EX 1.2.4

Soit $0⟶M^{\prime }\stackrel{u}{⟶}M\stackrel{v}{⟶}{M}^{″}⟶0$

une suite exacte courte de $A$-modules

Vérifier que les propriétés suivantes sont équivalentes:

1. $\exists s:M^{″}⟶M$ morphisme de $A$-modules tq $v\circ s=I{d}_{M^{″}}$

2. $\exists r:M^{\prime }⟶M^{\prime }$ morphisme de $A$-modules tq $r\circ u=I{d}_{M^{\prime }}$

3. $\exists f:M⟶M^{\prime }\oplus M^{″}$ isomorphisme de $A$-modules tq ${\iota }_{M^{\prime }}=f\circ u$ et $p_{M^{″}}\circ f=v$

où

• ${\iota }_{M^{\prime }}:M^{\prime }\hookrightarrow M^{\prime }\oplus M^{″}$ injection canonique
• $p_{M^{″}}:M^{\prime }\oplus M^{″}⟶M^{″}$ projection canonique

Lorsque ces propriétés, on dit que la suite exacte courte est scindée.

$1\iff 3\iff 2$

• $v \circ s = \underbrace{v \circ f^{-1}}{p{M’’}} \circ ι_{M’’} = Id_{M’’}$
• $r\circ u=p_{M^{\prime }}\circ f\circ u=p_{M^{\prime }}\circ {\iota }_{M^{\prime }}=I{d}_{M^{\prime }}$

• $s:M^{″}⟶M$ tq $v\circ s=I{d}_{M^{\prime }}$

donc $m-s\circ v(m)\in Ker(v)=Im(u)$

$r:M⟶M^{\prime }$ tq $r\circ u=I{d}_{M^{\prime }}$

• Injectivité: $$\begin{gathered} f(m)=0⟺\{\begin{array}{l}v(m)=0\\ r(m)=0\end{array} \\ ⟺\{\begin{array}{l}m\in Ker(v)=Im(u)⟹m=u(m^{\prime })\\ 0=r(m)=r\circ u(m^{\prime })=m^{\prime }\end{array} \\ ⟹m=0 \end{gathered}$$

• Surjectivité: $\forall (m^{\prime },m^{″})\in M^{\prime }\oplus M^{″},(m^{\prime },m^{″})=f(m-u\circ r(m)+u(m^{\prime }))$

EX de sec non scindée

1.

où $n:a⟼na,p:b⟼\bar{b}$

Le seul morphisme de $\mathbb{Z}$-module $\phi :\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}⟶\mathbb{Z}$ est le morphisme $0$

(car les éléments de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ sont d’ordre $n$, alors que $\mathbb{Z}$ est sans torsion)

Donc $p\circ 0$ ne peut jamais valoir l’identité.

2.

${\mathbb{Z}}^2$ comme $\mathbb{Z}[X]$-module.

1. $X\cdot (a,b)=(b,a)$

regarder l’image de $1$

1. $X\cdot (a,b)=(a+b,b)$

${\mathbb{Z}}^2$ ne peut pas être somme directe de deux modules triviaux.