Introduction: Vue d’ensemble
Théorie des modèles : vue d’ensemble
Soit
ex: langage des espaces vectoriels
Classifier les modèles
-
cardinalité:
-
types réalisés:
réalise
On veut associer un invariant combinatoire à chaque modèle:
NB:
-
-
, , -
Pour
, il y a modèles de de cardinalité :
Etudier
Löwenheim-Skolem
- Löwenheim-Skolem:
- Nb de
-structures de card :
Soit
Pour tous
Ordres denses:
Corps ordonnés:
Ordres denses:
Principes généraux (Shelah)
-
la fonction
donne des informations sur les modèles de -
De plus,
, donne des informations sur
Nos hypothèses
-
complètes
-
dénombrables
(non dénombrable : beaucoup plus difficile) -
sans modèles finis
I. Zoologie des modèles de
-
Question 1: combien et quels types sont réalisés dans le modèle?
-
Question 2: Quels sont les automorphismes du modèle?
II. Modèles dénombrables
III. Théories géométriques
Indépendance (linéaire) ⟶ base, dimension
-
Seulement un invariant, ne nous permet pas de connaître
-
Autre invariant: avoir un contrôle sur la cardinalité de l’espace des types
IV. Théories non-dénombrablement catégoriques
Caractériser les théories
est -catégorique:-
i.e.
(il y a un seul modèle de card. à iso près)
Ingrédients :
- théories
-stables - indiscernables
- paires de Vaught
Exemples “phares” (algèbre, géométrie, analyse) qui ont motivé les théoriciens des modèles
Deux structures qui intéressaient Tarski:
- Le corps des complexes:
- géométrique? OUI
-
- théorie stable ⟶ notion d’indépendance (qui généralise l’indép. linéaire) combinatoire + contrôle sur le nombre de types
- Le corps ordonné des rééls:
- pire situation possible:
- géométrique? OUI
-
- théorie
-minimale ⟶ notion d’indépendance géométrique + topologie (grâce à la relation d’ordre)
Théories NIP: unifie les théories
Théories
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