TD 1: Topologie générale, Espace quotient

Feuille 1

Exercice 2.

Si $A, B$ sont connexes es

	Connexité
$\cup$	non
$\cap$	non
$\overset{―}{∙}$	oui
$∙^{°}$	non
$F r$	non
$F$ fermé	non

Sinus du topologue

\begin{matrix} A ≝ {(x, \sin \frac{1}{x}) ∣ x \in ℝ^{*}} \\ \overset{―}{A} = A \cup {0} \times [- 1, 1] \end{matrix}

	Connexité par arcs
$\cup$	non
$\cap$	non
$\overset{―}{∙}$	non
$∙^{°}$	non
$F r$	non
$F$ fermé	non

	Quasi-compacité
$\cup$	oui
$\cap$	non
$\overset{―}{∙}$	non
$∙^{°}$	non
$F r$	non
$F$ fermé	oui

Non pour l’adhérence et la frontière

X ≝ Y \cup {a}

avec topologie $τ$ engendrée par les $U \cup {a}$ , $U$ ouvert de $X$

$X ≝ [0, + \infty [$ , topo donnée par $] a, + \infty [$

Non pour l’intersection

\begin{matrix} A ≝ {0} \cup] 2, + \infty [ \\ B ≝ {1} \cup] 2, + \infty [ \end{matrix}

Tout ouvert contenant $0$ recouvre $A$ ⟹ $A$ quasi-compact.

$A \cap B =] 2, + \infty [$ n’est pas quasi-compact.

Non pour l’intérieur

Un quasi-compact dans $ℝ$ est un fermé borné: l’intérieur d’un intervalle fermé borné n’est pas un intervalle fermé borné.

	Séparation
$\cup$	non
$\cap$	oui
$\overset{―}{∙}$	non
$∙^{°}$	oui
$F r$	non
$F$ fermé	oui (tout ss-ensemble d’un esp. séparé est séparé)

Non pour l’union

$X = {0, 1}$
$τ = {\emptyset, X, {0}}$
$A = {0}, B = {1}$ séparés
mais $A \cup B$ non séparé

Adhérence et frontière

$A = {a}, \overset{―}{A} = X$ pas séparé
$F r A = Y$ pas forcément séparé

	Séparabilité
$\cup$	oui
$\cap$	non
$\overset{―}{∙}$	oui
$∙^{°}$	oui
$F r$
$F$ fermé

Union

$A \subseteq X, B \subseteq Y$
$\overset{―}{A} = X, \overset{―}{B} = Y$
$\overset{―}{A \cup B} = X \cup Y$

Intérieur

Si $A$ est dénombrable dense dans $X$ , alors tout ouvert recontre $A$ , donc tout ouvert de $X^{o}$ recontre $A$

Intersection

$Y \cup {a, b} = X$

$τ$ engendré par les $U \cup {a, b}$

$A = {a} \cup Y, \overset{―}{A} = X$
$B = {b} \cup Y, \overset{―}{B} = X$

tout ouvert contenant ${a}$ contient forcément ${a, b}$

A \cap B = Y pas forcément séparable

Ex d’espace non séparable: espace non dénombrable avec la topologie discrète

Frontière

$Y \cup {a} = X$
$A = {a}$
$F r {a} = Y$ non forcément séparable

Fermés

${a}$ ouvert
$Y$ fermé (non forcément séparable)

Remarque (sans rapport avec l’exercice)

f : X ⟶ Y

L’image directe se comporte mal par rapport à toutes les opération: elle préserve juste $\cup$ et $\subseteq$

L’image réciproque préserve l’inclusion, la réunion, $\cap$ , le complémentaire

$A \subseteq f^{- 1} f A$ pour tout $A \subseteq X$ , avec égalité ssi $f$ est injective.

$f f^{- 1} B \subseteq B$ pour tout $B \subseteq X$ avec égalité ssi $f$ est surjective.

Toute application bijective continue d’un compact dans un séparé est un homéo

Exercice 8

Partie 1

Soit

$X$ un e.t.
$A$ une partie non vide
$\sim$ egendrée par $x \sim x^{'} \forall x, x^{'} \in A$
$p : X ⟶ X / \sim= X / A$

Ex:

Disque $D^{n} \subseteq ℝ^{n}$ ≝ $(x_{1}, \dots, x_{n}) \in ℝ^{n}; \sum_{i} x_{i}^{2} \leq 1$
Frontière du disque $\partial D^{n} \subseteq ℝ^{n}$ ≝ $(x_{1}, \dots, x_{n}) \in ℝ^{n}; \sum_{i} x_{i}^{2} = 1$
Sphère $S^{n} \subseteq ℝ^{n + 1}$ : $(x_{1}, \dots, x_{n + 1}) \in ℝ^{n + 1}; \sum_{i} x_{i}^{2} = 1$

(x_{1}, \dots, x_{n}) \in ℝ^{n}, ‖ x ‖^{2} ≝ \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}

{\begin{cases} D^{n} ∖ {0} & ⟶ S^{n} \\ x & \mapsto (\frac{x}{‖ x ‖} \sin π ‖ x ‖, \cos π ‖ x ‖) \end{cases}

défini pour $x \neq 0$ , continue sur $D^{n} ∖ {0}$

On prolonge cette application par continuité en $0$ , en posant

f (0) = (\underset{0 \in ℝ^{n}}{\underset{⏟}{0, \dots, 0}}, 1) = N (o r d)

$f$ est constante sur les classes d’équivalence de $\sim$

‖ x ‖ = 1 ⟺ f (x) = (0, \dots, 0, - 1) = S (u d)

$f$ est continue est surjective.

L’application $f$ passe au quotient

\overset{―}{f} : D^{n} / \partial D^{n} ⟶ S^{n}

continue, surjective

$\overset{―}{f}$ est injective ( $f$ est injective de ${(D^{n})}^{o}$ sur $S^{n} ∖ {S}$ )

D^{n} f p S^{n} D^{n} / \partial D^{n} \overset{―}{f}

$[x], [y] \in D^{n} / \partial D^{n}$

Si $f (x) = f (y) \in S^{n} ∖ {S}$ , alors $x, y \in {D_{n}}^{o}$

$f / {D_{n}}^{o}$ inj sur $S^{n} ∖ {S}$ , donc $x = y \in {D_{n}}^{o}$ ⟹ $[x] = [y]$

$f$ injective sur ${D_{n}}^{o}$

f (x) = f (y) \neq N ⟺ {\begin{cases} 0 \leq ‖ x ‖, ‖ y ‖ \leq 1 \\ \cos π ‖ x ‖ = \cos π ‖ y ‖ \\ \frac{x}{‖ x ‖} \sin π ‖ x ‖ = \frac{y}{‖ y ‖} \sin π ‖ y ‖ \end{cases}

⟹ ${\begin{cases} ‖ x ‖ = ‖ y ‖ \\ (x - y) \sin π ‖ x ‖ = 0 \end{cases}$

⟹ $x = y$ car $0 \leq ‖ x ‖, ‖ y ‖ \leq 1$

$D^{n} / \partial D^{n}$ est quasi-compact
$S^{n}$ séparée

⟹ \overset{―}{f} homéo

Exercice 8.2

$X$ e.t.
$A \subseteq X, A \neq \emptyset$
$f : A ⟶ X$ continue
$p : X ⟶ X / \sim$

hypothèse: $\forall x \in X, {x, f (x), f^{2} (x), \dots}$ a un ou deux éléments distincts

Relation d’éq sur $X$ :

$x \notin A \cup f (A)$
$x \in A$
$x \in f (A) ∖ A$

Classe d’éq de $x$ formée par

${x}$
${f (x)} \cup f^{- 1} ({f (x)})$
${x} \cup f^{- 1} ({x})$

$X / \sim= X / f$

Ex:

1)

$X = [0, 1]$
$A = {0}$
$f (0) = 1$
$[0, 1] / f = [0, 1] / {0, 1}$

[0, 1] ∋ t f p S^{1} ∋ \exp (2 i π t) [0, 1] / f homéo

Continue surjective sur les classes d’éq

⟶ bijection entre un compact et un séparé ⟹ homéo

2)

$X = [0, 1]^{2}$
$A = {0} \times [0, 1]$
$f (0, y) = (1, y) (0, y) \in A$

X / f ≃ S^{1} \times [0, 1] cylindre

4)

$[0, 1]^{2} = X$
$A = {0} \times [0, 1]$
$f (0, y) = (1, 1 - y)$

X / f = Ruban de Möbius fermé

5) Bouquet de cercles

$X = Y = S^{1}$
$A = {a}, f (a) = b$

L’écrasement est un cas particlier d’identification

$X$ e.t.
$A \neq \emptyset$

f : A ⟶ X cste

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