Probabilités : Loi hypergéométrique

Exercice

On considère une urne contenant $N$ boules avec une proportion $p$ de boules noires et une proportion $q = 1 - p$ de boules blanches. On effectue $n$ tirages sans remise supposés indépendants, et on appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de boules noires tirées à l’issue de ces $n$ tirages.

Calculer pour $k \in ⟦ 0, n ⟧, P (X = k)$ .

Vérifier que la loi obtenue est bien une loi de probabilité.

Calculer l’espérance et la variance de $X$ .

Soit $k \in ⟦ 0, n ⟧$ . Les éléments de $P (X = k)$ sont obtenus de la manière suivante : sur les $n$ boules tirées de l’urne ( $(\binom{N}{n})$ possibilités), $k$ sont noires ( $(\binom{N p}{k})$ possibilités), et $n - k$ sont blanches ( $(\binom{N q}{n - k})$ possibilités). En notant $N \overset{déf}{=} {n_{i}}_{i \in ⟦ 1, N p ⟧}$ (resp. $B \overset{déf}{=} {b_{j}}_{j \in ⟦ 1, N q ⟧}$ ) l’ensemble des boules noires (resp. blanches): la donnée d’un $ω \in P (X = k)$ correspond donc à celle d’un élément de $P_{k} (N) \times P_{n - k} (B) \subset ⋃_{m = 0}^{n} P_{m} (N) \times P_{n - m} (B) ≅ P_{n} (N \cup B)$ , et réciproquement. Donc $P (X = k) = \frac{(\binom{N p}{k}) (\binom{N q}{n - k})}{(\binom{N}{n})}$
$\begin{aligned} \sum_{k \geq 0} P (X = k) & = \sum_{k = 0}^{N} P (X = k) \\ = \frac{1}{(\binom{N}{n})} \sum_{k = 0}^{N} (\binom{N p}{k}) (\binom{N q}{n - k}) \\ = 1 & (considérer le coefficient de Y^{n} dans (Y + 1)^{N} = (Y + 1)^{N p} (Y + 1)^{N q}) \end{aligned}$
1. Calcul de $E (X)$ :
  - Méthode 1 : $\begin{aligned} E (X) & = \sum_{k = 0}^{n} k P (X = k) \\ = \frac{1}{(\binom{N}{n})} \sum_{k = 1}^{N} k (\binom{N p}{k}) (\binom{N q}{n - k}) \\ = \frac{1}{(\binom{N}{n})} \sum_{k = 1}^{N} N p (\binom{N p - 1}{k - 1}) (\binom{N q}{n - k}) \\ = \frac{N p}{(\binom{N}{n})} \sum_{k = 0}^{N - 1} (\binom{N p - 1}{k}) (\binom{N q}{n - 1 - k}) \\ = \frac{N p (\binom{N - 1}{n - 1})}{(\binom{N}{n})} & (de même que précédemment) \\ = n p \end{aligned}$
- Méthode 2 : Pour tout $k \in ⟦ 1, N p ⟧$ , en notant $A_{k}$ l’événement “on a tiré la boule noire $n_{k}$ ” : $X = \sum_{k = 1}^{N p} 1_{A_{k}}$ Les indicatrices $1_{A_{k}}$ ( $k \in ⟦ 1, N p ⟧$ ) suivent toutes la même loi, puisque les boules noires jouent toutes le même rôle. Donc : $E (X) = N p \cdot P (A_{1})$ De plus : $\begin{aligned} P (A_{1}^{c}) & = \frac{(\binom{N - 1}{n})}{(\binom{N}{n})} & (probabilité de tirer n boules dans B \cup N ∖ {n_{1}} \\ sachant qu’on en a tiré n dans B \cup N) \\ = \frac{N - n}{N} \end{aligned}$ Donc $P (A_{1}) = \frac{n}{N}$ , et : $E (X) = n p$
1. Calcul de $Var (X)$ :
- Méthode 1 : $\begin{aligned} Var (X) & = E (X (X - 1)) + E (X) - E (X)^{2} \\ = \frac{1}{(\binom{N}{n})} \sum_{k = 2}^{N} k (k - 1) (\binom{N p}{k}) (\binom{N q}{n - k}) + n p (1 - n p) \\ = \frac{N p}{(\binom{N}{n})} \sum_{k = 2}^{N} k (\binom{N p - 1}{k - 1}) (\binom{N q}{n - k}) + n p (1 - n p) \\ = \frac{N p (N p - 1)}{(\binom{N}{n})} \sum_{k = 2}^{N} (\binom{N p - 2}{k - 2}) (\binom{N q}{n - k}) + n p (1 - n p) \\ = \frac{N p (N p - 1)}{(\binom{N}{n})} \sum_{k = 0}^{N - 2} (\binom{N p - 2}{k}) (\binom{N q}{n - 2 - k}) + n p (1 - n p) \\ = \frac{N p (N p - 1) (\binom{N - 2}{n - 2})}{(\binom{N}{n})} + n p (1 - n p) \\ = \frac{N p (N p - 1) n (n - 1)}{N (N - 1)} + n p (1 - n p) \\ = \frac{p (N p - 1) n (n - 1)}{(N - 1)} + n p (1 - n p) \\ = \frac{p (N p - 1) n (n - 1) + n p (1 - n p) (N - 1)}{(N - 1)} \\ = \frac{n p ((N p - 1) (n - 1) + (1 - n p) (N - 1))}{(N - 1)} \\ = \frac{n p ((N p n - N p - n + 1 + N - 1 - n p (N - 1))}{(N - 1)} \\ = \frac{n p (- N p + N - n + n p))}{(N - 1)} \\ = \frac{n p (N - n) q}{(N - 1)} \\ = \frac{n p q (N - n)}{(N - 1)} \end{aligned}$
- Méthode 2 : Avec les mêmes notations que précédemment, pour tout $k \in ⟦ 1, N p ⟧$ : $Var (1_{A_{k}}) = E (\underset{= 1_{A_{k}}}{\underset{⏟}{1_{A_{k}}^{2}}}) - E (1_{A_{k}})^{2} = \frac{n}{N} (1 - \frac{n}{N}) = \frac{n (N - n)}{N^{2}}$ Et pour tout $l \in ⟦ 1, N p ⟧ ∖ {k}$ : $Cov (1_{A_{k}}, 1_{A_{l}}) = E (\underset{= 1_{A_{k} \cap A_{l}}}{\underset{⏟}{1_{A_{k}} \cdot 1_{A_{l}}}}) - E (1_{A_{k}}) E (1_{A_{l}}) = P (A_{k} \cap A_{l}) - \frac{n^{2}}{N^{2}}$ Or : $\begin{aligned} P (A_{k} \cap A_{l}) & = P (A_{k} ∣ A_{l}) P (A_{l}) \\ = P (A_{k} ∣ A_{l}) \frac{n}{N} \\ = \frac{n - 1}{N - 1} \frac{n}{N} \end{aligned}$ Donc $Cov (1_{A_{k}}, 1_{A_{l}}) = \frac{n}{N} (\frac{n - 1}{N - 1} - \frac{n}{N}) = \frac{n}{N} \frac{N (n - 1) - n (N - 1)}{N (N - 1)} = - \frac{n (N - n)}{N^{2} (N - 1)}$
Donc $\begin{aligned} Var (X) & = \sum_{k = 1}^{N p} Var (1_{A_{k}}) + \sum_{1 \leq k, l \leq N p} Cov (1_{A_{k}}, 1_{A_{l}}) \\ = N p \frac{n (N - n)}{N^{2}} - N p (N p - 1) \frac{n (N - n)}{N^{2} (N - 1)} \\ = \frac{n p (N - n)}{N} - \frac{p (N p - 1) n (N - n)}{N (N - 1)} \\ = \frac{n p ((N - n) (N - 1) - (N p - 1) (N - n))}{N (N - 1)} \\ = \frac{n p (N - n) N q}{N (N - 1)} \\ = \frac{n p q (N - n)}{(N - 1)} \end{aligned}$

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Younesse Kaddar

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