Cours 2 : Groupes

Chapitre 2

Groupe

Déf
c’est un monoïde dont tous les éléments sont inversibles.

Ex: Si $A$ est un monoïde, $A^*$ (ensemble des inversibles) est un groupe.

Soit $A$ un groupe. $a∈A$ est d’ordre infini si $a^n \neq e$ pour tout entier $n > 0$.

Sinon, on appelle ordre de $a$ le plus petit entier $n>0$ tq $a^n=e$

Lemme :

  1. Soit $a$ d’ordre fini, soit $n$ son ordre. \(a^m = e ⟺ n∣m\)
  2. Soit $a, b$ des éléments d’ordre finis $n$ et $m$. Si $a$ et $b$ commutent, alors $ab$ est d’ordre fini. Cet ordre divise $ppcm(m,n)$ et vaut $mn$ si $n∧m =1$.

Preuve :

  1. Division euclidienne de $m$ par $n$ : $a^m = e$ donc le reste est nul par minimalité de $n$. Donc $n∣m$.
  2. On pose $p = ppcm(a,b)$. Par commutativité de $a$ et $b$ on a $N ≝ or(ab)∣p$. Si $n∧m =1$ : on regarde $(ab)^{Nm}$ et on montre (lemme de Gauss) que $n∣N$. De même pour $m$.

NB: $b = a^{-1}$ ⟶ $or(a) = or(b) = n$ et $ab = 1$.

Ex:

  • Dans $(ℳ_n(A), .)$ : $GL_n(ℝ), SL_n(ℝ)$
  • Dans $ℤ/nℤ$ : les inversibles sont les $\bar{k}$, où $pgcd(k,n)=1$

Sous-Groupe

Déf :

  • Sous-monoïde : partie stable par $*$, contenant $e$
  • Sous-groupe : sous-monoïde qui est un groupe.

Ex: $A$ monoïde.

  1. $a∈$, centralisateur de $a$ : \(Z_a ≝ \{x∈A \vert ax = xa\}\) Si $x∈Z_a(A)$ est inversible dans $A$, alors $x^{-1} ∈ Z_a(A)$

  2. $Z(A) = \bigcap_{a ∈ A} Z_a(A) = {a ∈ A \vert xa = ax ∀x}$ : centre de $A$. \(Z(A)∩A^{*} = Z(A)^{*}\)

  3. $A$ groupe commutatif.

  • Pour tout $n \geq 1$, ${a∈A \vert a^n = e}$ est un sous-groupe de $A$.
  • {a ∈ A \vert or(a) \text{ est fini}}

Lemme : $A$ un monoïde (resp. groupe). Toute intersection d’une famille de sous-monoïdes (resp. sous-groupes) de $A$ en reste un.

Soit $S⊆A$.

Sous-groupe / Sous-monoïde engendré par $S$ :

On appelle sous-monoïde (resp. sous-groupe) de $A$ engendré par $S$ l’intersection de tous les sous-monoïdes (resp. sous-groupes) de $A$ contenant $S$.

C’est un sous-monoïde (resp. sous-groupe) de $A$ qui contient $S$. C’est le plus petit.

Notation : On le note $⟨S⟩$ (pas officiel).

Exs :

  • $A = ℤ$ :
    • sous-monoïde engendré : $ℕ\backslash{1}$
    • sous-groupe engendré : $ℤ$
  • Dans le groupe $𝕾_n$ les ensembles suivants sont générateurs :
    • ${(i, j) \vert 1\leq i < j \leq n}$
    • ${(1, 2), ⋯, (1,2,⋯, n) }$
    • ${(i, i+1) \vert 1\leq i \leq n-1}$
    • ${(1, i) \vert 2\leq i \leq n}$
  • Dans le groupe $SL_2(ℤ)$ :
    • $S = \begin{pmatrix}0 & -1 \ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $T = \begin{pmatrix}1 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ l’engendrent (en tant que groupe).

Dém :

\[S^2 = -I_2 ⟹ S^4 = I_2 ⟹ S^{-1} = S^3\]

Par récurrence sur $\vert a\vert + \vert c\vert$ :

Si $A = \begin{pmatrix}a & b \ c & d \end{pmatrix}$,

\[SA = \begin{pmatrix}-c & -d \\ a & b \end{pmatrix}\]

On suppose $\vert c\vert \leq\vert a\vert$

$q∈ℤ$

\[T^q A = \begin{pmatrix}1 & q \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \\ =\begin{pmatrix} a + qc & b + qd \\ c & d \end{pmatrix}\]
  • Supposons $c \neq 0$ :

$-q$ quotient de la DE de $a$ par $c$, $r$ : reste

$0 \leq a + qc \leq \vert c\vert \leq \vert a\vert$

Par réc : $T^q A ∈ ⟨S,T⟩$, donc $A ∈ ⟨S,T⟩$ ($A = T^{-q} T^{q} A$)

  • Supposons $c=0$ :

$1 = ad-bc = ad ⟹ \vert a\vert =\vert d\vert =1$

  • $a=1$ : $A = \begin{pmatrix}1 & b \ 0 & 1 \end{pmatrix} = T^b ∈ ⟨S,T⟩$
  • $a=-1$ : $S^2 A = \begin{pmatrix}-1 & -b \ 0 & 1 \end{pmatrix} ∈ ⟨S,T⟩$

Morphismes

Soit $A, B$ des monoïdes (resp. groupes).

On dit qu’une application est un morphisme de monoïdes (resp. groupes) si

  • elle envoie le neutre sur le neutre
  • elle stabilise la l’opération du monoïde (resp. groupe)

Soit $f: A⟶B$ un morphisme de monoïdes.

Isomorphisme :

Morphisme tel qu’il existe un inverse à gauche / à droite.

NB :

  • Alors il est bijectif.
  • Alors l’inverse est aussi un morphisme.

Exs de morphismes :

  • $Id_A$
  • $x \mapsto e_B$ (morphisme trivial)
  • Stabilité (des morphismes) par composition

NB :

Catégories : Fait expérimental : les objets mathématiques viennent avec leur notion de morphisme (pas très utile en analyse / MAIS extrêmement important en algèbre).

Catégorie $𝒞$ :
  • “Collection” d’objets : $Ob(𝒞)$
  • Pour $a, b ∈ Ob(𝒞)$, un ensemble $Hom_𝒞(a,b) = 𝒞(a,b)$
  • Lois de composition \(\begin{cases} 𝒞(a,b) \times 𝒞(b,c) ⟶ 𝒞(a,c) \\ (f,g) \mapsto g \circ f \end{cases}\)

Axiomes :

  • Associativité de la composition des morphismes
  • Éléments neutres $Id_a ∈ 𝒞(a,a)$
    • Neutres à droite /à gauche selon l’ensemble de départ/d’arrivée.

NB:

  • $𝒞(a,a)$ est un monoïde.
  • Les catégories forment elles-mêmes une catégorie.

Attention : une classe de classe n’est pas une classe, pour éviter le paradoxe de Russell (l’ensemble des ensembles n’existe pas).

NB : Il n’y a pas de consensus sur la formalisation à adopter.

Soit $A$ un groupe : $(End(A), \circ)$ est un monoïde, d’éléments inversibles $Aut(A)$

Ex : Soit $A$ un monoïde (resp. un groupe), $a ∈ A^*$.

\[Int(a) : \begin{cases} A ⟶ A \\ x \mapsto axa^{-1} \end{cases}\]

est un automorphisme de $A$ appelé automorphisme intérieur.

\(\begin{cases} A^* ⟶ Aut(A) \\ a \mapsto Int(a) \end{cases}\) est un morphisme de groupes.

Lemme : Soit $f: A⟶B$ un morphisme de monoïdes (resp. de groupes).

1) $f(A)$ est un sous-monoïde (resp. un sous-groupe) de $B$. 2) Pour tout sous-monoïde (resp. sous-groupe) $B’$ de $B$, $f^{-1}(B’)$ est un sous-monoïde (resp. sous-groupe) de $A$. 3) Si $g: A⟶B$ est un second morphisme de monoïdes, alors \({\rm Ker}(f,g) ≝ \{a∈A \vert f(a) = g(a)\}\) est un sous-monoïde (resp. un sous-groupe) de $A$ : c’est l’égalisateur.

Ex :

  • Noyau : ${\rm Ker}(f) ≝ f^{-1}(e_B)$

Pour qu’un morphisme de groupes soit injectif, il faut et il suffit que son noyau soit réduit à l’élément neutre (trivial).

Dém :

Si $f$ est injective, immédiat.

Dans l’autre sens, il faut pouvoir calculer $ab^{-1}$, donc être dans un groupe.

⟶ Exercice : Trouver un morphisme de monoïdes non injectif dont le noyau soit réduit à l’élément neutre.

Produit d’une famille de groupes

Soit $(A_i){i∈I}$ une famille de monoïdes, $A≝ \prod\limits{i∈I} A_i$.

Loi de composition dans $A$ : \((a_i)_{i∈I}(b_i)_{i∈I} = (a_i b_i)_{i∈I}\)

$A$ est un monoïde, d’élément neutre $(e_i)_{i∈I}$.

\[A^* = \{(a_i)_{i∈I} \vert a_i ∈ A_i^* ∀ i ∈ I\}\]

Corollaire :

  • Si les $A_i$ sont des groupes, alors $A$ est un groupe.

- \(p_i : \begin{cases} A ⟶ A_i \\ a \mapsto a_i \end{cases}\) est un morphisme de monoïdes.

Propriété universelle : Soit $B$ un monoïde, soit $(f_i)_{i∈I}$ une famille où, pour tout $i$, $f_i$ est un morphisme de $B$ dans $A_i$.

Il existe un unique morphisme $f: B⟶A$, définit par $f(b) = (f_i(b))_{i∈I}$, tel que : \(p_i \circ f = f_i ∀ i ∈ I\)

Soit $A$ un groupe : $B, C$ des sous-groupes de $A$.

On suppose \(\begin{cases} B∩C = \{e\} \\ B.C = A \end{cases}\)

L’application \(f : \begin{cases} B\times C ⟶ A \\ (b,c) \mapsto bc \end{cases}\) est bijective :

  • surjective par hypothèse
  • injective, car \(b_1c_1 = b_2c_2 \\ ⟹ b_2^{-1}b_1 = c_2 c_1^{-1} ∈ B∩C \\ ⟹ b_2^{-1}b_1 = c_2 c_1^{-1} = e\)

MAIS : ce n’est pas forcément un morphisme de groupes :

$f$ est un morphisme de groupe ssi $B$ et $C$ commutent

Dém :

Nécessairement : $(b,c) = (b,e)(e,c) = (e,c)(b,e)$

  • CN : $f(b,c) = bc$ d’une part, $f(b,c) = cb$ d’autre part
  • CS : On vérifie que $f$ stabilise la loi interne si $b$ et $c$ commutent.
Produit direct :

$A$ est le produit direct de ses sous-groupes $B$ et $C$.

Hypothèse :

Pour tout $b∈B, c∈C$, $cbc^{-1} ∈B$

\[𝜑(c) : \begin{cases} B ⟶ B \\ b \mapsto cbc^{-1} \end{cases}\]

$Int(c)_{\vert B} = 𝜑(c) ∈ End(B)$

$𝜑(cc’) = 𝜑(c)𝜑(c’)$

$𝜑 : C⟶End(B)$ morphisme de monoïdes DONC : $𝜑 : C⟶Aut(B)$ morphisme de groupes

Définition du produit semi-direct de $B$ par $C$ : $B\rtimes_𝜑 C$.

Ex : Groupe affine d’un $ℝ$-ev $V$ : c’est le produit semi-direct $GA(V) = GL(V) \rtimes_𝜑 T(V)$, car \(𝜑(u)(𝜏_v) = 𝜏_{u(v)}\)

Opérations d’un groupe dans un ensemble

Soit $A$ un monoïde, $X$ un ensemble.

Une opération (à gauche) de $A$ dans $X$ est un morphisme de monoïdes $A ⟶ {\cal F}(X, X) = X^X$

Explicitement :

  • $a∈A ⟶ f(a) : X ⟶ X$
  • $f(e) = Id_X$
  • $f(ab) = f(a)\circ f(b)$ Si $a ∈ A^*$, $f(a)$ est un élément inversible de $X^X$, i.e une bijection de $X$ dans $X$.

Si $A$ un groupe, $f: A⟶𝕾(X)$

\[\begin{cases} A \times X ⟶ X \\ (a,x) \mapsto f(a)(x), \text{ noté } a.x \end{cases}\]
  • $e.x =x$
  • $ab.x = a.(b.x)$

Opération à droite : monoïde opposé $X^{X, opp}$

Exs :

  • $A = X^X$ opère naturellement dans $X$, $f = Id_A$ : \(𝜑.x = 𝜑(x)\)
  • idem pour les espaces vectoriels, avec les applications linéaires.
  • Soit $A$ opérant à gauche dans $X$ :
    • Soit $B$ un sous-monoïde de $A$ : il opère encore à gauche (restriction de $f$)
    • Soit $Y$ une partie de $X$, stable par l’opération de $A$ : alors $A$ opère naturellement dans $Y$.
  • Soit $A$ un monoïde. $A$ opère à gauche / à droite dans lui-même avec $a.x = ax$ / $x.a = xa$
\[\begin{cases} A ⟶ A^A \\ a \mapsto 𝛾_a \end{cases}\] \[\begin{cases} A ⟶ A^{A, opp} \\ a \mapsto 𝛿_a \end{cases}\]

injectifs : “plongements de Cayley” (essentiellement inutile, mais existe).

Soit $A$ un groupe. $Int : A ⟶ Aut(A) ⊆ 𝕾(A)$ : action de $A$ sur lui-même par automorphismes intérieurs (ou par conjugaison) : \(a.x = axa^{-1}\)

Notations : $A$ monoïde opérant dans un ensemble $X$.

Fixateur de $x$:

$A_x ≝ {a∈A \vert a.x =x}$ : sous-monoïde/groupe de $A$.

Fixateur de $Y$:

$Fix(Y) ≝ {a∈A \vert a.Y = Y}$ : sous-monoïde/groupe de $A$.

NB : ${a∈A \vert a.Y ⊆ Y}$ : pas forcément un sous-groupe de $A$.

Application orbitale :

\(\begin{cases} A ⟶ X \\ a \mapsto a.x \end{cases}\) Son image est l’orbite de $x$, notée $O_x$.

Si $A$ est un groupe : La relation “$x$ est dans l’orbite de $y$” est une relation d’équivalence.

Les classes d’équivalences sont les orbites, et l’ensemble quotient est noté $X/A*, ou $A\backslash X$ (“$A$ sous $X$”, pour insister sur le fait que l’action de $A$ est à gauche).

Opération transitive :

ssi elle a exactement une orbite, i.e $X\neq ∅$ ET $∀x,y ∈X, ∃a∈A; x = a.y$.

Opération libre :

ssi le fixateur de chaque élément de $X$ est trivial.

Opération fidèle :

ssi $A ⟶ 𝕾(X)$ est injectif ($a.x=x ∀x ⟹ a=e$).

Ex :

Soit $A$ un groupe, $B$ un sous-groupe de $A$ :

  • Opération de $B$ par translation à gauche dans $A$.

Orbite de $a$ : \(B.a = \{ba \vert b∈B\}\) Classe à gauche de $a$ modulo $B$.

  • Classes à droite.
  • Classe de conjugaison de $a$ sous $B$ : ${bab^{-1}}$

Soit $𝕂$ un corps. $Gl_n(𝕂)$ opère dans $ℳ_{n,m}(𝕂)$ (mult. à gauche) ⟶ ∃ un représentant canonique dans chaque classe : “matrices échelonnées par ligne”. ⟹ elles trivialisent les problèmes de résolution de systèmes linéaires.

$A$ un groupe opérant dans $X$, $x∈X$ : $a \mapsto a.x$

$ax = bx ⟺ b^{-1}a ∈ A_x ⟺ a ∈ b A_x$ ssi $a$ appartient à l’orbite à droite de $b$ modulo $A_x$.

$O_x$ est finie ssi $A_x$ est d’indice fini dans $A$ et $\vert O_x\vert = (A:A_x)$

Propostion :

\[\vert X\vert = \sum\limits_{O ∈ X/A} \vert O\vert = \sum\limits_{O ∈ X/A} (A:\underbrace{A_0}_{\text{fixateur d'un élément de $O$}})\]

Corollaire : $H$ sg de $G$ : \(\vert G\vert = (G:H)\vert H\vert\)

On fait agir $H$ par translation à gauche dans $G$ :

Les orbites $Hg, g∈G$ sont de cardinal $\vert H\vert $, nombre d’orbites : $(G:H)$.

Corollaire : $G$ groupe fini, $g∈G$. Alors $g$ est d’ordre fini, et son ordre divise $\vert G\vert $.

Dém : Avec $H = ⟨g⟩ ≃ ℤ/nℤ$

NB : Pour $G$ abélien : \(\prod\limits_{x∈G} x = \prod\limits_{x∈G} (g.x) = g^{\vert G\vert } \prod\limits_{x∈G} x\)

Équation aux classes

Sous-groupes distingués, groupes quotients

Sous-groupe $B ⊆ A$ distingué:

ssi $aba^{-1} ∈ B$ pour tout $a∈A, b∈B$ ($B$ est stable par tout automorphisme intérieur de $A$).

Cela équivaut à $aBa^{-1} ⊆ B$ pour tout $a$, et donc $aBa^{-1} = B$

Sous-groupe caractéristique :

Stable par tout automorphisme de $A$.

Ex :

  • le centre, le groupe trivial et $G$ sont des sous-groupes caractéristiques.
  • le noyau est un sous-groupe distingué.
Normalisateur de $B$ sg de $A$ :

$N_A(B) ≝ {a ∈ A \vert aBa^{-1} = B}$

Si $B$ est un sous-groupe distingué de $N$ : $N$ est le plus grand sous-groupe contenant $B$ et dont $B$ est un sous-groupe distingué.

Les sous-groupes distingués sont stables par intersection.

⟶ sous-groupe distingué engendré par une partie.

  • Groupe quotient $A/\sim$, quand $\sim$ est compatible avec la loi de $A$ ⟶ $c$ = morphisme de groupe, de noyau $C(e)$

Sous-groupe distingué :

  • 1⟹2 : Calcul
  • 2⟹3 : évident
  • 3⟹4 : construction précédente
  • 4⟹1 : déjà vu

La relation $a^{-1}b ∈ B$ est la même que celle des classes à gauche (et celle des classes à droite, puisque $a^{-1}b ∈ B ⟺ ab^{-1} ∈ B$)

NB: Chaque construction est associée à une propriété universelle.

Unicité : comme $p$ est surjective, il y a au plus une application tq $f = 𝜑\circ p$.

NB :

  • Éq des surjectivités : leurs images sont égales

NB : $f^{-1}(D(A)) \supset {\text{commutateurs}}$, donc $\supset D(A)$

Dès qu’on veut comprendre le un morphisme d’un groupe $A$ dans un groupe abélien $B$, il nous suffit de connaître $f(D(A))$

Preuve : $Ker(f) \supset D(A)$, car comme $B$ est commutatif, $[f(a), f(b)] = f([a,b]) = 𝜀$, donc $Ker(f)\supset {\text{commutateurs}}$ donc $Ker(f)\supset D(A)$

Plus petite relation d’équivalence : intersection de graphes de relations est un graphe de relation

$F(S)^* \supset p(S∪S’)$, et comme $p(S∪S’)$ engendre $F(S)$, \(F(S)^* = F(S)\) donc $F(S)$ est un groupe.

NB :

  • Si $\vert S\vert = 0$ : $S∪S’ = ∅$, $M’(S) = {𝜀}$, $F(S) = {e}$
  • Si $\vert S\vert = 1$ : $S = {s}$

Mots réduits : $𝜀, s⋯s, s’⋯s’$.

\(\begin{cases} F(S)⟶ℤ \\ s \mapsto 1 \end{cases}\) est un isomorphisme

Groupe engendré par des générateurs et une relation

\[\begin{cases} M'(S)⟶A \\ s \mapsto a_s \\ r = st'st \mapsto r(a) = a_s a_t^{-1}a_sa_t \end{cases}\]

$𝜑 : G(S,R) ⟶ ℤ^n, s_i \mapsto e_i$

Ce morphisme est un iso :

  • Surjectif : $𝜑(s_1^{m_1}⋯s_n^{m_n}) = (m_1 , ⋯, m_n)$

  • Injectif : on construit l’inverse :

$𝜓 : ℤ^n⟶G(S,R), 𝜓(m_1 , ⋯, m_n) = [s_1]^{m_1}⋯[s_n]^{m_n}$

Il conserve la loi du groupe, car $[s_i]$ et $[s_j]$ commutent.

On montre que $𝜓\circ 𝜑 = id$ sur la partie génératrice $S$.

De plus, $𝜑$ est un isomorphisme.

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