≃ ℤ}\oplus H_0(\NON)\Big)/\underbrace{\Im (i_{*},j_{*})}_{≃ \,H_0(\TOUCH)} \\≃ H_0(\FILL ∪ \NON) ≃ ℤ⟹ H_0(\NON) ≃ H_0(\TOUCH)
Puis, on déduit que chaque composante connexe de \NON contient une et une seule composante connexe de \TOUCH