TD: La catégorie $P C o h$

1. Le produit monoïdal $\otimes$ de $P C o h$

NB: fonctions stables ⟶ on parle de traces des fonctions VS fonctions linéaires ⟶ on parle de traces de fonctions

Rappel: si $A$ et $B$ sont deux ECP:

$| A \otimes B | = | A | \times | B |$
$P (A \otimes B) ≝ {x \otimes y ∣ x \in P (A), y \in P (B)}^{⊥⊥}$

1. Définir l’association $α_{A, B, C} : (A \otimes B) \otimes C \to A \otimes (B \otimes C)$ et la commutation $γ_{A, B} : A \otimes B \to B \otimes A$ de $\otimes$ et argumenter sur le fait qu’ils sont des morphismes entre Espaces Cohérents Probabilistes (ECP)

Nous utiliserons la propriété suivante:

Prop: soient $A, B$ deux ECP tel que $P (A) = G^{⊥⊥}$ pour un quelque ensemble $G$ . Une matrice $f \in ℝ_{+}^{| A | \times | B |}$ est un morphisme de $A$ vers $B$ si, et seulement si, pour tout $x \in G$ , $f (x) \in P (B)$ .

\begin{aligned} (α_{A, B, C})_{((a, b), c)), (a^{'}, (b^{'}, c^{'}))} & ≝ δ_{a, a^{'}} δ_{b, b^{'}} δ_{c, c^{'}} \\ (γ_{A, B})_{(a, b), (b^{'}, a^{'})} & ≝ δ_{a, a^{'}} δ_{b, b^{'}} \end{aligned}

Montrons qu’elles vérifient bien la propriété énoncée:

Pour $α_{A, B, C}$

\begin{aligned} P ((A \otimes B) \otimes C) & = {x \otimes z ∣ x \in P (A \otimes B), z \in P (C)}^{⊥⊥} \\ = {(x \otimes y) \otimes z ∣ x \in P (A), y \in P (B), z \in P (C)}^{⊥⊥} \end{aligned}

De même:

P (A \otimes (B \otimes C)) = {x \otimes (y \otimes z) ∣ x \in P (A), y \in P (B), z \in P (C)}^{⊥⊥}

Soit $(x \otimes y) \otimes z \in (A \otimes B) \otimes C$ . Montrons que

α_{A, B, C} ((x \otimes y) \otimes z) \overset{?}{\in} P (A \otimes (B \otimes C))

En effet:

\begin{aligned} α_{A, B, C} ((x \otimes y) \otimes z)_{a, (b, c)} & = \sum_{(a^{'}, b^{'}), c^{'} \in (A \otimes B) \otimes C} (α_{A, B, C})_{((a^{'}, b^{'}), c^{'}), (a, (b, c))} ((x \otimes y) \otimes z)_{(a^{'}, b^{'}), c^{'}} \\ = ((x \otimes y) \otimes z)_{(a, b), c} \\ = x_{a} y_{b} z_{c} \\ = x \otimes (y \otimes z) \in P (A \otimes (B \otimes C)) \end{aligned}

Pour $γ_{A, B}$

Soit $x \otimes y \in A \otimes B$ . Montrons que

γ_{A, B} (x \otimes y) \overset{?}{\in} P (B \otimes A)

En effet:

\begin{aligned} γ_{A, B} ((x \otimes y))_{(b, a)} & = \sum_{(a^{'}, b^{'}) \in (A \otimes B)} (γ_{A, B})_{(a^{'}, b^{'}), (b, a)} (x \otimes y)_{(a^{'}, b^{'})} \\ = ((x \otimes y))_{(a, b)} \\ = x_{a} y_{b} \\ = (y \otimes x) \in P (B \otimes A) \end{aligned}

2. Définir l’unité $1$ du produit monoïdal $\otimes$ et les isomorphismes $ρ : A \otimes 1 ≃ A$ et $λ : 1 \otimes A ≃ A$

$| 1 | = {⋆}$
$P (1) = [0, 1] \subseteq ℝ_{+}^{{⋆}} ≃ ℝ_{+}$
- c’est l’enveloppe convexe et Scott-fermée de $1 \in ℝ_{+}$
- les propriétés de couverture et le caractère borné sont immédiats
- Bi-orthogonalité:
  $[0, 1]^{⊥⊥} \overset{?}{=} [0, 1]$
  En effet, car:
  $[0, 1]^{⊥} = [0, 1]$ $[0, 1]^{⊥} = {x \in ℝ_{+} ∣ \forall y \in [0, 1], ⟨ x, y ⟩ = x \cdot y \leq 1} = [0, 1]$

Rappel: Dans les espaces cohérents: $\underset{unité du tenseur}{\underset{⏟}{1^{⊥}}} = \underset{unité du parr}{\underset{⏟}{⊥}}$

On a donc $⊢⊥$ , mais ce n’est pas une incohérence: la vraie incohérence en logique linéaire, c’est $⊢ 0$ (ce qu’on n’a bien-sûr pas!)

λ_{A} : {\begin{cases} 1 \otimes A & ⟶ A \\ \underset{\in [0, 1]}{\underset{⏟}{μ}} \otimes x & ⟼ μ x \in P (A) & since P (A) is Scott-closed, hence bottom-closed \end{cases} (λ_{A})_{(⋆, a), a^{'}} ≝ δ_{a, a^{'}}

Même chose pour $ρ$ .

2. Les exponentielles de $P C o h$

Pour $A \in ℂ$ , $! A$ est un comonoïde (avec weakening et contraction):

1 \overset{w_{A}}{⟵}! A \overset{c_{A}}{⟶}! A \otimes! A

et une déréliction

! A \overset{d_{A}}{⟶} A

avec la propriété universelle suivante:

! A f f^{†} B! B d_{A}

Exponentielle pour les ECP

$|! A | = {μ ∣ μ multi-ensemble fini de | A |}$
$P (! A) ≝ {x^{!} \in ℝ_{+}^{|! A |} ∣ x \in P (A)}^{⊥⊥}$

où

x_{μ}^{!} ≝ \prod_{a \in | A |} x_{a}^{μ (a)}

NB: c’est comme ça qu’on définit les séries entières entre ECP: ce sont les fonctios linéaires de $P (! A) ⟶ P (B)$ : $x_{a}^{μ (a)}$ est le monôme associé à $a \in | A |$ .

1. Prouver que $! A$ est un espace cohérent probabiliste

Clôture par bi-orthogonal

Vient du fait que $X^{⊥⊥⊥} = X^{⊥}$

Couverture

\forall μ \in |! A |, \exists z \in P (! A); z_{μ} > 0

Soit $μ ≝ [a_{1}, \dots, a_{n}]$

Par couvertur de $P (A)$ , pour tout $a_{i}$ , il existe $x^{i} \in P (A)$ tel que

x_{a_{i}}^{i} > 0

Comme $A$ est convexe:

x ≝ \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x^{i} \in P (A)

En posant $z ≝ x^{!}$ :

z_{μ} = x_{a_{1}} \times \dots \times x_{a_{n}} \geq \frac{1}{n^{n}} x_{a_{1}}^{1} \dots x_{a_{n}}^{n} > 0

Caractère borné

\forall μ, \exists λ_{μ} > 0, \forall z \in P (! A), z_{μ} \leq λ_{μ}

Si $μ ≝ [a_{1}, \dots, a_{n}]$ : il existe $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ tq

\forall i, \forall x \in P (A), x_{a_{i}} \leq λ_{i}

On pose

λ_{μ} = \prod_{i = 1}^{n} λ_{i}

Maintenant: pour tout $x \in P (A)$ , on a bien:

x_{μ}^{!} \leq λ_{μ}

D’où le fait que

\frac{1}{λ_{μ}} e_{μ} \in {x^{!} ∣ x \in P (A)}^{⊥}

Et pour tout $z \in {x^{!} ∣ x \in P (A)}^{⊥⊥}$ ,

⟨ z, \frac{1}{λ_{μ} e_{μ}} ⟩ \leq 1

Donc $\frac{z_{μ}}{λ_{μ}} \leq 1$ , puisque c’est un terme du membre de gauche.

2. Déréliction

\begin{matrix} d_{A} :! A ⟶ A \\ (d_{A})_{μ, a} ≝ δ_{μ, [a]} \end{matrix}

Définition de $∙^{†}$ :

! A f f^{†} B! B d_{A}

\begin{matrix} (f^{†})_{μ, [b_{1}, \dots, b_{n}]} ≝ \sum_{\begin{matrix} (μ_{1}, \dots, μ_{n}) \\ tq μ = ⨆_{i} μ_{i} \end{matrix}} \prod_{i = 1}^{n} f_{μ_{i}, b_{i}} \end{matrix}

NB: similaire à la sémantique des espaces cohérents, où $\sum$ (resp. $\prod$ ) est un quantificateur existentiel (resp. universel).

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1. Le produit monoïdal ⊗ de PCoh

1. Définir l’association αA,B,C:(A⊗B)⊗C→A⊗(B⊗C) et la commutation γA,B:A⊗B→B⊗A de ⊗ et argumenter sur le fait qu’ils sont des morphismes entre Espaces Cohérents Probabilistes (ECP)

Pour αA,B,C

Pour γA,B

2. Définir l’unité 1 du produit monoïdal ⊗ et les isomorphismes ρ:A⊗1≃A et λ:1⊗A≃A

2. Les exponentielles de PCoh