TD 1: Topologie générale, Espace quotient

Feuille 1

Exercice 2.

Si A,B sont connexes es

  Connexité
non
non
oui
° non
Fr non
F fermé non

Sinus du topologue

A{(x,sin1x)x}A=A{0}×[1,1]

Sinus du topologue

  Connexité par arcs
non
non
non
° non
Fr non
F fermé non
  Quasi-compacité
oui
non
non
° non
Fr non
F fermé oui

Non pour l’adhérence et la frontière

XY{a}

avec topologie τ engendrée par les U{a}, U ouvert de X

X[0,+[, topo donnée par ]a,+[

Non pour l’intersection

A{0}]2,+[B{1}]2,+[

Tout ouvert contenant 0 recouvre AA quasi-compact.

AB=]2,+[ n’est pas quasi-compact.

Non pour l’intérieur

Un quasi-compact dans est un fermé borné: l’intérieur d’un intervalle fermé borné n’est pas un intervalle fermé borné.


  Séparation
non
oui
non
° oui
Fr non
F fermé oui (tout ss-ensemble d’un esp. séparé est séparé)

Non pour l’union

  • X={0,1}
  • τ={,X,{0}}
  • A={0},B={1} séparés
  • mais AB non séparé

Adhérence et frontière

  • A={a},A=X pas séparé
  • FrA=Y pas forcément séparé

  Séparabilité
oui
non
oui
° oui
Fr  
F fermé  

Union

  • AX,BY
  • A=X,B=Y
  • AB=XY

Intérieur

Si A est dénombrable dense dans X, alors tout ouvert recontre A, donc tout ouvert de Xo recontre A

Intersection

Y{a,b}=X

τ engendré par les U{a,b}

  • A={a}Y,A=X
  • B={b}Y,B=X

tout ouvert contenant {a} contient forcément {a,b}

AB=Y pas forcément séparable

Ex d’espace non séparable: espace non dénombrable avec la topologie discrète

Frontière

  • Y{a}=X
  • A={a}
  • Fr{a}=Y non forcément séparable

Fermés

  • {a} ouvert
  • Y fermé (non forcément séparable)

Remarque (sans rapport avec l’exercice)

f:XY

L’image directe se comporte mal par rapport à toutes les opération: elle préserve juste et

L’image réciproque préserve l’inclusion, la réunion, , le complémentaire


Af1fA pour tout AX, avec égalité ssi f est injective.

ff1BB pour tout BX avec égalité ssi f est surjective.

Toute application bijective continue d’un compact dans un séparé est un homéo

Exercice 8

Partie 1

Soit

  • X un e.t.
  • A une partie non vide
  • egendrée par xxx,xA
  • p:XX/∼=X/A

Ex:

  • Disque Dnn(x1,,xn)n;ixi21

  • Frontière du disque Dnn(x1,,xn)n;ixi2=1

  • Sphère Snn+1: (x1,,xn+1)n+1;ixi2=1

(x1,,xn)n,x2i=1nxi2 {Dn{0}Snx(xxsinπx,cosπx)

défini pour x0, continue sur Dn{0}

On prolonge cette application par continuité en 0, en posant

f(0)=(0,,00n,1)=N(ord)

f est constante sur les classes d’équivalence de

x=1f(x)=(0,,0,1)=S(ud)

f est continue est surjective.

L’application f passe au quotient

f:Dn/DnSn

continue, surjective

f est injective (f est injective de (Dn)o sur Sn{S})

DnfpSnDn/Dnf

[x],[y]Dn/Dn

Si f(x)=f(y)Sn{S}, alors x,yDno

f/Dno inj sur Sn{S}, donc x=yDno[x]=[y]

f injective sur Dno
f(x)=f(y)N{0x,y1cosπx=cosπyxxsinπx=yysinπy

{x=y(xy)sinπx=0

x=y car 0x,y1


  • Dn/Dn est quasi-compact
  • Sn séparée
f homéo

Exercice 8.2

  • X e.t.
  • AX,A
  • f:AX continue
  • p:XX/

hypothèse: xX,{x,f(x),f2(x),} a un ou deux éléments distincts

Relation d’éq sur X:

  • xAf(A)
  • xA
  • xf(A)A

Classe d’éq de x formée par

  • {x}
  • {f(x)}f1({f(x)})
  • {x}f1({x})

X/∼=X/f

Ex:

1)

  • X=[0,1]
  • A={0}
  • f(0)=1
  • [0,1]/f=[0,1]/{0,1}
[0,1]tfpS1exp(2iπt)[0,1]/fhoméo

Continue surjective sur les classes d’éq

⟶ bijection entre un compact et un séparé ⟹ homéo

2)

  • X=[0,1]2
  • A={0}×[0,1]
  • f(0,y)=(1,y)(0,y)A
X/fS1×[0,1] cylindre

4)

  • [0,1]2=X
  • A={0}×[0,1]
  • f(0,y)=(1,1y)
X/f= Ruban de Möbius fermé

5) Bouquet de cercles

  • X=Y=S1
  • A={a},f(a)=b

L’écrasement est un cas particlier d’identification

  • X e.t.
  • A
f:AX cste

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