TD1 : Suites exactes

EX 1.2.4

Soit \(0 ⟶ M' \overset{u}{⟶} M \overset{v}{⟶} M'' ⟶ 0\)

une suite exacte courte de $A$-modules

Vérifier que les propriétés suivantes sont équivalentes:

  1. $∃s: M’’ ⟶ M$ morphisme de $A$-modules tq $v \circ s = Id_{M’’}$

  2. $∃r: M’ ⟶ M’$ morphisme de $A$-modules tq $r \circ u = Id_{M’}$

  3. $∃ f: M ⟶ M’ \oplus M’’$ isomorphisme de $A$-modules tq $ι_{M’} = f \circ u$ et $p_{M’’} \circ f = v$

où

  • $ι_{M’}: M’ \hookrightarrow M’ \oplus M’’$ injection canonique
  • $p_{M’’}: M’ \oplus M’’ ⟶ M’’$ projection canonique

Lorsque ces propriétés, on dit que la suite exacte courte est scindée.

$1 ⇔ 3 ⇔ 2$

\[\xymatrix{ & M' \\ M \ar[r]^{f}\ar[ur]^{r} & M' \oplus M'' \ar[u]^{p_{M'}} \\ & M'' \ar[u]^{ι_{M''}} \ar[ul]^{s} }\]
  • $v \circ s = \underbrace{v \circ f^{-1}}{p{M’’}} \circ ι_{M’’} = Id_{M’’}$
  • $r \circ u = p_{M’} \circ f \circ u = p_{M’} \circ ι_{M’} = Id_{M’}$
  • $s: M’’ ⟶ M$ tq $v \circ s = Id_{M’}$
\[\begin{cases} M ⟶ M' \oplus M'' \\ m \mapsto (u^{-1}(m - s\circ v(m)), v(m)) \\ u(m') + s(m'') ⟻ (m', m'') \end{cases}\] \[v (m - s\circ v(m)) = v(m) - \underbrace{v\circ s}_{ = Id_{M''}}\circ v(m) = 0\]

donc $m - s\circ v(m) ∈ Ker(v) = Im(u)$

$r: M ⟶ M’$ tq $r \circ u = Id_{M’}$

\[\begin{cases} M ⟶ M' \oplus M'' \\ m \mapsto (r(m), \underbrace{v(m - u \circ r(m))}_{ = \, v(m)}) \end{cases}\]

  • Injectivité: \(f(m) = 0 ⟺ \begin{cases} v(m)=0 \\ r(m)=0 \end{cases} \\ ⟺ \begin{cases} m ∈ Ker(v) = Im(u) ⟹ m = u(m')\\ 0 = r(m) = r \circ u (m') = m' \end{cases} \\ ⟹ m=0\)

  • Surjectivité: \(∀(m', m'') ∈ M' \oplus M'', (m', m'') = f(m - u \circ r(m) + u(m'))\)

EX de sec non scindée

1.

\[0 ⟶ ℤ \overset{n}{⟶} ℤ \overset{p}{⟶} ℤ/nℤ ⟶ 0\]

où $n: a ⟼ na, \; \; p: b ⟼ \overline{b}$

Le seul morphisme de $ℤ$-module \(φ: ℤ/nℤ ⟶ ℤ\) est le morphisme $0$

(car les éléments de $ℤ/nℤ$ sont d’ordre $n$, alors que $ℤ$ est sans torsion)

Donc $p \circ 0$ ne peut jamais valoir l’identité.

2.

$ℤ^2$ comme $ℤ[X]$-module.

  1. $X\cdot (a, b) = (b, a)$
\[0 ⟶ \underbrace{ℤ}_{X \cdot z = z} \overset{a \mapsto (a,a)}{⟶} ℤ^2 ⟶ \underbrace{ℤ}_{X \cdot z = -z} ⟶ 0\]

regarder l’image de $1$

  1. $X\cdot (a, b) = (a+b, b)$
\[0 ⟶ \underbrace{ℤ}_{X \cdot z = z} \overset{a \mapsto (a, 0)}{⟶} ℤ^2 ⟶ \underbrace{ℤ}_{X \cdot z = z} ⟶ 0\]

$ℤ^2$ ne peut pas être somme directe de deux modules triviaux.

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