Cours 1 : Introduction

Adjonction: représentations $𝕂$-linéaires sur $M$ / $𝕂[G]$-modules sur $M$

$A$ un anneau (pas forcément commutatif).

Ex:

  • $M$ groupe abélien
  • $End_{Grp}(M), +, 0$
$A$-module (à gauche):

un couple $(M, θ)$ tq

  • $M$ groupe abélien
  • $θ: A ⟶ End_{Grp}(M)$

Déf alternative:

  • $(M, α)$ où:

    • $M$ groupe abélien
    • $α: A × M ⟶ M$
      • $α(a, m+m’) = α(a, m) + α(a, m’)$
      • $α(a+a’, m) = α(a, m) + α(a’, m)$
      • $α(a, α(a’, m)) = α(aa’, m)$
      • $α(1, m)= m$

Notations: $a \cdot m ≝ α(a, m) = θ(a)(m)$

Ex:

  1. $A ≝ k$ est un corps, on retrouve la notion usuelle de $k$-ev
  2. \(α: \begin{cases} A × A ⟶ A \\ (a, a') \mapsto aa' \end{cases}\) munit $A$ d’une structure de $A$-module à gauche appelé $A$-module régulier.
Morphisme de modules:
\[Hom_A(M,M') ≝ \lbrace φ: M ⟶ M' \text{ morphisme de groupe } \mid φ(a \cdot m) = a φ(m)\rbrace\]

NB: $Hom_A(M, M’)$ est naturellement muni d’une structure de $A$-modules:

  • $(φ + φ’)(m) = φ(m) + φ(m’)$
  • $(a \cdot φ)(m) = a(φ(m))$

La composition des applications induit

\[\circ: \begin{cases} Hom_A(M', M'') × Hom_A(M, M') ⟶ Hom_A(M, M'') \\ (φ', φ) \mapsto φ' \circ φ \end{cases}\]

qui est:

  • $A$-bilinéaire
  • possède des identités à gauche et à droite: $φ \circ Id_M = φ = Id_M \circ φ$

Ces propriétés signifient que les $A$-modules forment une catégorie abélienne (comme les morphismes sont eux-mêmes des objets de la catégorie ⟶ catégorie linéaire ⟶ belle structure)

  • $G$ groupe fini
  • $𝕂$ corps

On appelle représentation linéaire de $G$ à coeff dans $𝕂$ (resp. $𝕂$-linéaire) tout couple $(M, θ)$ où:

  • $M$ est un $𝕂$-ev de dim finie
  • $θ: G ⟶ GL_k(M)$ morphisme de groupe

Déf alternative:

$(M, α)$ où

  • $M$: $𝕂$-ev de dim finie

  • $α: G × M ⟶ M$ tq

    • $α(g, m+m’) = α(g, m) + α(g, m’)$
    • action de $G$ sur $M$:
      • $α(g, α(g’, m)) = α(gg’, m)$
      • $α(1, m)= m$

Notations: $g \cdot m$, comme avant

Les $𝕂$-rep linéaires de $G$ forment une catégorie $Rep_𝕂(G)$

A $G$ on peut associer de façon “naturelle” (il y a un foncteur derrière) une $𝕂$-algèbre

\[𝕂[G] ≝ \bigoplus_{g ∈ G} 𝕂 g\] \[\Big(\sum\limits_{ g ∈ G } a_g g \Big) × \Big(\sum\limits_{ g ∈ G } b_g g \Big) = \sum\limits_{ g ∈ G } \Big(\sum\limits_{ h ∈ G } a_h b_{h^{-1}g} \Big) g\]

En plus, tout morphisme de groupe $φ: G ⟶ G’$ induit un morphisme de $𝕂$-algèbre:

\[𝕂[φ] ≝ \begin{cases} 𝕂[G] ⟶ 𝕂[G'] \\ \sum\limits_{ g ∈ G } a_g g \mapsto \sum\limits_{ g ∈ G } a_g φ(g) \end{cases}\]

De plus:

\[𝕂[φ' \circ φ] = 𝕂[φ'] \circ 𝕂[φ]\]

Autrement dit:

\[K[ \_ ]: \text{Grp finis} ⟶ 𝕂\text{-algebre de dim finie}\]

Réciproquement, en prenant les inversibles, il y a un foncteur de $𝕂\text{-algebre de dim finie}$ vers $\text{Grp finis}$: les deux foncteurs sont adjoints.

Il y a un isomorphisme naturel entre les bifoncteurs $G, A ⟼ Hom_{Grp}(G, A^×)$ et $G, A ⟼ Hom_{Grp}(K[G], A)$.

Ex: avec $A = End_𝕂(M)$:

\[\underbrace{GL_𝕂(M)}_{\text{structure de rep K-lin de } G \text{ sur } M} ≃ \underbrace{End_𝕂(M)}_{\text{structure de } K[G]\text{-module sur} M}\]

I. Modules sur les anneaux

1. Opération sur les modules

Construire de nouveaux modules à partir des modules donnés.

2. Conditions de finitude

Analogue de la condition de $𝕂$-dim finie pour les $𝕂$-ev, c’est nécessaire pour avoir des résultats de classification raisonnables

3. Modules indécomposables

\[M = \bigoplus \text{Indécomposable}\]

Cas où $A$ est principal:

Application $ℤ ⟶ 𝕂[X]$

4. Modules simples

\[M_1 ⊊ M_2 ⊊ M_3 ⊊ M\]

où $M_1/M_2$ simple

Problème: reconstituer $M$ à partir des $M_i / M_{i+1}$ (pb des extensions)

⟶ $𝕂$-algèbres semi-simples: $\text{indécomposables} =\text{simples}$

$𝕂[G]$: $𝕂$-algèbre semi-simple

I.

I. Définitions, premiers exemples

Tout idéal à gauche $I$ de $A$ est un $A$-module (car stables par multiplication par les éléments de $A$).

Ex:

$A = 𝕂$ est un corps, les $𝕂$-modules sont des $𝕂$-ev

De même que la dimension (un entier) détermine de manière unique - à isomorphisme près - les $𝕂$-ev, on va chercher des invariants pour déterminer les modules (à iso près).

  • $A = ℤ$ : $ℤ$-modules: groupes abéliens
  • si $M$ est un $A$-module, $M$ est aussi un $End_{Grp}(M)$-module (et un $End_{A}(M)$-module, puisque $End_{A}(M) ⊆ End_{Grp}(M)$ est un sous-anneau)

Si $φ: A ⟶ B$, et $M$ un $B$-module, $M$ est aussi un $A$-module avec:

\[a \cdot m ≝ φ(a) \cdot m\]

noté $φ_\ast M$

⟶ Foncteur:

\[φ_\ast: Mod/B ⟶ Mod/A\]

Rappel: $A[X_1, \ldots, X_n]$ est l’unique $A$-algèbre tq

  • $∀$ $A$-algèbre $B$
  • $∀b_1, \ldots, b_n$ qui commutent 2 à 2
\[∃! φ: A[X_1, ⋯, X_n] ⟶ B \text{ morphisme de } A\text{-algèbre tq} \\ φ(X_i) = b_i ∀i\]

II. Opérations sur les modules

La catégorie $Mod_A$ est abélienne.

$M$ un $A$-module.

Sous-$A$-module:

$N ⊆ M$ sous-ensemble

  • stable par $+$
  • contenant $0$ (ces deux conditions signifiant que c’est un sous-groupe)
  • tq $a \cdot N ⊆ M$

Tout sous-$A$-module est déterminé à isomorphisme près par un morphisme injectif $ι: N ⟶ M$ (i.e. $N ≃ ι(N) ⊆ M$).

En algèbre, on travaille usuellement à isomorphisme près.

\[f: \bigoplus_{i∈I} M_i ⟶ M\]

est défini par

\[f((m_i)_{i∈I}) = \sum\limits_{ i ∈ I } f_i(m_i)\] \[\prod\limits_{ i∈I } Hom_A(\_, M_i) ≃ Hom_A(\_, \prod\limits_{ i ∈ I } M_i) \\ \prod\limits_{ i∈I } Hom_A(M_i, \_) ≃ Hom_A(\bigoplus\limits_{ i ∈ I } M_i, \_)\]

Les objets universels sont uniques à isomorphisme près (ce sont des colimites).

1.2.2.2

Tout morphisme de $A$-module $f: M ⟶ N$ est tel que:

\[CoIm(f) ≝ M/ker(f) ≃ Im(f) ≝ f(M)\]
Conoyau de $f$:
\[Coker(f) ≝ M/Im(f)\]

$M_1 ≃ K^{\dim_K M_1}, M_2 ≃ K^{\dim_K M_2}$:

\[M_1 \otimes M_2 = K^{\dim_K M_1} \otimes K^{\dim_K M_2} \\ = \bigoplus_{\dim_K M_1} \otimes K \\ = \bigoplus_{\substack{\dim_K M_1 \\ \dim_K M_2}} \underbrace{K \otimes K}_{≃ K}\]

$A$ est un corps: car pour montrer que c’est un isomorphisme, on montre qu’une base est envoyée sur une base

  1. on montre que les flèches sont bien définies par propriété universelle
  2. que ce sont bien des isos en regardant l’image d’une base

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