7. Version faible du théorème de Van Kampen

Proposition:

• $X\stackrel{\scriptscriptstyle\mathrm{def}}{=}{U}_1\cup U_2$ recouvrement ouvert
• $U_1,U_2,U_1\cap U_2$ non vides et connexes par arcs
• $x_0\in U_1\cap U_2$ un point
• ${\iota }_1:U_1\hookrightarrow X$
• ${\iota }_2:U_2\hookrightarrow X$

Alors ${\pi }_1(X,x_0)$ est engendré par les images de ${\pi }_1(U_1,x_0)$ et ${\pi }_1(U_2,x_0)$ par $({\iota }_1{)}_{\ast }$ et $({\iota }_2{)}_{\ast }$

Preuve: Soit $\gamma :I⟶X$ un lacet de base $x_0$. Il existe une subdivision de $I$

tq pour tout entier $0\le i\le k-1$, $\gamma ([a_i,a_{i+1}])$ soit entièrement contenu dans $U_1$ ou dans $U_2$.

De plus, on suppose que $\gamma (a_i)\in U_1\cap U_2$ (pour $0\le i\le k$)

Pour tout entier $1\le j\le k-1$, on choisit un chemin

De plus, on considère pour tout entier $0\le j\le k-1$ le chemin ${\gamma }_j:I⟶X$ défini par

On a

Donc $[\gamma ]$ est contenu dans la classe du sous-groupe engendré par $(ι_1)\ast$et$(ι_2)\ast$

Non-exemple: Avec $S^1$, et deux points $i$ et $-i$ diamétralement opposés sur le cercle. En notant $U_i$ le cercle hormis $i$, $U_{-i}$ le cercle hormis $-i$, alors les groupes fondamentaux de $U_i$ et $U_{-i}$ sont triviaux, donc le groupe fondamental du cercle n’est pas engendré par eux. Mais en l’occurrence, $U_i\cap U_{-i}$ n’est pas connexe par arcs !

Corollaire (de la proposition): $X=U_1\cup U_2$ recouvrement ouvert tel que

• $U_1\cap U_2$ non vide et connexe par arcs
• $U_1,U_2$ simplement connexes (i.e. connexes par arcs + de groupe fondamental trivial)

alors $X$ est simplement connexe.

Corollaire:

Soit $n\ge 2$, $S^n\subseteq {ℝ}^{n+1}$ la sphère unité.

$S^n$ est simplement connexe.

NB: $S^1$ n’est pas simplement connexe, d’où $n\ge 2$.

Preuve: soit deux points $(1,0,\cdots ,0)$ et $(-1,0,\cdots ,0)$ deux points diamétralement opposés.

où

• $U_1\stackrel{\scriptscriptstyle\mathrm{def}}{=}{S}^n\mathrm{\setminus }\{(1,0,\cdots ,0)\}$

• $U_2\stackrel{\scriptscriptstyle\mathrm{def}}{=}{S}^n\mathrm{\setminus }\{(-1,0,\cdots ,0)\}$

Or, avec les projections stéréographiques : $U_1,U_2\simeq {ℝ}^n$ (simplement connexe)

De plus, $U_1\cap U_2\simeq \underset{\text{non vide et connexe par arcs}}{\underbrace{{ℝ}^n\mathrm{\setminus }\{(0,\cdots ,0)\}}}$

Donc on conclut par le corollaire précédent.

Corollaire: Soit $m\in \mathbb{N}\mathrm{\setminus }\{2\}$.

Alors ${ℝ}^2\not\simeq {ℝ}^m$

NB: ${ℝ}^2\not\simeq ℝ$ car en enlevant un point $p$, ${ℝ}^2\mathrm{\setminus }p$ est connexe, mais pas $ℝ\mathrm{\setminus }p$

Preuve:

Cas $m=0,1$ faciles.

Supposons $m>2$, et supposons qu’il existe un homéo $f:\{\begin{array}{l}{ℝ}^2⟶{ℝ}^m\\ f^{-1}(0)\leftarrow 0\end{array}$

On obtient un homéo entre ${ℝ}^2\mathrm{\setminus }\{f^{-1}(0)\}\simeq S^1$ et ${ℝ}^m\mathrm{\setminus }\{0\}\simeq S^{m-1}$

Contradiction, car

8. Groupes d’homotopie supérieurs

Soit $(X,x_0)$ un espace topologique pointé.

On lui associe le groupe fondamental ${\pi }_1(X,x_0)$.

Mais il existe une suite

Où ${\pi }_0(X,x_0)$ n’est pas un groupe (contrairemet aux autres): c’est l’ensemble des composantes connexes par arcs de $X$.

Définition

Soit $k\ge 1$.

On considère le cube $I^k\subseteq {ℝ}^k$

On va généraliser la notion de lacet: Soient les applications continues (appelées sphéroïdes)

Le bord (dans le cas $k=1$, ce sont les extrémités) de $I^k$ (points dont au moins une coordonnée vaut soit $0$, soit $1$) doit être envoyé sur $x_0$.

L’espace quotient qui identifie tous les points du bord à $x_0$ est homéo à $S^k$: on considère son image par $f$.

On note

${\Omega }_k(X,x_0)$:

l’ensemble de ces applications

${\pi }_k(X,x_0)$:

l’ensemble des classes d’homotopie relatives au bord $\partial I^k$ de $I^k$

Structure du groupe

Sur ${\Omega }_k(X,x_0)$:

Cela donne une multiplication sur ${\pi }_k(X,x_0)$ qui lui fournit une structure de groupe.

${\pi }_k(X,x_0)$:

$k$-ième groupe d’homotopie de $X$ de base $x_0$

Proposition: Soit $n\in \mathbb{N}$.

Le groupe ${\pi }_k({ℝ}^n,0)$ est trivial pour tout entier $k\ge 1$

Preuve: utiliser l’homotopie rectiligne

Exercices

1. Produit d’espaces pointés

Soient $(X,x_0)$ et $(Y,y_0)$ des e.t. pointés.

On a

pour tout entier $k\ge 1$

2. Les groupes d’homotopie supérieurs sont abéliens

Si $k\ge 2$, ${\pi }_k(X,x_0)$ est abélien (ce qui n’est pas le cas du groupe fondamental dans le cas général !).

Remarques

L’exemple standard de groupes d’homotopie supérieurs est fourni par les sphères: sujet central en topologie algébrique. On sait énormément de choses à leur propos, mais on ne sait toujours pas calculer les groupes d’homotopie supérieurs des sphères ! Pire encore, on ne sait même pas calculer tous les groupes d’homotopie de la sphère $S^2$ !

On peut calculer

• ${\pi }_k(S^k)\simeq \mathbb{Z}$
• ${\pi }_k(S^n)$: trivial si $k<n$

Avec ces deux énoncés, on peut démontrer que ${ℝ}^m\not\simeq {ℝ}^n$ si $n\ne m$

Ce qui est important, quand $k>n$, c’est $k-n$.

Considérons les sphéroïdes de dimension $3$ sur $S^2$:

(pas intuitif ! on aurait pensé que c’est trivial !)

Groupes d’homologie (singulière)

Beaucoup plus difficiles à définir, mais plus simples à calculer. $H_k(S^n)$ n’est pas trivial que si $k=n$ (alors que ce n’est pas le cas pour les groupes d’homotopie supérieurs).