Théorie des modèles : vue d’ensemble

Soit $𝕄$ une $ℒ$-structure, théorie: $Th(𝕄)$

ex: langage des espaces vectoriels

Classifier les modèles $Ve{c}_{\mathbb{Q}}$:

• cardinalité: $|ℝ|=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}>{\mathrm{\aleph }}_0=|Q^n|=|{\mathbb{Q}}^{\omega }|$

• types réalisés: $p(x_1,\cdots ,x_{n+1})=\{\sum _{i=1}^{n+1}{a}_i{x}_i\ne 0\mid a_i\in \mathbb{Q}\mathrm{\setminus }\{0\}\}$

  • ${\mathbb{Q}}^{\omega }$ réalise $p$

On veut associer un invariant combinatoire à chaque modèle:

NB:

• $M\models Ve{c}_{\mathbb{Q}}Dom(M)\stackrel{\scriptscriptstyle\mathrm{def}}{=}𝕄$

• $\forall \lambda >{\mathrm{\aleph }}_0$, ${\dim }_{\mathbb{Q}}M=|M|$, $\exists !M\models Ve{c}_{\mathbb{Q}}\text{ tq }|M|=\lambda$

• Pour $\lambda ={\mathrm{\aleph }}_0$, il y a ${\mathrm{\aleph }}_0$ modèles de $Ve{c}_{\mathbb{Q}}$ de cardinalité ${\mathrm{\aleph }}_0$: $\mathbb{Q},{\mathbb{Q}}^2,\cdots ,{\mathbb{Q}}^n,\cdots ,{\mathbb{Q}}^{\omega }$

$T$ complète sans modèles finis

Etudier $ℐ(T,\lambda )=\text{nb de modèles de }T\text{ de cardinalité }\lambda$

Löwenheim-Skolem

$\lambda \ge max\{|ℒ|,{\mathrm{\aleph }}_0\}$

• Löwenheim-Skolem: $ℐ(T,\lambda )\ge 1$
• Nb de $ℒ$-structures de card $\lambda \le 2^{\lambda }$: $ℐ(T,\lambda )\le 2^{\lambda }$

Soit $|M|=\lambda$:

Pour tous $a\in M,\phi (x)\in {\Im }_2(ℒ)$, si $\phi \in tp(a)$

Ordres denses:

Corps ordonnés:

Ordres denses:

Principes généraux (Shelah)

1. la fonction $ℐ(T,\lambda )$ donne des informations sur les modèles de $T$

2. De plus, $M\models T,A\subseteq M|A|=\lambda$, $|\bigcup _n{S}_n^M(A)|$ donne des informations sur $ℐ(T,\lambda )$

Nos hypothèses

$T$

• complètes

• dénombrables $|ℒ|\le {\mathrm{\aleph }}_0$ (non dénombrable : beaucoup plus difficile)

• sans modèles finis

I. Zoologie des modèles de $T$

• Question 1: combien et quels types sont réalisés dans le modèle?

• Question 2: Quels sont les automorphismes du modèle?

II. Modèles dénombrables

$M\models T,|M|=\lambda ={\mathrm{\aleph }}_0$

$ℐ(T,{\mathrm{\aleph }}_0)$ ne dit rien sur $ℐ(T,\lambda )$, pour $\lambda >{\mathrm{\aleph }}_0$

$|\bigcup _n{S}_n^M(A)|$ donne des informations sur $ℐ(T,\lambda )$

III. Théories géométriques

Indépendance (linéaire) ⟶ base, dimension

• Seulement un invariant, ne nous permet pas de connaître $ℐ(T,\lambda )$

• Autre invariant: avoir un contrôle sur la cardinalité de l’espace des types $|S_n^M(A)|$

IV. Théories non-dénombrablement catégoriques

Caractériser les théories $T$ tq il existe un cardinal $\kappa >{\mathrm{\aleph }}_0$ tq

$T$ est $\kappa$-catégorique:

i.e. $ℐ(T,\lambda )=1$ (il y a un seul modèle de card. $\kappa$ à iso près)

Ingrédients :

• théories $\omega$-stables
• indiscernables
• paires de Vaught

Exemples “phares” (algèbre, géométrie, analyse) qui ont motivé les théoriciens des modèles

Deux structures qui intéressaient Tarski:

1. Le corps des complexes: $\overline{ℂ}=⟨ℂ,0,1,\cdot ,+,-⟩$

• $|S_n^M(A)|\le |A|$
• géométrique? OUI
• $$ℐ(T,\lambda )=\{\begin{array}{lll}{\mathrm{\aleph }}_0& & \lambda ={\mathrm{\aleph }}_0\\ 1& & \lambda >{\mathrm{\aleph }}_0\end{array}$$
• théorie stable ⟶ notion d’indépendance (qui généralise l’indép. linéaire) combinatoire + contrôle sur le nombre de types

1. Le corps ordonné des rééls: $\overline{ℝ}=⟨ℝ,0,1,\cdot ,+,-,<⟩$

• pire situation possible: $|S_n^M(A)|\le 2^{|A|}$
• géométrique? OUI
• $$ℐ(T,\lambda )=2^{\lambda }\forall \lambda \ge {\mathrm{\aleph }}_0$$
• théorie $o$-minimale ⟶ notion d’indépendance géométrique + topologie (grâce à la relation d’ordre)

Théories NIP: unifie les théories $o$-minimales et stables

Théories $o$-minimales: très intéressantes, mais pas du point de vue de la classification (elles jouent le rôle de “méchantes” dans ce cours)