Cours 1 : Théorie des Ensembles, Magmas, Monoïdes.

4 chapitres :

  • Intro, Théorie des Ensembles
  • Groupes : addition
  • Anneaux : multiplication
  • Corps : division
  • Fin : théorie de Galois ?

Chapitre 1

Rappels de théorie des ensembles

Notion d’ensemble : admise.

Il y a un symbole d’appartenance : $∈$.

NB: les entiers = des ensembles

Deux principes :

  • Extension : Deux ens qui ont le mm nb d’élément, c’est le mm
  • Compréhension : avec un propriété $P(x)$, on peut former $\lbrace x \mid P(x)\rbrace$

MAIS : attention, l’ensemble $A ≝ \lbrace x \mid x \not\in x\rbrace $ n’existe pas : \(A ∈ A ⟺ A \not\in A\)

cf. Logicomix pour la partie historique (paradoxe de Russel : p.162)

⟹ Restriction du principe de compréhension : $\lbrace x ∈ A \vert P(x)\rbrace $ (autres principes importants : remplacement, etc…)

Relation ≝ $A$ un ens, $R ⊆ A$ :

Alors $x∈ R$ noté $R(x)$

Relation $n$-aire : dans $A$, $R ⊆ A^n$

NB: $R(x,y)$ ⟶ graphe

Relation d’équivalence :

  • réflexive
  • symétrique
  • transitive

Ex:

  1. Égalité
  2. Dans $ℤ$ : “$x-y$ est pair”

Soit $R$ une relation d’éq dans un ensemble $A$ :

Classe d’éq de $a∈A$ : \(C_a ≝ \lbrace x∈A \vert xRa\rbrace\)

Propriétés :

  • $xRy ⟺ C_x = C_y ⟺ C_x ∩ C_y \neq ∅$
  • Les classes d’éq forment une partition de $A$

L’ensemble quotient : $A/R ∈ 𝒫(𝒫(A))$ = ensemble des classes d’éq

\(c : A ⟶ A/R, x \mapsto C_x\)

  • $c$ surjective
  • \[c(x) = c(y) ⟺ xRy\]

Ex: $ℤ/nℤ$ : $R_n$ = relation “$x-y$” est multiple de $n$

classe de $x$ : $\bar{x} = \lbrace x + kn \vert k∈ℤ\rbrace$

\[ℤ/R_n = \lbrace \bar{0}, ⋯ , \bar{n-1} \rbrace\]
  • Voc : représentants de classes d’éq

Propriété Universelle

Pour toute application $f : A ⟶ B$ tq $xRy ⟺ f(x) = f(y)$, il existe une unique application $\bar{f} : A/R ⟶ B$ tq $f = \bar{f} \circ c$

cf. diagramme

Preuve :

  • Unicité : $f = \bar{f_1} \circ c = \bar{f_2} \circ c$, puis : surjectivité de $c$ pour tout $𝛼 = c(a) ∈A/R$
  • Existence : on regarde $c^{-1}(𝛼)$ pour tout $𝛼∈A/R$, puis : tous les éléments de la classe de $a∈A$ ont la même image par $f$, qu’on note $\bar{f}(a)$.

Relation d’ordre

Une relation binaire $R$ qui est :

  • réflexive
  • transitive
  • antisymétrique

NB:

  • Ordre strict : $xR’y ⟺ xRy ∧ x \neq y$
  • réflexive + transitive seulement = relation de pré-ordre.

Méga-Remarque : Pour une relation de préordre $\preccurlyeq$, notons $≡$ la relation “$x \preccurlyeq y$ ET $y \preccurlyeq x$” : c’est une relation d’équivalence.

Alors avec $c : A ⟶ A/≡$, la relation $≤$ : \(c(x) ≤ c(y) ⟺ x \preccurlyeq y\) est une relation d’ordre dans $A/≡$

Soit $≤$ une relation d’ordre sur $A$.

On définit naturellement :

  • $a$ majore $S ⊆ A$
  • $a$ est le plus grand élément de $S$
  • $a$ est un élément maximal de $S$

Ordre total : Pour tous $x, y$ : $x ≤ y$ ou $y≤ x$

$S$ ensemble. $A = R(S)$ relation d’inclusion. relation d’ordre non totale si il existe $x \neq y \in S$ tq $\lbrace x\rbrace, \lbrace y\rbrace ⊆ S$

Théorème de ZORN

Ex: Pour assurer l’existence d’une base d’un ev quelconque.

Soit $A$ un ensemble ordonné. On suppose que toute partie totalement ordonnée de $A$ est majorée ($A$ est dit “inductif”).

ALORS $A$ possède un élément maximal.

Dém :

ABS : Soit $C$ une partie tot ordonnée de $A$, et $a$ un majorant de $C$. Par hypothèse, $a$ n’est pas un élément maximal de $A$.

Donc il existe $𝜇(C)∈A$ tq $a<𝜇(C)$.

En particulier :

  • $𝜇(C)∈A$ majore $C$
  • $𝜇(C) \not\in C$

On utilise l’axiome du choix, en construisant : \(𝜇 : \{\text{parties tot. ordonnées}\} ⟶ A\) (c’est une fonction de choix)

On dit qu’une partie $S$ de $A$ est $𝜇$-adéquate si elle est bien ordonnée et si pour tout $x∈S$, \(x = 𝜇(\underbrace{S_x}_{= \{a∈S \vert a<x\}})\)

Lemme : Soit $S, S’$ deux parties $𝜇$-adéquates :

  • OU BIEN : $S$ est un segment initial de $S’$
  • OU BIEN : $S’$ idem $S$
  • OU BIEN : $S = S’$

Preuve : Soit $I$ la réunion des parties de $A$ qui sont à la fois segment initial de $S$ et de $S’$.

$I$ est un segment initial de $S$ et de $S’$ (c’est le plus grand).

On va mq $I = S$ ou $I = S’$.

ABS : Supposons que $I \neq S ∧ I \neq S’$

Alors il existe $a∈S, a’∈S’$ tq $I = S_a$ et $I=S_{a’}$ (par le lemme plus bas). \(a = 𝜇(S_a) = 𝜇(I) = 𝜇(S_{a'}) = a'\) (par $𝜇$-adéquation)

Donc $J ≝ I ∪ \lbrace a\rbrace$ est un segment initial qui contredit la maximalité de $I$.

Soit $W$ la réunion de toutes les parties $𝜇$-adéquates de $A$. Mq $W$ l’est aussi.

  • $W$ est bien ordonnée : soit $C$ une partie non vide de $W$, et $x∈C$. Il existe une partie $𝜇$-adéquate $S ∋ x$. On note $a$ le plus petit élément de $C∩S$. Soit $y∈C$, soit $S’$ une partie $𝜇$-adéquate tq $y∈S’$. Disjonction des cas, par le lemme précédent :
    1. Si $S’$ est un segment initial de $S$, $S’⊆S$, donc $y∈S$, donc $y∈C∩S$, donc $a≤y$
    2. Si $S$ est un segment initial de $S’$, si par l’ABS : $a>y$ alors $y∈C∩S$, ce qui contredit la définition de $a$.
  • $W$ est $𝜇$-adéquate : Soit $x∈W$, prouvons que $x=𝜇(W_x)$. Soit $S$ $𝜇$-adéquate tq $x∈S$. $W_x = S_x ⟹ 𝜇(W_x) = 𝜇(S_x) = x$ car $S$ est $𝜇$-adéquate.

$W’ = W ∪ \lbrace 𝜇(W)\rbrace$ est $𝜇$-adéquate. $W’_{𝜇(W)} = W$. $W ⊊ W’$ contredit la déf de $W$.

Application : tout $ℝ$-ev possède une base.

Soit $V$ un $ℝ$-ev de dimension quelconque.

ALORS $V$ possède une base (partie libre maximale).

Dém : Soit $L$ l’ensemble des parties libres de $V$, muni de la relation d’inclusion.

Déduisons du th de Zorn que $L$ possède un élément maximal.

Soit $T$ une partie totalement ordonnée de $L$ :

  • $T$ est majorée par la réunion de tous ses éléments (qu’on notera $M$).
  • Montrons que $M$ est libre : pour relation de liaison \(\sum\limits_{i=1}^m 𝜆_i v_i = 0\) Tous les $v_i ∈ 𝒯_i$ appartiennent à un même $𝒯_j ∈ T$ (comme $T$ est totalement ordonnée). Or : $𝒯_j$ est libre. Donc les $𝜆_i$ sont nuls.

Digression : Un ensemble est bien ordonné si toute partie non vide possède un plus petit élément.

NB: Un bon ordre est total, puisque que deux élément forment une partie (ayant un plus petit élément).

Ex fondamental : Dans $ℕ$ :

  • le principe de récurrence (par l’absurde) : toute partie de $ℕ$ qui, si elle contient un entier, contient son successeur, est égale à $ℕ$.

  • Récurrence transfinie (récurrene forte) : Si $S ⊆ A$ verifie \(∀a∈A : ((∀x∈A; x≤a ⟹ x∈S) ⟹ a∈S)\) ALORS $S = A$.

  • Un segment initial d’un ensemble tot. ordonné est une partie $I$ tq \(x∈I ∧ y≤x ⟹ y ∈ I\)

Ex: $A$ tot ordonné \(A_a = \{x∈A \vert x < a\}\)

Lemme : Soit $A$ bien ordonné et $I$ un segment initial de $A$ distinct de $A$.

Soit $a$ le plus petit élément de $A - I$.

On a \(I = A_a\)

Dém :

  • Soit $x ∈ A_a$ : comme $x < a∈I$, $x∈I$ (segment intial). Donc $A_a ⊆ I$.
  • Soit $x∈I$, prouvons $x<a$. ABS : si $x≥a$, $a∈I$ (segement initial) : faux, par déf de $a$.

Axiome du choix :

  • Un produit d’ensembles non vides est non vide
  • Si $f : A ⟶ B$ est surjective, il existe $g : B ⟶ A$ telle que $f \circ g = id_B$

NB: cette dernière propriété n’est pas évidente en topologie, si on parle de fonction continues.

NB : il y a aussi des affaiblissements :

  1. $ℕ = I$ dénombrable : \(∀n, A_n \neq ∅ ⟹ ∃ (a_n) ∈ \prod_n A_n\)
  2. $P_n$ partie de $A_1 \times ⋯ \times A_n$ \(∀n, ∀a_1, ⋯, a_n, ∃x ∈ A_{n+1}, P_{n+1}(a_1, ⋯, a_n, x) \\ ⟹ ∃ (a_n), P_n(a_1, ⋯, a_n) ∀n\)

Magmas

Déf : c’est un ensemble + une loi binaire (loi de composition) \(m : A \times A ⟶ A\)

NB: notation infixe : $m(a,b) = a*b$

Morphisme de magmas : $(A, )$, $(B, \circ)$ : $f: A ⟶ B$ tq $f(xy) = f(x)\circ f(y)$ pour tous $x, y ∈ A$

Isomorphisme : morphisme bijectif ($f^{-1}$ reste un morphisme)

NB: $Id_A$ est un morphisme. Le composé de deux morphismes est un morphisme

  • Élément neutre : $e∈A$ tq $ex = xe = x ∀x ∈A$
  • Simplifiable à droite : $a∈A$ tq $xa = ya ⟹ x=y$
  • Magma :
    • associatif
    • commutatif

Lemme : Soit $A, *$ un magma associatif : deux éléments neutres sont égaux \(e = e*f = f\)

  • Magma unifère : s’il possède un élément neutre.
  • Morphisme unifère : l’élément neutre est envoyé sur l’élément neutre.

Ex: \(f : \begin{cases} ℝ ⟶ ℳ_2(ℝ) \\ a \mapsto \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{cases}\)

Pour la multiplication : est un morphisme non unifère.

  • Sous-magma : partie $A’$ d’un magma $A$ stabilisée par la loi de composition
  • Sous-magma unifère : si $e ∈ A’$

Déf : Un monoïde est un magma associatif et unifère.

Dans un monoïde :

  • Inverse à droite et à gauche
  • $a$ inversible à droite : s’il a un inverse à droite

    Lemme : Deux inverses (l’un à gauche, l’autre à droite) de $a$ sont égaux.

Dém : Regarder $(ca)b$

Exs :

  • Ensemble des fonctions d’un ensemble $S$ : loi = composition, neutre = $Id_A$ NB : Inversibilité à droite = surjectivité, à gauche = injectivité
  • $(ℳ_n(ℂ),.)$ ⟶ Sous-magmas : $ℳ_n(ℝ), ℳ_n(ℤ)$

Magma quotient

Soit $A$ un magma, et $≡$ une relation d’équivalence dans $A$.

On dit que la relation $≡$ est compatible avec la loi $*$ ssi \(x≡x' ∧ y≡y' ⟹ x*x' ≡ y*y'\)

Ex: $A = ℤ$, $* = + \text{ ou } \times$ : congruence modulo $n$ (compatibilité évidente).

Dans ce cas, il existe une seule loi de composition dans $A/≡$ pour laquelle $c : A ⟶ A/≡$ soit un morphisme de magmas.

Si $A$ est associatif OU commutatif OU unifère : $A/≡$ aussi.

Propriété universelle du magma quotient

Mm notations. Pour tout morphisme de magma $f: A⟶B$ tq $x≡y ⟹ f(x) = f(y)$

L’unique application \(\bar{f} : A/≡ ⟶ B\) tq $f = \bar{f} \circ c$ est un morphisme de magmas.

Ex : Morphisme de magma

\[f : \begin{cases} ℕ ⟶ F(S) \\ 1 \mapsto (u : S ⟶ S) \\ n \mapsto \underbrace{u \circ ⋯ \circ u}_{n \text{ fois }} \end{cases}\] \[f : \begin{cases} ℤ ⟶ F(S) \\ 1 \mapsto (u : S ⟶ S) \\ n \mapsto u^{n} \\ -1 \mapsto u^{-1} \\ -n \mapsto u^{-n} \end{cases}\]

Compatibilité à la congruence mod $N$ : \(m ≡ n \, \, {\rm mod} \, N ⟹ u^n = u^m\) $⟹ u^N = Id$

\[\bar{f} : ℤ/Nℤ ⟶ F(S), \bar{m} \mapsto u^m\]

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