Lecture 1 : Capteurs et actionneurs

Planification de mouvement

Mouvement:

fonction continue du temps vers l’espace

A une configuration, on associe un point dans un espace.

Ex:

• Deux angles ⟶ un tore

Problème du déménageur de piano:

Peut-on aller d’un point à l’autre, étant donnés des obstacles sur le chemin ?

Tout mouvement admissible en 3D est un chemin sans collision pour un point dans l’espace des configurations.

Problème : transformer un problème de nature continue en un problème combinatoire ⟶ comment capturer la topologie de l’espace des configurations dans un graphe ?

⟹ Problème du déménageur de piano est décidable (cf. “On the piano mover 2”) ⟶ géométrie algébrique !!!

⟶ se ramène à une preuve de Tarski : l’algèbre élémentaire est décidable.

\[∃x ∈ ℝ, \; 3 x^2 - 7x + 18 = 0\]

⟹ pas de solution (cf. discriminant)

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\[∀t∈ℝ, ∃x∈ℝ, ∀z∈ℝ, ∃u ∈ ℝ, 3794 t^{37} x^2 - 7x+ 18 z u^{17} - 3794 z^{15} + 18 = 0\]

Tarski: il existe une fonction des coefficients du polynôme qui caractérise la résolubilité d’une equation polynomiale ⟹ l’algèbre élémentaire est décidable.

⟶ Naissance de la géométrie algébrique.

⟹ Faisable avec décomposition cylindrique algébrique, mais algo doublement exponentiel.

Puis: méthode de rétraction: algo simplement exponentiel

Problème du déménageur de piano: NP-difficile

Existence de mouvement en contact

Preuve: utilise de la topologie algébrique

Stratégie repose sur idée simple : pour aller de $A$ à $B$ :

1. aller en ligne droite
2. contourner les obstacles

Contournement de l’obstacle : on cherche un chemin homotope.

Th: Dès qu’il y a un chemin dans l’espace libre, il y a un chemin au contact

Ce théorème est vrai sur le cylindre, faux sur le tore (car on peut boucler).

Dès qu’on a une translation (comme dans le cylindre) ⟶ s’applique.

NB: Si l’espace libre a une seule composante connexe ⟶ n’importe quel problème du piano résolvable.

Théorème de Jordan: toute courbe fermée sépare le plan en deux composantes connexes.

Aller d’un point à un autre

Méthode des champs potentiels

Pour aller de $A$ à $B$:

• on dit que $A$ et $B$ sont des charges qui s’attirent
• les obstacles repoussent ces charges

On se dirige localement selon le gradient du potentiel.

Mais: attention aux minima locaux ⟶ méthode gloutonne, on peut se retrouver bloqué dans dans des minima locaux.

Empirisme

On tire des points au hasard dans l’espace et on essaie de trouver un chemin segmenté en passant par ces points.

Calcul de l’espérance: théorie de la percolation (“à partir de quel moment un tas de sable (dont on ajoute les grains un à un) va s’effondrer ?”).

Système non-holonomes

Tout mouvement admissible en 3D est un chemin sans collision pour un point dans l’espace des configurations.

• Pour les systèmes holonomes: la réciproque est vraie

• Pour les systèmes non-holonomes: la réciproque est fausse

Ex:

Voiture :

\[\frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \tan θ\\ \dot{x} \sin θ - \dot{y} \cos θ = 0\]

Montre :

\[\dot{x} = \frac 1 {12} \dot{y}\]

Espace intégrable: dimension de l’espace accessible est inférieure à la dimension de la variété de départ.

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