Introduction: Vue d’ensemble

Théorie des modèles : vue d’ensemble

Soit 𝕄 une -structure, théorie: Th(𝕄)

ex: langage des espaces vectoriels

{0,+,,{qq}} =,-espace vectoriel Th()=théorie des -evVec ,n,ωVec

Classifier les modèles Vec:

  • cardinalité: ||=20>0=|Qn|=|ω|

  • types réalisés: p(x1,,xn+1)={i=1n+1aixi0ai{0}}

    • ω réalise p

On veut associer un invariant combinatoire à chaque modèle:

MVecλ=dimM

NB:

  • MVecDom(M)𝕄

  • λ>0, dimM=|M|, !MVec tq |M|=λ

  • Pour λ=0, il y a 0 modèles de Vec de cardinalité 0: ,2,,n,,ω


T complète sans modèles finis

Etudier (T,λ)=nb de modèles de T de cardinalité λ

Löwenheim-Skolem

λmax{||,0}

  • Löwenheim-Skolem: (T,λ)1
  • Nb de -structures de card λ2λ: (T,λ)2λ

Soit |M|=λ:

Pour tous aM,φ(x)2(), si φtp(a)

Ordres denses:

(Th(<),λ)={1 si λ=02λ si λ>0

Corps ordonnés:

Ordres denses:

(Th(),λ)=2λλ0

Principes généraux (Shelah)

  1. la fonction (T,λ) donne des informations sur les modèles de T

  2. De plus, MT,AM|A|=λ, |nSnM(A)| donne des informations sur (T,λ)

Nos hypothèses

T

  • complètes

  • dénombrables ||0 (non dénombrable : beaucoup plus difficile)

  • sans modèles finis

I. Zoologie des modèles de T

  • Question 1: combien et quels types sont réalisés dans le modèle?

  • Question 2: Quels sont les automorphismes du modèle?

II. Modèles dénombrables

MT,|M|=λ=0

(T,0) ne dit rien sur (T,λ), pour λ>0

|nSnM(A)| donne des informations sur (T,λ)

III. Théories géométriques

Indépendance (linéaire) ⟶ base, dimension

  • Seulement un invariant, ne nous permet pas de connaître (T,λ)

  • Autre invariant: avoir un contrôle sur la cardinalité de l’espace des types |SnM(A)|

IV. Théories non-dénombrablement catégoriques

Caractériser les théories T tq il existe un cardinal κ>0 tq

T est κ-catégorique:

i.e. (T,λ)=1 (il y a un seul modèle de card. κ à iso près)

(T,λ)={1 ou 0λ=01λ>0

Ingrédients :

  • théories ω-stables
  • indiscernables
  • paires de Vaught

Exemples “phares” (algèbre, géométrie, analyse) qui ont motivé les théoriciens des modèles

Deux structures qui intéressaient Tarski:

  1. Le corps des complexes: =,0,1,,+,
  • |SnM(A)||A|
  • géométrique? OUI
  • (T,λ)={0λ=01λ>0
  • théorie stable ⟶ notion d’indépendance (qui généralise l’indép. linéaire) combinatoire + contrôle sur le nombre de types
  1. Le corps ordonné des rééls: =,0,1,,+,,<
  • pire situation possible: |SnM(A)|2|A|
  • géométrique? OUI
  • (T,λ)=2λλ0
  • théorie o-minimale ⟶ notion d’indépendance géométrique + topologie (grâce à la relation d’ordre)

Théories NIP: unifie les théories o-minimales et stables

Théories o-minimales: très intéressantes, mais pas du point de vue de la classification (elles jouent le rôle de “méchantes” dans ce cours)

Leave a comment