TD 1: Topologie générale, Espace quotient
Feuille 1
Exercice 2.
Si
sont connexes es
Connexité | |
---|---|
non | |
non | |
oui | |
non | |
non | |
non |
Sinus du topologue
Connexité par arcs | |
---|---|
non | |
non | |
non | |
non | |
non | |
non |
Quasi-compacité | |
---|---|
oui | |
non | |
non | |
non | |
non | |
oui |
Non pour l’adhérence et la frontière
avec topologie
Non pour l’intersection
Tout ouvert contenant
Non pour l’intérieur
Un quasi-compact dans
Séparation | |
---|---|
non | |
oui | |
non | |
oui | |
non | |
oui (tout ss-ensemble d’un esp. séparé est séparé) |
Non pour l’union
séparés- mais
non séparé
Adhérence et frontière
pas séparé pas forcément séparé
Séparabilité | |
---|---|
oui | |
non | |
oui | |
oui | |
Union
Intérieur
Si
Intersection
tout ouvert contenant
Ex d’espace non séparable: espace non dénombrable avec la topologie discrète
Frontière
non forcément séparable
Fermés
ouvert fermé (non forcément séparable)
Remarque (sans rapport avec l’exercice)
L’image directe se comporte mal par rapport à toutes les opération: elle préserve juste
L’image réciproque préserve l’inclusion, la réunion,
Toute application bijective continue d’un compact dans un séparé est un homéo
Exercice 8
Partie 1
Soit
un e.t. une partie non vide egendrée par
Ex:
-
Disque
≝ -
Frontière du disque
≝ -
Sphère
:
défini pour
On prolonge cette application par continuité en
L’application
continue, surjective
Si
injective sur
⟹
⟹
est quasi-compact séparée
Exercice 8.2
e.t. continue
hypothèse:
Relation d’éq sur
Classe d’éq de
Ex:
1)
Continue surjective sur les classes d’éq
⟶ bijection entre un compact et un séparé ⟹ homéo
2)
4)
5) Bouquet de cercles
L’écrasement est un cas particlier d’identification
e.t.
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