Espace des types

Proposition: On se fixe $ℳ, \; A ⊆ M, \; \overline{x}, \; p = p(\overline{x})$ un ensemble de $ℒ_A$-formules.

  1. Si $𝒩 \succcurlyeq ℳ$, alors pour tout $\overline{b} ∈ M^{\vert \overline{x} \vert}$, on a \(tp^ℳ(\overline{b}/A) = tp^𝒩(\overline{b}/A) \quad \text{ et } \quad S_{\overline{x}}^ℳ(A) = S_{\overline{x}}^𝒩(A)\)

  2. On a $p ∈ S_{\overline{x}}(A)$ ssi il existe une extension élémentaire $𝒩 \succcurlyeq ℳ$ et un uplet $\overline{b} ∈ N^{\vert \overline{x} \vert}$ tq \(p = tp(\overline{b}/A)\)

  3. Il existe $𝒩 \succcurlyeq ℳ$ tq tout type dans $S_{\overline{x}}(A)$ est réalisé dans $𝒩$

Preuve:

0: Si $φ(\overline{x}) ∈ (ℒ_A)_{ω, ω}$, $\overline{b} ∈ M^{\vert \overline{x} \vert}$, alors

\[ℳ ⊨ φ(\overline{b}) \text{ ssi } 𝒩 ⊨ φ(\overline{b})\]

par élémentarité de l’extension.

De même, un ensemble de $ℒ_A$-formules est finiment satisfaisable dans $ℳ$ ssi il est finiment satisfaisable dans $𝒩$.

1:

$⟹$: Comme $p$ est finiment satisfaisable dans $ℳ$, la théorie

\[Diag_{el}(ℳ) ∪ p(\overline{c}) \qquad \text{ où } \overline{c} \text{ sont des constantes fraîches}\]

est consistante. Un modèle donne $𝒩 \succcurlyeq ℳ$ et $\overline{b} = \overline{c}^𝒩 ∈ N^{\vert \overline{x} \vert}$ tq

\[p = tp(\overline{b}/A)\]

$⟸$: clair.

2: Pour chaque $q ∈ S_{\overline{x}}(A)$, on ajoute au langage un uplet de constantes $\overline{c}_q$ et on considère

\[T' \; ≝ \; Diag_{el}(ℳ) ∪ \bigcup\limits_{q ∈ S_{\overline{x}}(A)} q(\overline{c}_q)\]

Alors $T’$ est finiment satisfaisable, d’où le résultat.

Ex 1 (suite)

$ℳ \; ≝ \; (ℚ, <), p \; ≝ \; \lbrace x > n \; \mid \; n ∈ ℤ\rbrace$

Soient $𝒩 \succcurlyeq ℳ$ et $b, b’ ∈ N$ tq

\[b ⊨ p \qquad \text{ et } \qquad b' ⊨ p\]

On prétend que

\[tp(b'/ℤ) = tp(b/ℤ)\]

NB: Un élément $b ∈ N$ réalise un type partiel $p$ (noté $b ⊨ p$) si $𝒩 ⊨ φ(b)$ pour tout $φ ∈ p$.

En effet, soit $φ(x) ∈ tp(b/ℤ)$. Alors par EQ de DLO, il existe une formule sans quantificateurs $ψ(x, \overline{a})$ où $\overline{a} ∈ ℤ^{\vert \overline{y} \vert}$ telle que

\[φ(x, \overline{a}) ≡_ℳ ψ(x, \overline{a})\]

(ou $φ(x) ≡_{ℳ_ℤ} ψ(x)$)

Donc $ψ(x, \overline{a})$ est combinaison booléenne de formules de la forme $x > n$ avec $n ∈ ℤ$. Comme $b$ et $b’$ satisfont les mêmes formules de cette forme, on a (puisque $𝒩 ⊨ φ(b)$):

\[𝒩 ⊨ φ(b') \qquad φ ∈ tp(b'/ ℤ)\]

Donc

\[tp(b/ℤ) = tp(b'/ℤ)\]

et on a bien que $p$ n’admet qu’une seule extension en un type complet sur $A$.

En fait, on peut décrire tous les types de $S_1^{(ℚ, <)}(ℤ)$. Ils sont donnés par:

  • $\lbrace x = n \rbrace$ pour $n ∈ ℤ$
  • $\lbrace x > n \; \mid \; n ∈ ℤ \rbrace$
  • $\lbrace x < n \; \mid \; n ∈ ℤ \rbrace$
  • $\lbrace n < x < n+1 \rbrace$ pour $n ∈ ℤ$

NB: \(\vert S_1^{(ℚ, <)}(ℤ) \vert = ℵ_0\)

En revanche, pour $S_1^{(ℚ, <)}(ℚ)$, on a la liste suivante:

  • Types réalisés: $p_q \; ≝ \; \lbrace x = q \rbrace$ pour $q ∈ ℤ$
  • Types donnés par des coupures de $ℚ$:
    • $p_{+∞} \; ≝ \; \lbrace x > q \; \mid \; q ∈ ℚ \rbrace$
    • $p_{-∞} \; ≝ \;\lbrace x < q \; \mid \; q ∈ ℚ \rbrace$
    • $p_r \; ≝ \; \lbrace q < x < q’ \; \mid \; q < r < q’, q, q’ ∈ ℚ\rbrace$ pour $r ∈ ℝ \backslash ℚ$
    • $p_{q^+} \; ≝ \; \lbrace q < x < q’ \; \mid \; ∀q’∈ ℚ; q’ > q \rbrace$ pour $q ∈ ℚ$
    • $p_{q^-} \; ≝ \; \lbrace q’ < x < q \; \mid \; ∀q’∈ ℚ; q’ < q \rbrace$ pour $q ∈ ℚ$

Une coupure de $(ℚ, <)$ est une partition

\[ℚ = L \, \sqcup \, R\]

telle que $l < r$ pour tous $l ∈ L, r ∈ R$.

Etant donnée une coupure $(L, R)$, on peut considérer :

\[P_{(L, R)} = \lbrace l < x < r \; \mid \; l ∈ L, r ∈ R\rbrace\]

et ceci est bien finiment satisfaisable, donc un type partiel.

Si $b ∈ N \backslash ℚ, 𝒩 \succcurlyeq (ℚ, <)$, alors

\[L = \lbrace q ∈ ℚ \; \mid \; q < b\rbrace \\ R = \lbrace q ∈ ℚ \; \mid \; b < q\rbrace\]

est une coupure de $ℚ$, et

\[b ⊨ P_{(L, R)}\]

NB: $DLO$ n’est pas stable:

\[\vert S_1^{(ℚ, <)}(ℚ) \vert = 2^{ℵ_0}\]

Soient $ℳ, A ⊆ M, \overline{a}, \overline{b} ∈ M^n$.

Alors

\[tp(\overline{a}/A) = tp(\overline{b}/A)\]

ssi il existe une extension élémentaire $𝒩 \succcurlyeq ℳ$ et $σ ∈ Aut(𝒩/A)$ tq

\[\begin{cases} σ \overline{a} = \overline{b} \\ σ c = c && ∀ c ∈ A \\ \end{cases}\]

Rappel: On avait montré que l’espace $S(T)$ des complétions de $T$ possède une topologie naturelle. De même, sur $S_{\overline{x}}^ℳ(A)$, on définit la topologie dont les ouverts de la base sont

\[[φ] \; ≝ \; \lbrace p ∈ S_{\overline{x}}^ℳ(A) \; \mid \; φ ∈ p\rbrace\]

pour $φ = φ(\overline{x}) ∈ (ℒ_A)_{ω, ω}$

Proposition: $S_{\overline{x}}^ℳ(A)$ est un espace Hausdorff compact 0-dimensionnel.

Preuve:

  • Si $p ≠ q$, il existe $φ ∈ p \backslash q$, donc $[φ]$ et $[¬ φ]$ séparent $p$ de $q$

  • Compact:

    \[S_{\overline{x}}^ℳ(A) = \bigcup\limits_{i ∈ I} V_i \qquad V_i \text{ ouverts}\]

    On sait que

    \[V_i = \bigcup\limits_{j ∈ J_i} [φ_{ij}] \qquad S_{\overline{x}}(A) = \bigcup\limits_{i,j} [φ_{ij}]\]

    Alors $\lbrace ¬ φ_{ij}(\overline{x})\rbrace_{i,j}$ n’est pas finiment satisfaisable dans $ℳ$, car sinon il serait un type partiel, donc contenu dans un type complet $p ∈ S_{\overline{x}}(A)$: contradiction car $p$ ne peut pas appartenir à un $[φ_{i,j}]$. Donc il existe un ensemble fini $I_0 × J_0$ tq

    \[ℳ ⊨ ¬ ∃ \overline{x} \, \bigwedge\limits_{(i,j)∈ I_0 × J_0} ¬ φ_{i,j} (\overline{x})\]

    càd

    \[ℳ ⊨ ∀ \overline{x} \, \bigvee\limits_{(i,j)∈ I_0 × J_0} φ_{i,j} (\overline{x})\]

    Alors si $\overline{b} ∈ N^{\vert x \vert}, 𝒩 \succcurlyeq ℳ$, il existe $(i_0, j_0) ∈ I_0 × J_0$ tq

    \[𝒩 ⊨ φ_{i_0, j_0}(\overline{b})\]

    Donc on a bien

    \[S_{\overline{x}}^ℳ(A) = \bigcup\limits_{(i,j) ∈ I_0 × J_0} [φ_{i,j}] = \bigcup\limits_{i ∈ I_0} V_i\]

  • Comme les ouverts basiques $[φ]$ sont aussi fermés, l’espace est $0$-dimensionnel (0-dimensionnel: totalement discontinu, pour les Hausdorff).

Ex 0,5

$S_1(T), S_2(T)$?

  • $T = DLO$:

    NB: $ℚ ⊨ ∀ x, y. (φ(x) \leftrightarrow φ(y))$

    On note $p_0$ le seul type qui étend $x=x$

    \[S_1(T) = \lbrace p_0 \rbrace\] \[S_2(T) = \lbrace r_0, r_1, r_2\rbrace\]

    où $\lbrace x=y\rbrace ⊆ r_0$, $\lbrace x < y\rbrace ⊆ r_1$ et $\lbrace x > y\rbrace ⊆ r_2$

  • $T = Th(ℕ), ℒ = ∅$:

    \[S_1(T) = 1\] \[S_2(T) = 2 = \lbrace q_0, q_1 \rbrace\]

    où $\lbrace x=y\rbrace ⊆ q_0$ et $\lbrace x ≠ y\rbrace ⊆ q_1$

  • $ℒ = ∅, S_1^ℕ(ℕ)$:

    • $\lbrace x=n\rbrace$ pour $n ∈ ℕ$
    • $\lbrace x ≠ n \; \mid \; n ∈ ℕ \rbrace$

    ⟶ c’est le compactifié d’Alexandrov de $ℕ$

Ex 2

$K ⊨ ACF, k ⊆ K \text{ un sous-corps}$

Alors la bijection continue

\[\begin{cases} S_n^K(k) &⟶ Spec(k[\underbrace{\overline{X}}_{= \; (X_1, …, X_n)}]) \\ p &⟼ I_p \end{cases}\]

où l’idéal premier $I_p$ est défini par

\[I_p \; ≝ \; \lbrace f ∈ k[\overline{X}] \; \mid \; "f(\overline{x}) = 0" ∈ p\rbrace\]

Corollaire: la théorie est $ω$-stable:

\[\vert S_n^K(k) \vert = \vert k \vert + ℵ_0\]

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