Introduction: Vue d’ensemble

Théorie des modèles : vue d’ensemble

Soit $𝕄$ une $ℒ$-structure, théorie: $Th(𝕄)$

ex: langage des espaces vectoriels

\[ℒ ≝ \lbrace 0, +, -, \lbrace \odot_q \mid q∈ℚ \rbrace \rbrace\] \[ℝ_ℚ = ⟨ℝ, ℚ\text{-espace vectoriel}⟩\] \[Th(ℝ_ℚ) = \text{théorie des } ℚ\text{-ev}\qquad Vec_ℚ\] \[ℝ_ℚ, ℚ^n, ℚ^ω ⊨ Vec_ℚ\]

Classifier les modèles $Vec_ℚ$:

• cardinalité: $\vert ℝ \vert = 2^{\aleph_0} > \aleph_0 = \vert Q^n \vert = \vert ℚ^ω\vert$

• types réalisés: \(p(x_1, ⋯, x_{n+1}) = \left\lbrace \sum_{i=1}^{n+1} a_i x_i ≠ 0 \mid a_i ∈ ℚ\backslash \lbrace 0 \rbrace \right\rbrace\)

  • $ℚ^ω$ réalise $p$

On veut associer un invariant combinatoire à chaque modèle:

\[M ⊨ Vec_ℚ ⟺ λ = \dim_ℚ M\]

NB:

• $M ⊨ Vec_ℚ \qquad Dom(M) ≝ 𝕄$

• $∀λ > \aleph_0$, $\dim_ℚ M = \vert M\vert$, \(∃!M ⊨ Vec_ℚ \text{ tq } \vert M\vert =λ\)

• Pour $λ = \aleph_0$, il y a $\aleph_0$ modèles de $Vec_ℚ$ de cardinalité $\aleph_0$: \(ℚ, ℚ^2, ⋯, ℚ^n, ⋯, ℚ^ω\)

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$T$ complète sans modèles finis

Etudier $ℐ(T, λ) = \text{nb de modèles de } T \text{ de cardinalité } λ$

Löwenheim-Skolem

$λ ≥ \max \lbrace \vert ℒ\vert, \aleph_0\rbrace$

• Löwenheim-Skolem: $ℐ(T, λ) ≥ 1$
• Nb de $ℒ$-structures de card $λ≤ 2^λ$: $ℐ(T, λ) ≤ 2^λ$

Soit $\vert M\vert = λ$:

Pour tous $a∈M, φ(x) ∈ ℑ_2(ℒ)$, si $φ ∈ tp(a)$

Ordres denses:

\[ℐ(Th(ℚ_<), λ) = \begin{cases}1 &&\text{ si } λ=\aleph_0 \\ 2^λ &&\text{ si } λ > \aleph_0\end{cases}\]

Corps ordonnés:

Ordres denses:

\[ℐ(Th(\overline{ℝ}), λ) = 2^λ \qquad λ ≥ \aleph_0\]

Principes généraux (Shelah)

1. la fonction $ℐ(T, λ)$ donne des informations sur les modèles de $T$

2. De plus, $M ⊨ T, \quad A⊆M \quad \vert A \vert = λ$, \(\left\vert\bigcup_n S_n^M(A) \right\vert\) donne des informations sur $ℐ(T, λ)$

Nos hypothèses

$T$

• complètes

• dénombrables $\vert ℒ \vert ≤ \aleph_0$ (non dénombrable : beaucoup plus difficile)

• sans modèles finis

I. Zoologie des modèles de $T$

• Question 1: combien et quels types sont réalisés dans le modèle?

• Question 2: Quels sont les automorphismes du modèle?

II. Modèles dénombrables

$M ⊨ T, \qquad \vert M \vert = λ = \aleph_0$

$ℐ(T, \aleph_0)$ ne dit rien sur $ℐ(T, λ)$, pour $λ > \aleph_0$

$\left\vert\bigcup_n S_n^M(A) \right\vert$ donne des informations sur $ℐ(T, λ)$

III. Théories géométriques

Indépendance (linéaire) ⟶ base, dimension

• Seulement un invariant, ne nous permet pas de connaître $ℐ(T, λ)$

• Autre invariant: avoir un contrôle sur la cardinalité de l’espace des types $\left\vert S_n^M(A) \right\vert$

IV. Théories non-dénombrablement catégoriques

Caractériser les théories $T$ tq il existe un cardinal $κ > \aleph_0$ tq

$T$ est $κ$-catégorique:

i.e. $ℐ(T, λ) = 1$ (il y a un seul modèle de card. $κ$ à iso près)

\[ℐ(T, λ) = \begin{cases} 1 \text{ ou } \aleph_0 && λ=\aleph_0 \\ 1 && λ > \aleph_0\end{cases}\]

Ingrédients :

• théories $ω$-stables
• indiscernables
• paires de Vaught

Exemples “phares” (algèbre, géométrie, analyse) qui ont motivé les théoriciens des modèles

Deux structures qui intéressaient Tarski:

1. Le corps des complexes: \(\overline{ℂ} = ⟨ℂ, 0, 1, \cdot, +, -⟩\)

• $\left\vert S_n^M(A) \right\vert ≤ \vert A \vert$
• géométrique? OUI
• \[ℐ(T, λ) = \begin{cases} \aleph_0 && λ=\aleph_0 \\ 1 && λ > \aleph_0\end{cases}\]
• théorie stable ⟶ notion d’indépendance (qui généralise l’indép. linéaire) combinatoire + contrôle sur le nombre de types

1. Le corps ordonné des rééls: \(\overline{ℝ} = ⟨ℝ, 0, 1, \cdot, +, -, <⟩\)

• pire situation possible: $\left\vert S_n^M(A) \right\vert ≤ 2^{\vert A \vert}$
• géométrique? OUI
• \[ℐ(T, λ) = 2^λ \qquad ∀λ ≥ \aleph_0\]
• théorie $o$-minimale ⟶ notion d’indépendance géométrique + topologie (grâce à la relation d’ordre)

Théories NIP: unifie les théories $o$-minimales et stables

Théories $o$-minimales: très intéressantes, mais pas du point de vue de la classification (elles jouent le rôle de “méchantes” dans ce cours)