TD Algèbre : Anneaux

Énoncé

EX 4

$A ≝ ⟨ i ⟩ < ℂ$

1.

$1 \in A$
$ℤ \subseteq A$
$i \in A$
$i ℤ \subseteq A$

⟹ $ℤ + i ℤ \subseteq A$

On vérifie aisément que :

$ℤ + i ℤ$ est un groupe abélien
$1, i \in ℤ + i ℤ$
si $a, b \in ℤ + i ℤ$ , $a b \in ℤ$

donc c’est un sous-anneau de $ℂ$ , donc un anneau, et :

A \subseteq ℤ + i ℤ

et on a l’égalité.

L’unicité est triviale (identifier parties réelles et parties imaginaires).

2.

Soit $f \in E n d (A)$ .

$\forall n \in ℕ, f (n) = n$ (facile)
$f(a+ib) = \underbrace{f(a)}{=a} + f(i)\underbrace{f(b)}{=b}$

De plus :

$f (i)^{2} = f (- 1) = - 1$

donc

f (i) = \pm i

Donc

E n d (A) = {i d, c o n j}

3.

$N$ est multiplicatif, et $N (1) = 1$

4.

A^{\times} = {a \in A ∣ N (a) = 1} = {1, - i, i, - 1}

Comme $i^{2} = - 1$ , $o r (i) ∣ 4$ , donc $o r (i) = 4$

Donc $A^{\times}$ est cyclique, d’ordre 4 :

A^{\times} = {a \in A ∣ N (a) = 1} ≃ ℤ / 4 ℤ

EX 22

1.

M1 :

Observation géométrique dans le plan complexe.

M2 :

Si $a ≝ u + i v$ prend les entiers les plus proches de $u$ et $v$ (qui sont à une distance inférieure à $1 / 2$ de ces derniers).

2.

Calcul.

3.

Soit $𝛼 \in ℤ [i]$ tq $\exists a, b \in ℤ [i] ∖ ℤ [i]^{\times}$ tq

𝛼 = a b

alors

N (𝛼) = N (a) N (b)

Or : $N (a), N (b) > 1$

donc

$N (𝛼)$ n’est pas premier.

4.

a).

Mq $ℤ [i] / (p) ≃ (ℤ / p ℤ) [T] / [T^{2} + 1]$

\begin{matrix} ℤ [i] / (p) & \overset{f}{\to} & (ℤ / p ℤ) [T] / [T^{2} + 1] \\ quotient ↑ & ↑ quotient \\ ℤ [i] & (ℤ / p ℤ) [T] \\ f \mapsto f (i) ↖ & ↗ f \mapsto f \mod p \\ ℤ [T] \end{matrix}

1.

$𝜑 : f \mapsto f (i)$

$f \in K e r (p)$

$f (i) = 0$

Or :

f = (T^{2} + 1) Q + R

\deg R \leq 1 ⟹ R = a T + b

f (i) = 0 ⟹ a i + b = 0 ⟹ {\begin{cases} a = 0 ⟹ R = 0 \\ b = 0 ⟹ T^{2} + 1 ∣ f \end{cases}

Donc

\begin{matrix} ℤ [i] / (p) & \overset{f}{\to} & (ℤ / p ℤ) [T] / [T^{2} + 1] \\ quotient ↑ & ↑ & 𝛾 : f \mapsto f \mod T^{2} + 1 \\ ℤ [T] / [T^{2} + 1] ≃ ℤ [i] & (ℤ / p ℤ) [T] \\ f \mapsto f (i) ↖ & ↗ & 𝜓 : f \mapsto f \mod p \\ ℤ [T] \end{matrix}

Mq $K e r (𝛾 \circ 𝜓) = (p) + (T^{2} + 1)$

𝛾 \circ 𝜓 (p) = 𝛾 (0) = 0

𝛾 \circ 𝜓 (T^{2} + 1) = 𝛾 (T^{2} + 1) = 0

⟹ (p) + (T^{2} + 1) \subseteq K e r (𝛾 \circ 𝜓)

Réciproquement :

\begin{matrix} 𝛾 \circ 𝜓 (f) = 0 \\ ⟹ (f \mod p) \mod T^{2} + 1 = 0 \end{matrix}

Soit $g^{'} \in (ℤ / p ℤ) [T]$ tq $f \mod p = g^{'} (T^{2} + 1)$

f \mod p = (T^{2} + 1) g^{'}

Soit $g \in ℤ [T]$ tq $g \mod p = g^{'}$

f \mod p = (T^{2} + 1) g \mod p

\exists h; p h = f - (T^{2} + 1) g

\begin{matrix} ℤ [i] / (p) & \overset{f}{\to} & (ℤ / p ℤ) [T] / [T^{2} + 1] \\ 𝜓^{'} quotient ↑ & ↑ & 𝛾 : f \mapsto f \mod T^{2} + 1 \\ ℤ [T] / [T^{2} + 1] ≃ ℤ [i] & (ℤ / p ℤ) [T] \\ 𝛾^{'} : f \mapsto f (i) ↖ & ↗ & 𝜓 : f \mapsto f \mod p \\ ℤ [T] \end{matrix}

Idem :

$𝜓^{'} : ℤ [i] ⟶ ℤ [i] / (p)$

$𝛾^{'} : ℤ [T] ⟶ ℤ [i] ≃ ℤ [T] / (T^{2} + 1)$

Mq $K e r (𝜓^{'} \circ 𝛾^{'}) = (p) + (T^{2} + 1)$

$𝜓^{'} \circ 𝛾^{'} (p) = 𝜓^{'} (p) = 0$

$𝜓^{'} \circ 𝛾^{'} (T^{2} + 1) = 𝜓^{'} (0) = 0$
$𝜓^{'} \circ 𝛾^{'} (f) = 0 ⟹ 𝛾^{'} (f) \in K e r (𝜓^{'})$

Soit $a \in ℤ [i]$ tq $𝛾^{'} (f) = p a$

Soit $g \in ℤ [T]$ tq $a = g (i)$
$\begin{matrix} 𝛾 (f - p g) = 0 \\ \exists h \in ℤ [T]; f - p g = (T^{2} + 1) h \\ ⟹ f = (T^{2} + 1) h + p g \end{matrix}$

b).

$(p)$ irréductible dans $ℤ [i]$ $⟺ $ p \equiv 3 (4) ⟺ T^{2} + 1 irréductible dans ℤ / p ℤ [T] ⟺ T^{2} + 1 n’ pas de racine dans ℤ / p ℤ [T] ⟺ il n’existe pas d’éléments d’ordre 4 dans (ℤ / p ℤ)^{\times}$

Or :

$p \neq 2$ :

\begin{matrix} p est irréductible \\ ⟺ ℤ [i] / (p) est un corps \\ ⟺ ℤ / p ℤ [T] + (T^{2} + 1) est un corps \end{matrix}

p \equiv 1 (4) ⟺ 4 ∣ p - 1 ⟺ (p - 1) = 4 b

\begin{matrix} o r (a) = p - 1 \\ o r (g = a^{b}) = 4 \end{matrix}

\begin{matrix} p \equiv 3 (4) ⟹ 4 ∤ p - 1 \\ ⟹ il n’y a pas d’éléments d’ordre 4 \end{matrix}

$p = 2$ :

$2 = (1 + i) (1 - i)$ donc $2$ n’est pas irréductible.

Soit $p \equiv 1 (4)$

$p = a b$ où $a, b \in ℤ [i] ∖ ℤ [i]^{\times}$

\begin{matrix} N (p) = p^{2} = N (a) N (b) \\ ⟹ p ∣ N (a) N (b) \\ ⟹ p ∣ N (a) \lor p ∣ N (b) \\ ⟹ p = N (a) = N (b) (N (a), N (b) > 1) \end{matrix}

NB :

$a = (\frac{p - 1}{2})!$ est une formule explicite d’une racine carrée de $- 1$ , par le théorème de Wilson ( $(p - 1)! \equiv - 1 (p)$ ).

Addendum :

Mq $p$ est n’est pas irréductible ssi il est somme de deux carrés.

$⟸$ : Si $\exists u, v \in ℤ^{2}$ ; $p = u^{2} + v^{2} > 1$

p = (u + i v) (u - i v)

n’est pas irréductible dans $ℤ [i]$

$⟹$ : Si $p$ n’est pas irréductible dans $ℤ [i]$ , $p = 𝛼 𝛽$ , avec

$N (𝛼) > 1$
$N (𝛽) > 1$

\begin{matrix} p^{2} = N (p) = N (𝛼) N (𝛽) \\ N (𝛼) = N (𝛽) = p \\ = ℜ (𝛼)^{2} + ℑ (𝛼)^{2} \end{matrix}

Soit $p$ premier impair.

{\begin{cases} b \neq 0 (p) \\ a^{2} + b^{2} = 0 (p) \end{cases}

Soit $𝛼 = a b^{- 1}$ dans $ℤ / p ℤ$ .

$𝛼^{2} = - 1$ ,

o r (𝛼) = 4 ⟹ p = 1 (4)

Si $p \geq 3$ irréductible, $p = a^{2} + b^{2}$

{\begin{cases} a^{2} = 0 ou 1 (4) \\ b^{2} = 0 ou 1 (4) \end{cases}

Donc $p \neq 3 (4)$

$p ∣ 𝛼^{2} + 1$

Si $p = 1 (4)$ ,

$\exists 𝛼 \in ℕ^{\times}; 𝛼^{2} = - 1 (p)$

p ∣ (𝛼 + i) (𝛼 - i)

dans $ℤ [i]$

Si $p$ divise l’un des deux, il divise l’autre par conjuguaison et donc $p ∣ 2 i$

$p$ ne divise aucun des 2.

NB :

On aurait aussi pu considérer l’idéal $I = (𝛼 + i, p) = (u + i v)$ (principal). Puis on continue de même.
cf. Loi de réciprocité quadratique de Gauss.

EX 2

1.

Existence : de même que dans EX 4.

Unicité : $\sqrt{2}$ n’est pas rationnel.

2.

On procède de même que dans EX 4.

Ne pas oublier que ce sont bien des morphismes.

3.

M1 :

Multiplicativité, et $N (1) = 1$ .

M2 :

C’est multiplicatif car c’est un produit de morphismes d’anneaux (donc multiplicatifs), et l’image de 1 vaut 1.

4.

On vérifie qu’en toute généralité : un morphsime de monoïdes envoie les inversibles sur les inversibles.

Pour la réciproque, on utilise $N = i d \times c o n j$

5.

1 < u + \sqrt{2} v < 3

alors

\frac{1}{3} < | u - \sqrt{2} v | < 1

Si $| u - \sqrt{2} v | = u - \sqrt{2} v$ :

On trouve que $v = 0$ : impossible.

Si $| u - \sqrt{2} v | = - u + \sqrt{2} v$ :

alors $u = 1$ , et $v = 1$ .

On note $n$ le plus grand entier tel que :

(1 + \sqrt{2})^{n} \leq | a | < (1 + \sqrt{2})^{n + 1}

Et on se ramène à l’intervalle $] 1, 3 [$

Cas général : théorème de Dirichlet.

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EX 4

1.

2.

3.

4.

EX 22

1.

2.

3.

4.

a).

1.

b).

EX 2

1.

2.

3.

4.

5.

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