Algèbre Linéaire : Valeurs propres imaginaires pures

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Oral

Si \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) a une valeur propre imaginaire pure, montrer que \(\exists \, S \in \mathcal{S}_n^{+}(\mathbb{R})\backslash\{0\} ; \, \, \, S A + {}^tA S = 0\)

• Détermination de \(S\) : Notons \(i \lambda\) (avec \(\lambda \in \mathbb{R}\)) cette valeur propre. Comme \({\rm Sp}({}^tA) = {\rm Sp}(A)\), il existe \(X \in \mathfrak{M}_{n,1}(\mathbb{R})\backslash\{0\}\) tel que \({}^tA X \, = \, i\lambda \, X\). Soit : \(\begin{align*} {}^tA X {}^t\overline{X} \, &= \, i\lambda \, X {}^t\overline{X}\end{align*}\) Et : \(\begin{align*} {}^tA \overline{X} {}^t X \, &= \, -i\lambda \, \overline{X} {}^t X && \text{(en conjuguant (1))} \\ \overline{X} {}^t X A \, &= \, i\lambda \, \overline{X} {}^t X && \text{(en transposant (1))} \\ X {}^t \overline{X} A \, &= \, -i\lambda \, X {}^t \overline{X} && \text{(en conjuguant (3))}\end{align*}\) On pose \(S {\overset{\small{\text{déf}}}{=}}X {}^t\overline{X} + \overline{X} {}^t X\)

• \(S\) convient :

  1. \(S \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\backslash\{0\}\) :   En effet :

     • \(S\) est à coefficients réels, puisque \(\overline{X} {}^t X = \overline{X {}^t\overline{X}}\)

     • En notant \(i\) un indice tel que \(X_i = \|X\|_{\infty} > 0\), en position \((i,i)\) : \([S]_{i,i} = 2 \|X\|_{\infty} \neq 0\), donc \(S\) est non nulle.  

1. \(S \in \mathcal{S}_{n}^{+}(\mathbb{R})\) : En effet : pour tout \(Y \in \mathfrak{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) : \(\begin{align*} {}^t Y (X {}^t\overline{X}) Y &= \sum\limits_{i=1}^n Y_i X_i \overline{X_j} Y_j \\ &= \sum\limits_{i=1}^n Y_i X_i \overline{X_j Y_j} \\ &= \, \,\vphantom{\overline{\left( \begin{array}{c} \vphantom{\Big|}Y_1 X_1 \\ \vdots \\ Y_n X_n \\ \end{array}\right)}}^{t}\hspace{-0.3em}\overline{\left( \begin{array}{c} \vphantom{\Big|}Y_1 X_1 \\ \vdots \\ Y_n X_n \\ \end{array}\right)} \, \, \, \left( \begin{array}{c} \vphantom{\Big|}Y_1 X_1 \\ \vdots \\ Y_n X_n \\ \end{array}\right) \, \, \geq 0\end{align*}\)

2. \(S A + {}^tA S = 0\) : ⟶ (1) + (2) + (3) + (4) fournit le résultat.