Cours 2: Revêtements

Ch 4. Revêtements

1. Définition

Notations:

• $E, B$ des espaces topologiques
• $p: E⟶ B$ un application continue

cf. fibrations, on écrit comme cela:

\[\begin{xy} \xymatrix{ E \ar[d]^p \\ B } \end{xy}\]

Revêtement $p: E ⟶ B$:

On dit que $p$ est un revêtement si

• $p$ est surjective
• pour tout $b ∈ B$, il existe un voisinage ouvert $U \ni b$ tq $p^{-1}(U)$ soit une réunion d’ouverts $U_j ⊆ E$ (où les indices parcourent un ensemble $F$) 2 à 2 disjoints
• la restriction de $p$ sur chaque $U_j$ soit un homéo entre $U_j$ et $U$

cf. le schéma de la pile d’assiettes = feuillets

Ex: L’exponentielle $\exp: ℝ⟶ S^1$ est un revêtement

• $i, -i ∈ S^1$
• pour $b ∈ S^1$, on prend $U ≝ S^1 \backslash \lbrace i \rbrace$
• les “assiettes” sont les intervalles modulo $2π$

Terminologie

• $E$: l’espace total du revêtement
• $B$: base du revêtement
• $p^{-1}(b)$: la fibre au-dessus de $b∈B$
• $U \ni b$: voisinage trivialisant le revêtement

---

Proposition équivalente qui peut servir de définition:

Proposition: $p: E ⟶ B$ application continue. Alors $p$ est un revêtement ssi pour tout $b ∈ B$, il existe

• un voisinage (pas la peine de vérifier qu’il est ouvert) $U \ni b$
• un espace topologique discret non vide $F$

• et un homéo

  \[ψ: p^{-1}(U) ⟶ U × F\]

  tq le diagramme suivant commute:

  \[\begin{xy} \xymatrix{ p^{-1}(U) \ar[r]^\psi \ar[dr]_{p_{\mid p^{-1}(U)}} & U × F \ar[d]^{pr_U} \\ & U } \end{xy}\]

Preuve:

⟹:

On suppose que $p$ est un revêtement.

Si $b∈B$, il existe un voisinage $U \ni b$ ouvert trivialisant le revêtement.

\[F ≝ \text{ensemble des indices de } p^{-1}(b)\]

muni de la topologie discrète.

\[\begin{xy} \xymatrix{ p^{-1}(U) \ar[r]^\psi \ar[dr]_{p} & U × F \ar[d]^{pr_U} \\ & U \ni b } \end{xy}\]

On pose

\[ψ(x) ≝ (p(x), j)\]

avec $x ∈ U_j, j∈ F$

⟸:

Comme $F$ est non vide, $p$ est sujective par la diagramme commutatif.

De plus, si $b ∈ B$, pour un voisinage trivialisant le revêtement, on prend un ouvert $b ∈ U’ ⊆ U$

Exemple

Pour tout e.t. $B$ et tout e.t. discret non vide $F$, on a un revêtement

Revêtement trivial standard de $B$ ayant $F$ pour fibre:

\[\begin{xy} \xymatrix{ B × F \ar[d]^{p \, ≝ \, pr_B}\\ B } \end{xy}\]

Question: est-ce que

\[\begin{xy} \xymatrix{ ℝ^2 \ni (x, y) \ar[d]\\ ℝ \ni x } \end{xy}\]

est un revêtement ? NON.

On a bien $ℝ^2 = ℝ × \underbrace{ℝ}_{≝ \, F}$ mais la topologie euclidienne de $F$ n’est pas discrète.