Cours 1: Version faible de Van Kampen

7. Version faible du théorème de Van Kampen

Proposition:

  • $X ≝ U_1 ∪ U_2$ recouvrement ouvert
  • $U_1, U_2, U_1 ∩ U_2$ non vides et connexes par arcs
  • $x_0 ∈ U_1 ∩ U_2$ un point
  • $ι_1: U_1 \hookrightarrow X$
  • $ι_2: U_2 \hookrightarrow X$

Alors $π_1(X, x_0)$ est engendré par les images de $π_1(U_1, x_0)$ et $π_1(U_2, x_0)$ par $(ι_1)_\ast$ et $(ι_2)_\ast$

Preuve: Soit $γ: I ⟶ X$ un lacet de base $x_0$. Il existe une subdivision de $I$

\[0 = a_0 < a_1 < ⋯ < a_{k-1} < a_k = 1\]

tq pour tout entier $0 ≤ i ≤ k-1$, $γ([a_i, a_{i+1}])$ soit entièrement contenu dans $U_1$ ou dans $U_2$.

De plus, on suppose que $γ(a_i) ∈ U_1 ∩ U_2$ (pour $0 ≤ i ≤ k$)

Pour tout entier $1 ≤ j ≤ k-1$, on choisit un chemin

\[δ_j: I ⟶ X \text{ tq } \begin{cases} δ_j(0)= x_0 \\ δ_j(1) = γ(a_i) \\ δ_j(I) ⊆ U_1 ∩ U_2 \end{cases}\]

De plus, on considère pour tout entier $0 ≤ j ≤ k-1$ le chemin $γ_j: I ⟶ X$ défini par

\[γ_j(t) = γ(a(_{j+1}-a_j)t + a_j)\]

On a

\[[γ] = [\underline{γ_0 (δ_1^{-1}}\, \underline{δ_1) γ_1 (δ_2^{-1}}\, \underline{δ_2) γ_2}\, ⋯ \underline{γ_{k-1} δ_{k-1}^{-1}}\, \underline{δ_{k-1} γ_{k-1}}]\]

Donc $[γ]$ est contenu dans la classe du sous-groupe engendré par $(ι_1)\ast$ et $(ι_2)\ast$

Non-exemple: Avec $S^1$, et deux points $i$ et $-i$ diamétralement opposés sur le cercle. En notant $U_i$ le cercle hormis $i$, $U_{-i}$ le cercle hormis $-i$, alors les groupes fondamentaux de $U_i$ et $U_{-i}$ sont triviaux, donc le groupe fondamental du cercle n’est pas engendré par eux. Mais en l’occurrence, $U_i ∩ U_{-i}$ n’est pas connexe par arcs !

Corollaire (de la proposition): $X = U_1 ∪ U_2$ recouvrement ouvert tel que

  • $U_1 ∩ U_2$ non vide et connexe par arcs
  • $U_1, U_2$ simplement connexes (i.e. connexes par arcs + de groupe fondamental trivial)

alors $X$ est simplement connexe.

Corollaire:

Soit $n ≥ 2$, $S^n ⊆ ℝ^{n+1}$ la sphère unité.

$S^n$ est simplement connexe.

NB: $S^1$ n’est pas simplement connexe, d’où $n ≥ 2$.

Preuve: soit deux points $(1, 0, ⋯, 0)$ et $(-1, 0, ⋯, 0)$ deux points diamétralement opposés.

\[S^n = U_1 ∪ U_2\]

où

  • $U_1 ≝ S^n \backslash \lbrace (1, 0, ⋯, 0) \rbrace$

  • $U_2 ≝ S^n \backslash \lbrace (-1, 0, ⋯, 0) \rbrace$

Or, avec les projections stéréographiques : $U_1, U_2 ≃ ℝ^n$ (simplement connexe)

De plus, \(U_1 ∩ U_2 ≃ \underbrace{ ℝ^n \backslash \lbrace (0, ⋯, 0) \rbrace}_{\text{non vide et connexe par arcs}}\)

Donc on conclut par le corollaire précédent.

Corollaire: Soit $m ∈ ℕ \backslash \lbrace 2 \rbrace$.

Alors $ℝ^2 \not ≃ ℝ^m$

NB: $ℝ^2 \not ≃ ℝ$ car en enlevant un point $p$, $ℝ^2 \backslash p$ est connexe, mais pas $ℝ \backslash p$

Preuve:

Cas $m=0, 1$ faciles.

Supposons $m > 2$, et supposons qu’il existe un homéo \(f: \begin{cases} ℝ^2 ⟶ ℝ^m \\ f^{-1}(0) ← 0 \end{cases}\)

On obtient un homéo entre $ℝ^2 \backslash \lbrace f^{-1}(0) \rbrace ≃ S^1$ et $ℝ^m \backslash \lbrace 0 \rbrace ≃ S^{m-1}$

Contradiction, car

\[π_1(S^1) ≃ ℤ \text{ et } π_1(S^{m-1}) \text{ est trivial}\]

8. Groupes d’homotopie supérieurs

Soit $(X, x_0)$ un espace topologique pointé.

On lui associe le groupe fondamental $π_1(X, x_0)$.

Mais il existe une suite

\[π_0(X, x_0), \underbrace{π_1(X, x_0)}_{\rlap{\text{premier groupe de la suite: tous les autres sont des groupes}}}, π_2(X, x_0), ⋯\]

Où $π_0(X, x_0)$ n’est pas un groupe (contrairemet aux autres): c’est l’ensemble des composantes connexes par arcs de $X$.

Définition

Soit $k ≥ 1$.

On considère le cube $I^k ⊆ ℝ^k$

On va généraliser la notion de lacet: Soient les applications continues (appelées sphéroïdes)

\[f: \begin{cases} I^k &⟶ X \\ \partial I^k &\mapsto x_0 \end{cases}\]

Le bord (dans le cas $k=1$, ce sont les extrémités) de $I^k$ (points dont au moins une coordonnée vaut soit $0$, soit $1$) doit être envoyé sur $x_0$.

L’espace quotient qui identifie tous les points du bord à $x_0$ est homéo à $S^k$: on considère son image par $f$.

On note

$Ω_k(X, x_0)$:

l’ensemble de ces applications

$π_k(X, x_0)$:

l’ensemble des classes d’homotopie relatives au bord $\partial I^k$ de $I^k$

Structure du groupe

Sur $Ω_k(X, x_0)$:

\[f_1 f_2 (t_1, ⋯, t_k) ≝ \begin{cases} f_1(2t_1, t_2, ⋯, t_k) &&\text{ si } t_1 ∈ [0, 1/2] \\ f_2(2t_1-1, t_2, ⋯, t_k) &&\text{ si } t_2 ∈ [1/2, 1] \end{cases}\]

Cela donne une multiplication sur $π_k(X, x_0)$ qui lui fournit une structure de groupe.

$π_k(X, x_0)$:

$k$-ième groupe d’homotopie de $X$ de base $x_0$

Proposition: Soit $n∈ ℕ$.

Le groupe $π_k(ℝ^n, 0)$ est trivial pour tout entier $k ≥ 1$

Preuve: utiliser l’homotopie rectiligne

Exercices

1. Produit d’espaces pointés

Soient $(X, x_0)$ et $(Y, y_0)$ des e.t. pointés.

On a

\[π_k(X × Y, (x_0, y_0)) ≃ π_k(X, x_0), π_k(Y, y_0)\]

pour tout entier $k ≥ 1$

2. Les groupes d’homotopie supérieurs sont abéliens

Si $k ≥ 2$, $π_k(X, x_0)$ est abélien (ce qui n’est pas le cas du groupe fondamental dans le cas général !).

Remarques

L’exemple standard de groupes d’homotopie supérieurs est fourni par les sphères: sujet central en topologie algébrique. On sait énormément de choses à leur propos, mais on ne sait toujours pas calculer les groupes d’homotopie supérieurs des sphères ! Pire encore, on ne sait même pas calculer tous les groupes d’homotopie de la sphère $S^2$ !

On peut calculer

  • $π_k(S^k) ≃ ℤ$
  • $π_k(S^n)$: trivial si $k<n$

Avec ces deux énoncés, on peut démontrer que \(ℝ^m \not ≃ ℝ^n\) si $n ≠ m$

Ce qui est important, quand $k > n$, c’est $k-n$.

Considérons les sphéroïdes de dimension $3$ sur $S^2$:

\[π_3(S^2) ≃ ℤ\]

(pas intuitif ! on aurait pensé que c’est trivial !)

Groupes d’homologie (singulière)

Beaucoup plus difficiles à définir, mais plus simples à calculer. $H_k(S^n)$ n’est pas trivial que si $k = n$ (alors que ce n’est pas le cas pour les groupes d’homotopie supérieurs).

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