Elimination des quantificateurs pour ACF, Types

Teacher: Tomas Ibarlucia

Corps algébriquement clos (ACF)

La théorie ACF contient (sur le langage des anneaux $ℒ ≝ \lbrace +, -, \cdot, 0, 1 \rbrace$)

  • les axiomes de corps
  • Un axiome pour chaque $n$: \(∀y_0, …, y_n. (y_n ≠ 0 → ∃ x; \; y_n x^n + ⋯ + y_1 x + y_0 = 0)\)
\[ACF_∀ = \text{théorie des anneaux intègres}\]

Si $D$ est un anneau intègre, alors

\[D \hookrightarrow \underbrace{\overline{Frac(D)}^{alg}}_{⊨ ACF}\]

Cette construction témoigne le fait que $ACF$ a des modèles algébriquement premiers.

Supposons $K ⊆ L$, $K, L$ algébriquement clos (AC).

Disons

\[L ⊨ φ(b, \overline{a}), \quad b ∈ L, \overline{a} ∈ K^{\vert \overline{y} \vert}, φ = φ(x, \overline{y}) \text{ s.q.}\]

On peut supposer que

\[φ(x, \overline{a}) = \bigwedge\limits_{i} p_i (x) = 0 ∧ \bigwedge\limits_{j} q_j (x) ≠ 0\]

où $p_i ∈ K[X], q_j ∈ K[X]$

Si l’un des $p_i$ est non nul, alors ses racines sont dans $K$ (i.e. $b ∈ K$).

Sinon, la formule $φ(x, \overline{a})$ est

\[\bigwedge\limits_{j} q_j (x) ≠ 0\]

Les $c$ qui ne satisfont pas cette formule sont les racines des $q_j$. Il en a un nombre fini.

Comme $K$ est infini (tout corps AC l’est: sinon, le polynôme $1+\prod\limits_{ a ∈ K } (X-a)$ n’a pas de racine), alors il y a bien dans $K$ un élément $x$ qui satisfait $φ(x, \overline{c})$.

Donc $ACF$ a l’EQ.

Corollaire: $ACF$ est fortement minimale.

Preuve:

Soit $K ⊨ ACF$. Toute $ℒ_K$-formule s.q. en une variable libre est combinaison booléenne d’équations $p_i(x) = 0$, pour $p_i ∈ K[X]$. Une telle équation

  • soit définit l’ensemble $K$ tout entier (si $p_i = 0$)
  • soit a un nombre fini de solutions

Soit $p ∈ ℙ ∪ \lbrace 0 \rbrace$ (un nombre premier ou zéro).

Soit $ACF_p$ la théorie des corps algébriquement clos de caractéristique $p$, i.e. $ACF$ augmentée par

  • Si $p > 0$ premier, l’axiome \(C_p: \underbrace{1 + ⋯ + 1}_{p \text{ fois}} = 0\)

  • Si $p=0$, les axiomes $¬ C_q$ pour chaque $q$ premier positif

Prop: Chaque théorie $ACF_p$ est complète et a l’EQ. De plus, celles-là sont toutes les complétions de $ACF$.

Preuve: Si on rajoute des axiomes à une théorie qui a l’EQ sans enrichir le langage, elle conserve l’EQ. Donc, chaque $ACF_p$ a l’EQ. Comme $𝔽_p$ (ou $ℚ$ si $p=0$) se plonge dans tout modèle de $ACF_p$, on obtient que $ACF_p$ est complète.

Finalement, si $ℳ ⊨ ACF$, alors

\[ℳ ⊨ \underbrace{ACF_{\vert M \vert}}_{\text{complète}}\]

donc $Th(ℳ) = ACF_{\vert M \vert}$ par complétude.

Applications

Rappel: Si $A$ est un anneau commutatif, un idéal propre de $A$ est une partie $I ⊆ A$ telle que

  • $I$ est un sous-groupe de $(A, +)$
  • si $p ∈ I$ et $a ∈ A$, $ap ∈ I$
  • $1 ∉ I$

Le cas qui nous intéresse est $A = K[X_1, …, X_n]$

Théorème (des zéros de Hilbert, version faible):

Soit $K$ un corps AC et soient $p_1, …, p_m ∈ K[X_1, …, X_n]$ des polynômes qui engendrent un idéal propre de $K[\overline{X}]$. Alors il existe $\overline{a} ∈ K^n$ tel que

\[p_i(\overline{a}) = 0 \qquad ∀ i = 1, …, m\]

Preuve: Soit $I$ l’idéal engendré par $p_1, …, p_m$. Soit $I’ \supseteq I$ un idéal propre maximal (par Zorn).

Alors $K[\overline{X}]/I’$ est un corps. Soit $L$ sa clôture algébrique. Alors on a $K ⊆ L$, et

\[K, L ⊨ ACF\]

Or:

\[L ⊨ \underbrace{∃ \overline{x} \; \bigwedge\limits_{i=1}^m p_i(\overline{x})=0}_{≝ \; φ}\]

à savoir, l’uplet

\[\overline{a} ≝ (X_1/I', ⋯, X_n/I')\]

satisfait

\[p_i(\overline{a}) = 0 \quad \text{ pour chaque } i\]

dans $L$.

Donc par $EQ$ (modèle complétude), comme les polynômes sont à coefficients dans $K$ (i.e. les paramètres de la formule $φ$ sont dans le petit modèle), on a

\[K ⊨ φ\]

Càd il existe $\overline{a’} ∈ K^n$ tq

\[p_i(\overline{a'}) = 0 \quad ∀ i = 1, …, m\]

$\square$

Rappel: Les ensembles de la forme

\[V \; ≝ \; \lbrace \overline{a} ∈ K^n \; \mid \; ∀ 1 ≤ i ≤ m, \; p_i(\overline{a}) = 0 \quad p_i ∈ K[\overline{X}]\rbrace\]

sont appelés des fermés de Zariski (a.k.a variétés algébriques).

Un ensemble dans $K^n$ est constructible s’il est combinaison booléeenne finie de fermés de Zariski.

Théorème de Chevalley: La projection d’un constructible de $K^n$ sur $K^m$ ($m < n$) est constructible.

Preuve: Soit $X ⊆ K^n$ constructible. Soit $π: K^n ⟶ K^m$ la projection aux premières $m$ coordonnées.

Alors

  • $X$ est définissable
  • \[π(X) = \lbrace (x_1, …, x_m) ∈ K^m \; \mid \; ∃ x_{m+1}, …, x_n, \underbrace{\overline{x}}_{= (x_1, …, x_n)} ∈ X \rbrace\]

NB: constructible = $K$-définissable s.q.

On voit que $π(X)$ est $K$-définissable. Par EQ, il est constructible.

Autre exemples

\[Th(ℝ, <, +, -, \cdot, 0, 1)\]

a l’EQ.

En fait, elle est égale à la théorie des “corps réels clos ordonnés”. Elle est $o$-minimale.

Types et espaces de types

Déf: Soient $ℳ$ une $ℒ$-structure, $A ⊆ M$ une partie, et $\overline{x}$ un uplet de variables.

Un type partiel sur $A$ dans les variables $\overline{x}$ (dans la structure $ℳ$):

est un ensemble \(π(\overline{x}) ⊆ (ℒ_A)_{ω, ω}\) de $ℒ_A$-formules à variables libres dans $\overline{x}$ qui est finiment satisfaisable dans $ℳ$.

NB: i.e. si $\overline{x}$ est fini: pour tous $φ_1(\overline{x}), …, φ_n(\overline{x}) ∈ π(\overline{x})$:

\[ℳ ⊨ ∃ \overline{x} \, \bigwedge\limits_{i=1}^n φ_i(\overline{x})\]
Un type (ou type complet) sur $A$ dans les variables $\overline{x}$ (dans $ℳ$):

est un type partiel (sur $A$, etc…) qui est maximal pour l’inclusion.

NB: un type $π(\overline{x})$ est maximal ssi pour toute

\[φ= φ(\overline{x}) ∈ (ℒ_A)_{ω,ω}\]

soit $φ ∈ π(\overline{x})$, soit $¬φ ∈ π(\overline{x})$.

On dénote

$S_{\overline{x}}^ℳ(A)$ (ou simplement $S_{\overline{x}}(A)$):

l’ensemble de tous les types sur $A$ dans $\overline{x}$ dans $ℳ$

Si $\overline{x} = (x_1, …, x_n)$, on note $S_n^ℳ(A)$ (ou $S_n(A)$), et on appelle les types dans $\overline{x}$ des $n$-types.

Soit $T$ une $ℒ$-théorie, $\overline{x}$ un uplet de variables. Un $∅$-type (zéro-type) de $T$ dans les variables $\overline{x}$ est un type sur $∅$ dans les variables $\overline{x}$ dans un modèle de $T$.

On écrit $S_{\overline{x}}(T)$ pour l’ensemble de tels types, ou $S_n(T)$ si $\overline{x} = (x_1, …, x_n)$.

Exemples

Ex 0

  • Soit $\overline{x} = ()$ l’uplet vide, $A ⊆ ℳ$. $S_{\overline{x}}^ℳ(A) = S_0^ℳ(A)$ contient un seul élément, à savoir $Th(ℳ_A)$.

  • Maintenant si $T$ est une théorie, alors \(S_{\overline{x}}(T) = S_0(T) = \lbrace Th(ℳ) \; \mid \; ℳ ⊨ T\rbrace\) est l’espace des complétions de $T$.

Ex 1

$ℳ= (ℚ, <), A = ℤ$.

  • L’ensemble

    \[p(x) = \lbrace x > n \; \mid \; n ∈ ℤ\rbrace\]

    est un type partiel sur $A$. Il n’est pas satisfaisable dans $ℳ$ (et pas complet).

  • L’ensemble

    \[q(x) = \lbrace φ(x) ∈ (ℒ_ℤ)_{ω, ω} \; \mid \; ℳ ⊨ φ\left(\frac 1 2\right) \rbrace\]

    est un type complet. Il est réalisé par $1/2 ∈ M$.

Déf: Soient $ℳ, A ⊆ ℳ, \overline{b} ∈ M^{\vert \overline{x} \vert}$. Alors le type de $\overline{b}$ au-dessus de $A$ (dans $ℳ$) est:

\[tp(\overline{b}/A) = tp^ℳ(\overline{b}/A) \; ≝ \; \lbrace φ(\overline{x}) ∈ (ℒ_A)_{ω, ω} \; \mid \; ℳ ⊨ φ(\overline{b})\rbrace\]

Il s’agit d’un type complet.

Un type $p ∈ S_{\overline{x}}^ℳ(A)$ est dit réalisé (dans $ℳ$) s’il existe $\overline{b} ∈ M^{\vert \overline{x} \vert}$ tq

\[p = tp^ℳ(\overline{b}/A) \qquad \text{ on écrit } \overline{b} ⊨ p\]

Autrement, on dit que $p$ est omis dans $ℳ$.

Ex 1 (suite)

NB: \(1/3 ⊨ q(x)\)

En effet: il existe un automorphisme

\[σ ∈ \underbrace{Aut(ℚ/ℤ)}_{= Aut(ℚ_ℤ) \text{ avec la notation modèle théorique}}\]

(i.e. un automorphisme qui fixe tous les points de $ℤ$) tel que $σ(1/2) = 1/3$.

Donc, pour $φ(x) ∈ (ℒ_ℤ)_{ω,ω}$, on a

\[ℳ ⊨ φ(1/2) \quad \text{ ssi } \quad ℳ ⊨ φ(\underbrace{σ(1/2)}_{= 1/3})\]

donc

\[tp\left(\frac 1 2 / ℤ\right) = tp\left(\frac 1 3 / ℤ\right)\]

$σ$ est par exemple:

  • $σ(x) = x$ si $x ∉ ]0, 1[$

  • $σ$ croissante et bijective sur $]0, 1[$ envoyant $1/2$ sur $1/3$

\[ℳ \; ≝ \; (ℚ, <)\\ A = ℤ ⊆ ℚ\] \[q = tp(1/2 / ℤ) = \lbrace φ(x) \; \mid \; ℳ ⊨ φ(1/2) \rbrace\\ 1/3 ⊨ q\]

En fait, si $a ∈ ℚ$, $0 < a < 1$, alors \(a ⊨ q\)

Considérons le type partiel

\[q' = \lbrace 0 < x < 1 \rbrace\]

Ce n’est pas un type complet, mais presque: il n’a qu’une extension à un type complet dans $S_1(ℤ)$, à savoir $q$.

Soit $φ(x) ∈ ℒ_ℤ$ telle que $φ(x) ∉ q$.

Voyons que

\[q' ∪ \lbrace φ(x)\rbrace\]

n’est pas satisfaisable dans $ℳ$.

Pour cela, il suffit de voir que

\[ℳ ⊨ ∀ x \; (0 < x < 1 → \underbrace{¬φ(x)}_{∈ q})\]

Mais on a déjà vu (argument avec les automorphismes) que

\[ℳ ⊨ ∀ x \; (0 < x < 1 → ψ(x))\]

pour tout $ψ ∈ q$. Donc le type partiel $q’$ détermine complètement le type $q$.

De même, le type partiel

\[p \; ≝ \; \lbrace x > n \; \mid \; n ∈ ℤ \rbrace\]

admet une extension en un type $\widetilde p ∈ S_n(ℤ)$. On verra que cela découle de l’EQ pour $(ℚ, <)$.

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