Cours 4 : Anneaux, Algèbres, Algèbres de monoïdes/groupes, Représentation d’un groupe, Idéaux

Anneaux

Anneaux $A$ intègre :

Tout élément de $A\backslash \lbrace 0 \rbrace$ est simplifiable (= simplifiable à droite + simplifiable à gauche)

NB : pas très intéressant si $A$ n’est pas commutatif.

Tout groupe abélien est un $ℤ$-module : notamment,

\[na = n1_A \cdot a\]

Formule du binôme :

Si $a, b$ commutent, alors

\[(a+b)^n = \sum\limits_{p=0}^n \binom{n}{p} a^p b^{n-p}\]

NB: Remarquons qu’il y a équivalence pour $n=2$

Application : si deux éléments nilpotents commutent, leur somme l’est.

Les inversibles pour la deuxième loi forment un sous-groupe.

Sous-anneaux, Sous-corps

Sous-anneau :

sous-groupe contenant $1$, et stable par $×$

Notation (surtout pour les anneaux commutatifs):

Si $B ⊆ A$ est un sous-anneau, et $S ≝ B∪T$, l’anneau engendré par $S$ est noté $B[T]$.

ex : $ℤ[\sqrt{2}, \sqrt{3}]$

Sous-corps :

sous-anneau stable par passage à l’inverse.

Notation :

Si $E ⊆ F$ est un sous-corps, et $S ≝ E∪T$, le corps engendré par $S$ est noté $E(T)$.

ex : $ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3})$

Commutant $Z_a(A)$ de $a∈A$ :

Sous-anneau des éléments de $A$ commutant avec $a$

NB : Si $A$ est un corps, c’est un sous-corps.

Centre $Z(A)$ de $A$ :

intersection de tous les commutants.

Sous-corps premier de $F$ :

Plus petit sous-corps de $F$.

En quotientant le morphisme d’anneaux

\[\begin{cases} ℤ ⟶ F \\ n \mapsto n\cdot 1_F \end{cases}\]

par son noyau, qui est alors un idéal de $ℤ$, de la forme :

  • $pℤ$, pour $p$ premier
  • OU : $\lbrace 0 \rbrace$

Le sous-corps premier de $F$ est isomorphe à $𝔽_p$ OU $ℚ$ (selon les cas précédents).

Exemples d’anneaux

  • $A^I$, pour un ensemble $I$ et un anneau $A$
    • ex d’anneaux imbriqués : Si $X$ est un espace topologique, \(ℝ^X \supset 𝒞^0(X,ℝ) \supset 𝒞^k(X,ℝ)\)
  • $𝕸_n(A)$, où $A$ est un anneau.
    • on vérifie que les opérations usuelles en font un anneau.
    • $×$ est associatif car :
    \[\left(\sum\limits_{k=1}^n a_{i,k} b_{k,j}\right) (c_{i,j}) = \left(\sum\limits_{k,l=1}^n a_{i,k} b_{k,l} c_{l,j}\right) \\ = (a_{i,j})\left( \sum\limits_{k=1}^n b_{i,k} c_{k,j} \right)\]

  • Calcul par blocs :

    \[𝕸_n(𝕸_p(A)) = 𝕸_{np}(A)\]

Anneau opposé

Anneau opposé $A^{opp}$:

même addition, mais $a\star b = ba$

Groupe opposé : isomorphe au groupe

MAIS :

Anneau opposé : pas isomorphe, en général

Hormis pour les matrices : Anneau opposé : bien isomorphe à l’anneau, grâce à la transposition.

Notation

“Anneau” non unitaire des familles presque nulles :

\[\bigoplus A_i ≝ \big\lbrace (a_i)_{i∈I} \Big| |\{j | a_j ≠ 0\}| < ∞ \big\rbrace\]

NB : En anglais, on le note “RNG” (on a enlevé l’unité de “RING”)

\(f(b) = (f_i(b))_{i∈I}\) nécessairement + est un morphisme de groupe / de monoïde, avec les propriétés universelles correspondantes.

Algèbres de groupe

NB : pour les séries formelles : $A^M$, $M$ infini à priori : les sommes ne sont donc plus nécessairement finies.

⟶ on impose, pour que la convolution soit une somme finie, que le nombre de décompositions de $x$ sous la forme $x=yz$ soit fini.

(c’est le cas pour les entiers : nombre fini de diviseurs).

Représentation d’un groupe $G$

$A=ℂ$, $M=G$ un groupe, $B = End_ℂ(V)$, $V = ℂ-ev$

Au morphisme de $ℂ$-algèbre : \(𝜑 : ℂ^{(G)} ⟶ End_ℂ(V)\)

correspond le morphisme de groupe :

\[f : G ⟶ Aut_ℂ(V)\]

C’est très intéressant, car en introduisant les structures plus riches de l’algèbre linéaire, on peut dire plus de choses sur le groupe.

Anneaux euclidiens, principaux, factoriels

Soit $A$ un anneau commutatif intègre.

stathme euclidien sur $A$ : remarques

  1. On ne demande que l’existence du stathme
  2. A priori, on ne précise pas le stathme, qaund on parle d’anneau euclidien
  3. La propriété 1) est un peu “inutile” : si $j$ vérifie 2), alors $a \mapsto (\min_{x∈A\backslash \lbrace 0\rbrace} j(ax))$ vérifie 1) et 2).

Les anneaux euclidiens simplifient la notion de divisibilité.

Anneau euclidien ⟹ principal

  • ⟹ noethérien
  • ⟹ factoriel

NB : il existe des anneaux principaux non euclidiens.

Algo d’Euclide étendu :

Si $n$ est le plus petit entier tq :

$a_{n+1} = 0$.

Alors :

  • $a_n = a u_n + b v_n$
  • $a_n u_{n+1} - a_{n+1} u_n = (-1)^{n+1} b$
  • $a_n v_{n+1} - a_{n+1} v_n = (-1)^{n} a$

Ex :

L’anneau des entiers de Gauss euclidien : stathme euclidien : module au carré.

élément premier ⟹ irréductible

Lemme de Gauss : dans les anneaux principaux : irréductible ⟹ premier

Élement premier $p$ :
  • le quotient de l’anneau par son idéal engendré est intègre
  • OU : si $p/ab$, $p/a$ ou $p/b$
Anneau factoriel :
  • toute suite d’idéaux principaux croissante est stationnaire
  • irréductible ⟹ premier

Th : Anneau factoriel ⟹ tout élément se décompose en produit d’éléments iréductible d’un élément inversible, de manière unique à l’ordre près.

Le pgcd (modulo les inversibles) d’une famille $(a_i)_{i∈I}$ est le générateur du plus petit idéal principal contenant l’idéal engendré par les $a_i$.

Cet idéal existe car toute suite d’idéaux croissante est stationnaire.

ppcm : idem.

On pose \(m_p≝ \sup_i v_p(a_i)\)

Il y a 3 cas :

  1. $∃p; m_p = +∞$
  2. $\lbrace p \vert m_p ≠ 0\rbrace$ est infini

Dans ces deux cas, on pose $a=0$

  1. $(m_p) ∈ ℕ^{(𝒫)}$

Dans ce cas, on pose

\[a = \prod_{p∈𝒫} p^{m_p}\]

$a$ est le plus petit multiple commun des $a_i$.

$a/b ⟺ ∀i, a_i /b ⟺ ∀i, v_p(b)≥v_p(a_i)$

\[ppcm(a, b) × pgcd(a, b) ≃ ab\]

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