TD: La catégorie $PCoh$

1. Le produit monoïdal $\otimes$ de $PCoh$

NB: fonctions stables ⟶ on parle de traces des fonctions VS fonctions linéaires ⟶ on parle de traces de fonctions

Rappel: si $A$ et $B$ sont deux ECP:

• \[\vert A⊗B \vert = \vert A \vert × \vert B \vert\]
• \[P(A⊗B) ≝ \lbrace x⊗y \mid x∈P(A),y∈P(B) \rbrace^{⊥⊥}\]

1. Définir l’association $α_{A,B,C} : (A ⊗ B) ⊗ C → A ⊗ (B ⊗ C)$ et la commutation $γ_{A,B} : A ⊗ B → B ⊗ A$ de $⊗$ et argumenter sur le fait qu’ils sont des morphismes entre Espaces Cohérents Probabilistes (ECP)

Nous utiliserons la propriété suivante:

Prop: soient $A,B$ deux ECP tel que $P(A) = G^{⊥⊥}$ pour un quelque ensemble $G$. Une matrice $f ∈ ℝ_+^{\vert A \vert × \vert B \vert}$ est un morphisme de $A$ vers $B$ si, et seulement si, pour tout $x ∈ G$, $f(x) ∈ P(B)$.

\[\begin{align*} \big(α_{A,B,C}\big)_{\big((a, b), c)\big) \, , \, \big(a', (b', c')\big)} & ≝ δ_{a, a'} δ_{b, b'} δ_{c, c'} \\ \big(γ_{A,B}\big)_{(a, b), (b', a')} & ≝ δ_{a, a'} δ_{b, b'} \\ \end{align*}\]

Montrons qu’elles vérifient bien la propriété énoncée:

Pour $α_{A, B, C}$

\[\begin{align*} P((A ⊗ B) ⊗ C) &= \lbrace x⊗z \mid x∈P(A ⊗ B),z∈P(C) \rbrace^{⊥⊥}\\ &= \lbrace (x⊗y)⊗z \mid x∈P(A), y ∈P(B), z∈P(C) \rbrace^{⊥⊥}\\ \end{align*}\]

De même:

\[P(A ⊗ (B ⊗ C)) = \lbrace x⊗(y⊗z) \mid x∈P(A), y ∈P(B), z∈P(C) \rbrace^{⊥⊥}\]

Soit $(x⊗y)⊗z ∈ (A ⊗ B) ⊗ C$. Montrons que

\[α_{A, B, C}((x⊗y)⊗z) \overset{?}{∈} P(A ⊗ (B ⊗ C))\]

En effet:

\[\begin{align*} α_{A, B, C}((x⊗y)⊗z)_{a, (b, c)} & = \sum\limits_{ (a', b'), c' ∈ (A ⊗ B) ⊗ C} (α_{A, B, C})_{((a', b'), c'), (a, (b, c))} ((x⊗y)⊗z)_{(a', b'), c'} \\ & = ((x⊗y)⊗z)_{(a, b), c}\\ & = x_a y_b z_c \\ & = x⊗(y⊗z) ∈ P(A ⊗ (B ⊗ C)) \end{align*}\]

Pour $γ_{A, B}$

Soit $x⊗y ∈ A ⊗ B$. Montrons que

\[γ_{A, B}(x⊗y) \overset{?}{∈} P(B ⊗ A)\]

En effet:

\[\begin{align*} γ_{A, B}((x⊗y))_{(b, a)} & = \sum\limits_{ (a', b') ∈ (A ⊗ B)} (γ_{A, B})_{(a', b'), (b, a)} (x⊗y)_{(a', b')} \\ & = ((x⊗y))_{(a, b)}\\ & = x_a y_b \\ & = (y⊗x) ∈ P(B ⊗ A) \end{align*}\]

2. Définir l’unité $1$ du produit monoïdal $⊗$ et les isomorphismes $ρ : A ⊗ 1 ≃ A$ et $λ : 1 ⊗ A ≃ A$

• \[\vert 1 \vert = \lbrace \star \rbrace\]
• \[P(1) = [0, 1] ⊆ ℝ_+^{\lbrace \star \rbrace} ≃ ℝ_+\]

  • c’est l’enveloppe convexe et Scott-fermée de $1 ∈ ℝ_+$

  • les propriétés de couverture et le caractère borné sont immédiats

  • Bi-orthogonalité:

    \[[0, 1]^{⊥⊥} \overset{?}{=} [0, 1]\]

    En effet, car:

    \[[0, 1]^⊥ = [0, 1]\] \[[0, 1]^⊥ = \lbrace x ∈ ℝ_+ \mid ∀y ∈ [0, 1], ⟨x, y⟩ = x \cdot y ≤ 1 \rbrace = [0, 1]\]

Rappel: Dans les espaces cohérents: \(\underbrace{1^⊥}_{\text{unité du tenseur}} = \underbrace{⊥}_{\text{unité du parr}}\)

On a donc $⊢ ⊥$, mais ce n’est pas une incohérence: la vraie incohérence en logique linéaire, c’est $⊢ 0$ (ce qu’on n’a bien-sûr pas!)

\[λ_A: \begin{cases} 1 \otimes A &⟶ A \\ \underbrace{μ}_{∈ [0, 1]} \otimes x &⟼ μ x ∈ P(A) &&\text{ since } P(A) \text{ is Scott-closed, hence bottom-closed} \\ \end{cases}\\ (λ_A)_{(\star, a), a'} ≝ δ_{a, a'}\]

Même chose pour $ρ$.

2. Les exponentielles de $PCoh$

Pour $A ∈ ℂ$, $!A$ est un comonoïde (avec weakening et contraction):

\[1 \overset{w_A}{⟵} !A \overset{c_A}{⟶} !A \otimes !A\]

et une déréliction

\[!A \overset{d_A}{⟶} A\]

avec la propriété universelle suivante:

\[\begin{xy} \xymatrix{ !A \ar[r]^f \ar@{.>}[rd]_{f^\dagger} & B \\ & !B \ar[u]_{d_A} } \end{xy}\]

Exponentielle pour les ECP

• \[\vert !A \vert = \lbrace μ \mid μ \text{ multi-ensemble fini de } \vert A \vert\rbrace\]
• \[P(!A) ≝ \lbrace x^! ∈ ℝ_+^{\vert !A \vert} \mid x ∈ P(A) \rbrace^{⊥⊥}\]

où

\[x^!_μ ≝ \prod\limits_{ a ∈ \vert A \vert } x_a^{μ(a)}\]

NB: c’est comme ça qu’on définit les séries entières entre ECP: ce sont les fonctios linéaires de $P(!A) ⟶ P(B)$: $x_a^{μ(a)}$ est le monôme associé à $a ∈ \vert A \vert$.

1. Prouver que $!A$ est un espace cohérent probabiliste

Clôture par bi-orthogonal

Vient du fait que $X^{⊥⊥⊥} = X^⊥$

Couverture

\[∀μ ∈ \vert !A \vert, ∃z ∈ P(!A); z_μ > 0\]

Soit $μ ≝ [a_1, ⋯, a_n]$

Par couvertur de $P(A)$, pour tout $a_i$, il existe $x^i ∈ P(A)$ tel que

\[x_{a_i}^i > 0\]

Comme $A$ est convexe:

\[x ≝ \frac 1 n \sum\limits_{ i=1 }^n x^i ∈ P(A)\]

En posant $z ≝ x^!$:

\[z_μ = x_{a_1} × ⋯ × x_{a_n} ≥ \frac 1 {n^n} x_{a_1}^1 ⋯ x_{a_n}^n > 0\]

Caractère borné

\[∀ μ, ∃ λ_μ > 0, ∀ z ∈ P(!A), z_μ ≤ λ_μ\]

Si $μ ≝ [a_1, ⋯, a_n]$: il existe $λ_1, ⋯, λ_n$ tq

\[∀i, ∀x∈P(A), x_{a_i} ≤ λ_i\]

On pose

\[λ_μ = \prod\limits_{ i=1 }^n λ_i\]

Maintenant: pour tout $x ∈ P(A)$, on a bien:

\[x^!_μ ≤ λ_μ\]

D’où le fait que

\[\frac{1}{λ_μ} e_μ ∈ \lbrace x^! \mid x ∈ P(A) \rbrace^⊥\]

Et pour tout $z ∈ \lbrace x^! \mid x ∈ P(A) \rbrace^{⊥⊥}$,

\[⟨z, \frac 1 {λ_μ e_μ}⟩ ≤ 1\]

Donc $\frac{z_μ}{λ_μ} ≤ 1$, puisque c’est un terme du membre de gauche.

2. Déréliction

\[d_A: !A ⟶ A\\ (d_A)_{μ, a} ≝ δ_{μ, [a]}\]

Définition de $\bullet^\dagger$:

\[\begin{xy} \xymatrix{ !A \ar[r]^f \ar@{.>}[rd]_{f^\dagger} & B \\ & !B \ar[u]_{d_A} } \end{xy}\] \[(f^\dagger)_{μ, [b_1, ⋯, b_n]} ≝ \sum\limits_{ \substack{(μ_1, ⋯, μ_n) \\ \text{tq } μ = \bigsqcup_i μ_i} } \prod\limits_{ i=1 }^n f_{μ_i, b_i}\]

NB: similaire à la sémantique des espaces cohérents, où $\sum$ (resp. $\prod$) est un quantificateur existentiel (resp. universel).