Cours 3 : Groupes abéliens, groupe symétrique.

Groupes abéliens

Classification des groupes abéliens de type fini

Groupe de type fini :

engendré par une partie finie.

Groupe monogène :

engendré par un seul élément

Groupe cyclique :

monogène et fini

Ex :

  • $ℤ = ⟨1⟩$ est mongène
  • $ℤ/nℤ$ est cyclique pour $n ≥ 1$
    • $ℤ/nℤ = ⟨\overline{k}⟩$ ssi $k∧n = 1$

NB : $A$ un groupe, $a∈A$ d’ordre $n$.

\[⟨a⟩ = \{1, a, ⋯, a^{n-1}\}\]

Si $\vert A\vert =n$, $A$ est cyclique

Th : Si $𝕂$ est un corps commutatif, et $A$ un sg fini de $𝕂^*$, alors $A$ est cyclique.

NB : Quaternions : il y a trois éléments dont le carré vaut $-1$ ⟹ non commutatif (racines de $X^2-1$ : il y en a au moins trois).

Ex : $𝕂 = ℤ/nℤ$

$n = 22 = 2 \times 11$

  • $x_1 = -1$ est d’ordre $2$
  • ? $x_2$ est d’ordre $11$

Ex :

on cherche un $a$ tq $a^{22/11} = a^2 = \neq 1$

Par ex (où on peut tirer au hasard : on a une forte proba que ça marche): $a = 2 ⟹ x_2 = a^2 = 4$, et \(ℤ/23ℤ = ⟨-4⟩\)

Facteurs invariants

Exs :

1)

\(ℤ/3ℤ \times ℤ/4ℤ ≃ ℤ/12ℤ\) car $3∧4=1$

2)

\(ℤ/6ℤ \times ℤ/4ℤ\) pb, car $6∧4≠ 1$

⟶

\[ℤ/6ℤ \times ℤ/4ℤ ≃ ℤ/2ℤ \times ℤ/3ℤ \times ℤ/4ℤ \\ = \begin{align*} &ℤ/4ℤ \times ℤ/2ℤ \\ \times& ℤ/3ℤ \end{align*} \\ = ℤ/12ℤ \times ℤ/2ℤ\]

$𝕾_n$

EXs : 1, 2, 3, 4, 5, 6

𝕬_n

$\vert 𝕾_n\vert = n!$

$\vert 𝕬_n\vert = n!/2$

  • $n=3, \vert 𝕬_3\vert = 3$ : $𝕬_3 ≃ ℤ/3ℤ$, 3 classes de conjugaison

  • $n=4, \vert 𝕬_4\vert = 12$, non abélien

Prop :

a) $D(𝕾_n) = 𝕬_n$

b) Si $n≥5$, D(𝕬_n) = 𝕬_n$

Si $A$ est abélien, $f∈Hom(G,A)$ : $Ker(f) \supset D(G)$ \({\displaystyle {\begin{matrix}G&\displaystyle {\xrightarrow {f}}&A\\p \downarrow &\displaystyle \nearrow \overline{f}\\G/(G/D(G))\end{matrix}}}\)

$𝕬_n = Ker(𝜀 : 𝕾_n ⟶ {\pm 1})$, donc $𝕬_n \supset D(𝕾_n)$

On pose $A = 𝕾_n/D(𝕾_n)$.

  • c’est un groupe abélien
  • $𝕾_n$ est engendré par les transpositions, donc $A$ est engendré par leurs images
  • Les transpositions sont conjuguées, donc ont même image $a$ dans $A$.

$a^2=e$

\[\begin{cases} 𝔽_2 ⟶ A \\ 1 \mapsto a \end{cases}\]

surjective

$n≥2$ : $(𝕾_n:D(𝕾_n))≤2 = (𝕾_n:𝕬_n)$, donc \(D(𝕾_n)= 𝕬_n\)

Ex :

1) Si $x^2 = e$ pour tout $x∈G$, $G est abélien

2) $G$ groupe de card $≤7$

  • $𝕬_2 = {id}$ : non simple
  • $𝕬_3 ≃ ℤ/3ℤ$ : simple
  • ${id} ⊊ D(𝕬_4) ⊊𝕬_4$ : non simple

Signature : l’unique homomorphisme de groupe non trivial de $𝕾_n$ dans ${\pm 1}$, car les transpositions ont la même image (conjuguées deux-à-deux).

$p$-groupes de Sylow

Remq : Tout $p$-sous-groupe est contenu dans un $p$-sylow

En effet : Si $S$ est un $p$-sylow, ce sous-groupe est inclus dans un conjugué de $S$, qui lui-même est un $p$-sylow.

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