TD Algèbre : Groupes

Énoncé

TD : Groupes

EX 6

Soit $A$ un groupe et soit $B$ un sous-groupe. Démontrer que $B$ est un sous-groupe distingué de $A$ si et seulement toute classe à droite modulo $B$ est une classe à gauche modulo $B$.

  • $B$ distingué

ssi

  • $B$ stable par automorphismes intérieurs

ssi

  • $∀a∈A, aBa^{-1} = B$

ssi

  • $∀a∈A, aB = Ba$

EX 1

1)

\[\sum\limits_{a∈A} \sum\limits_{x∈X} ⋯ = \sum\limits_{x∈X} \sum\limits_{a∈A} ⋯\]

2) \(\begin{align*} \frac{1}{\vert A\vert }\sum\limits_{x∈X} \vert A_x\vert & = \sum\limits_{x∈X} \frac{1}{\vert Orbite(x)\vert } \\ & = \sum\limits_{i=1}^{\vert X\backslash A\vert }\underbrace{\sum\limits_{x∈Orb(x)} \frac{1}{\vert Orbite(x)\vert }}_{=1} \\ \end{align*}\)

3) $n$ perles, $q$ modèles.

$A = U_n$, $X = ⟦0,q⟧^{U_n}$

Action de $A$ sur $X$ :

\[\begin{cases} A \times X ⟶ X \\ (a,f) \mapsto a.f = z \mapsto f(az) \end{cases}\]

On se ramène à déterminer le nb d’orbites :

\[\vert X\backslash A\vert = \frac{1}{\vert U_n\vert }\sum\limits_{a∈U_n}\vert X^a\vert \\\]

Puis, avec $d≝ or(a) \vert n$,

\[\vert X^a\vert = \vert \{f \vert ∀z, f(z)=f(az)\}\vert =q^{n/d}\] \[\vert X\backslash A\vert = \frac{1}{n} \sum\limits_{d/n} \sum\limits_{a∈U_n, or(a)=d} q^{n/d} \\ = \frac{1}{n} \sum\limits_{d/n}𝜑(d)q^{n/d}\]

4) $\vert X\vert \geq 2$.

$A$ agit transitivement sur $X$, donc :

\[1 = \frac{1}{\vert A\vert } \sum\limits_{a∈A} \vert X^a\vert\]

$\vert X^e\vert ≥2$

EX 3

Générateurs de $𝕾_n$ 1)

EX 2

1) $\vert A\vert =p^n, n≥1$

\[p^n = \vert Z(A)\vert +\sum_{O∈𝒞, \vert O\vert ≥2} \vert O\vert\]

donc \(p \vert Z(A) ≠ {e}\)

2) \(\begin{cases} A \times V ⟶ V \\ (a,v) \mapsto a \cdot v = 𝜌(a)(v) \end{cases}\)

\[\vert V\vert = \underbrace{\vert V^A\vert }_{≥1} + \sum\limits_{O∈V/A, \vert O\vert ≥2} \vert O\vert\]

$r = \dim V$

On a $\vert V\vert =p^r$,

$p\vert \vert V^A\vert $ et $\vert V^A\vert ≥1$, donc $∃v∈V^A\backslash {0}$

3) Soit $H$ tq $H \bigoplus Kv = V$

Pour $x∈H$, $∀a∈A, ∃!𝜆_{x,a} ∈ K, ∃!𝜌_H(a)(x)$,

\[𝜌(a)(x) = 𝜆_{x,a}v + 𝜌_H(a)(x)\]

$p_H$ projecteur $V ⟶ H$ parallèlement à $Kv$.

$𝜌_H(a)=𝜌_H\circ 𝜌(a)_{\vert H}$

  • Mq $𝜌_H$ est une représentation linéaire de $A$ dans $H$.

Soit $a∈A$.

\[𝜌(a)(x+𝜇y) = \begin{cases} 𝜆_{x+𝜇y, a} v + 𝜌_H(a)(x + 𝜇y) \\ 𝜌(a)(x) + 𝜇𝜌(a)(y) = (𝜆_{x,a} + 𝜇𝜆_{y,a})v + 𝜌_H(a)(x) + 𝜇𝜌_H(a)(y) \end{cases}\]

donc $𝜌_H(a)(x+𝜇y) = 𝜌_H(a)(x) + 𝜇𝜌_H(a)(y)$

  • Mq $𝜌∈Hom(A, GL(H))$

Calcul : mq $𝜌_H(ab) = 𝜌_H(a)\circ 𝜌_H(b)$

Puis : par hypothèse de récurrence :

$∃B_H = (v_, ⋯, v_n)$ base de $H$ tq :

$∀a ∈ A, M_B(𝜌(a))$ est triangulaire supérieure avec que des $1$ sur la diagonale.

On prend $B=(v, v_2, ⋯, v_n)$

EX 4

$∀a, b ∈ ⟦1,n⟧$, mq

\[⟨(a,b), (1, ⋯, n)⟩ = 𝕾_n ⟺ pgcd(n, b-a) = 1\]
  • ⟹ : Par contraposée : si $∃ k > 1; pgcd(a, b-a)=k$

$∀c, d ∈ ⟦1,n⟧, c ≡ d [k] ⟺ 𝜎(c) ≡ 𝜎(d) [k]$

Si $c=n$, $𝜎(c) = 1$

Idem pour $𝜏$ au lieu de $𝜎$.

Soit $c \not ≡ d [k]$ : $\not ∃ (c d)$ engendrée par $𝜎, 𝜏$

  • ⟸ : Comment se ramener à $(a b) = (1 2)$ ?

On remarque que $(a_1 ⋯ a_n) = (1 ⋯ n)^{b-a}$, avec \(a_i = a + (i-1)b\)

de sorte que \(G = ⟨(a_1, a_2), (a_1, ⋯, a_n)⟩\)

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