Va-et-vient

Teacher: Tomas Ibarlucia

Va-et-vient

Thm: Si $f: A ⊆ ℳ ⟶ ℳ$ est une application élémentaire partielle, alors il existe $𝒩 \succcurlyeq ℳ$ et $σ ∈ Aut(𝒩)$ qui étend $f$

Etant donné $a ∈ ℳ$, soit

\[tp^ℳ(a) = \lbrace φ(x) ∈ ℒ_{ω,ω} \; \mid \; ℳ ⊨ φ(a)\rbrace\]

Cor: Si $a,b ∈ ℳ, tp(a) = tp(b)$, alors il existe $𝒩 \succcurlyeq ℳ$ et $σ ∈ Aut(𝒩)$ tq $σa =b$

Preuve: la condition $tp(a) = tp(b)$ dit que l’application $a ⟼ b$ est partielle élémentaire.

Déf: un isomorphisme partiel entre $ℒ$-structures $ℳ$ et $𝒩$ est un isomorphisme $f: A ≃ B$ entre sous-structures $A ⊆ ℳ$ et $B ⊆ ℳ$

NB: Une application partielle élémentaire $f: A ⊆ ℳ ⟶ 𝒩$ peut être vue comme un isomorphisme partiel si $A$ est une sous-structure de $ℳ$ (${\rm Im} \, f$ est alors bien une sous-structure de $𝒩$, car $f$ préserve les symboles de fonction (en considérant les formules $a’ = g(a)$))

Déf: Une famille $I$ d’isomorphismes partiels entre $ℳ$ et $𝒩$ est un système de va-et-vient ssi

  • $I ≠ ∅$

  • Va: pour tous $f ∈ I$ et $a ∈ M$, il existe $g ∈ I$ tq $f ⊆ g$ et $a ∈ {\rm dom } \, g$

  • Vient: pour tous $f ∈ I$ et $b ∈ N$, il existe $g ∈ I$ tq $f ⊆ g$ et $b ∈ {\rm Im } \, g$

Prop: Si $I$ est un système de va-et-vient entre $ℳ$ et $𝒩$, alors tout $f ∈ I$ est partielle élémentaire.

En particulier, $ℳ ≡ 𝒩$.

Preuve: Récurrence sur $φ$ pour montrer:

\[∀ f ∈ I, \, ∀ \bar a ⊆ {\rm dom } f, ℳ ⊨ φ(\bar a) \text{ ssi } 𝒩 ⊨ φ(f(\bar a))\]

  • Si $φ$ atomique: parce que c’est des iso partiels

  • Si $φ = ¬ ψ$ ou $φ = ψ \star χ$: c’est clair

  • Si $φ = ∃ x \; ψ$

    • Si $ℳ ⊨ φ(\bar a)$, on utilise (va): on a $b ∈ M$ tq $M ⊨ ψ(\bar a, b)$

      donc on prend $g ∈ I$, $f ⊆ g$, $b ∈ {\rm dom } g$

      Alors par HR, \(𝒩 ⊨ ψ(g \bar a , gb)\\ 𝒩 ⊨ ∃x \; ψ(\underbrace{g \bar a}_{f(\bar a)} , x)\\ 𝒩 ⊨ φ(f(\bar a))\)

    • Si $𝒩 ⊨ φ(f(\bar a))$: idem avec (vient).

Prop: Si $ℳ$ et $𝒩$ sont dénombrables et il existe un système de va-et-vient entre $ℳ$ et $𝒩$, alors \(ℳ ≃ 𝒩\)

Preuve: Soient $M = \lbrace a_i\rbrace_{i ∈ ℕ}$, $N = \lbrace b_j\rbrace_{j ∈ ℕ}$

Soit $f_0 ∈ I$. On prend $f_1$ tq $f_0 ⊆ f_1$ et $a_0 ∈ {\rm dom } \, f_1$, puis on prend $f_2 \supseteq f_1$ tq $b_0 ∈ {\rm Im } f_2$. Etc.

\[f_0 ⊆ f_1 ⊆ f_2 ⊆ ⋯\]
  • $a_i ∈ {\rm dom } f_{2i+1}$
  • $b_i ∈ {\rm Im } f_{2i+2}$

On prend $f = \bigcup\limits_{i ∈ ℕ} f_i$. Alors $f: M ≃ N$.

Stratégie usuelle: Pour montrer $ℳ ≡ 𝒩$, on trouve $ℳ’ ≡ ℳ, \; 𝒩’ ≡ 𝒩$ (usuellement très grands) et un système de va-et-vient entre $ℳ’$ et $𝒩’$

Application: Théorème de Cantor

La théorie DLO des ordres totaux denses sans extrémités est $\aleph_0$-catégorique.

Preuve: Soient $ℳ = (M, <)$ et $𝒩 = (N, <)$ deux ordres dénombrables totaux denses sans extrémité, et trouver un système de va-et-vient entre eux.

Soit $I$ l’ensemble des iso entre des sous-ordres finis de $ℳ$ et $𝒩$.

  • $I ≠ ∅$: si $a ∈ M$ et $b ∈ N$, alors $a ⟼ b ∈ I$

  • (va): si $f ∈ I$, $f : A ≃ B$

    \[A = \lbrace a_1 < ⋯ < a_n \rbrace\]

    soit $b ∈ M \backslash A$.

    On regarde $B$:

    \[f(a_1) < ⋯ < f(a_n)\]

    Alors:

    • soit $b < a_1$: $∃ c; c < f(a_i)$
    • soit $b > a_n$: $∃ c; f(a_n) < c$
    • soit $∃i; \; a_i < b < a_{i+1}$: $∃ c; f(a_i) < c < f(a_{i+1})$

    On définit $g: A ∪ \lbrace b\rbrace ⟶ B ∪ \lbrace c\rbrace$: $f ⊆ g, g(b) = c$

  • (vient): idem

Application 2: Graphe aléatoire

Soit $V$ un ensemble dénombrable infini. Pour chaque paire $a,b ∈ V$, $a≠b$, on choisit au hasard si l’on met une arête entre $a$ et $b$ ou pas, disons avec probabilité $(p, 1-p), \; 0 < p < 1$ (variable aléatoire: $X_{\lbrace a, b\rbrace}: Ω → 2$)

Cela nous fait un graphe $(V, E)$.

NB: Avec proba 1, le graphe $(V, E)$ satisfera les propriétés suivantes:

\[(\star_n): \qquad ∀ a_1, …, a_n, b_1, …, b_n ∈ V \text{ tous distincts, } ∃ c ∈ V \text{ distinct des } a_i \text{ et } b_j \text{ tq } \\ \begin{cases} a_i \, E \, c &&\text{ pour } i = 1, …, n\\ b_j \, \not E \, c &&\text{ pour } j = 1, …, n\\ \end{cases}\]

En effet:

\[ℙ \Bigg(\bigcap\limits_{n} \bigcap\limits_{\substack{a_1, ⋯, a_n \\ b_1, …, b_n}} \underbrace{\bigcup\limits_{c ≠ a_i, b_j} \Big(\bigcap\limits_{i=1}^n ⟦a_i \, E \, c⟧ ∩ \bigcap\limits_{j=1}^n ⟦b_j \, E \, c⟧^c \Big)}_{Ω^n_{A,B}}\Bigg) = 1 \text{ ssi } ℙ(Ω_{A,B}^n) = 1 \quad ∀ n, \underbrace{ A, B}_{\text{disjoints}}\]

où

\[⟦a \, E \, c⟧ = \lbrace ω \; \mid \; X_{\lbrace a, b\rbrace}(ω) = 1\rbrace\\ A = \lbrace a_1, …, a_n\rbrace\\ B = \lbrace b_1, …, b_n\rbrace\]

Or,

\[ℙ(Ω_{A,B}^n) = 1 - ℙ \Bigg(\bigcap\limits_{c ≠ a_i, b_j} \Big(\bigcap\limits_{i=1}^n ⟦a_i \, E \, c⟧ ∩ \bigcap\limits_{j=1}^n ⟦b_j \, E \, c⟧^c \Big)^c\Bigg) \\ = 1 - \prod\limits_{c ≠ a_i, b_j} 1- ℙ\Big(\bigcap\limits_{i=1}^n ⟦a_i \, E \, c⟧ ∩ \bigcap\limits_{j=1}^n ⟦b_j \, E \, c⟧^c \Big)\\ = 1 - \prod\limits_{c ≠ a_i, b_j} 1- \underbrace{p^{\vert A \vert} (1-p)^{\vert B \vert}}_{\text{constante (ne dépend pas de } c \text{)} < 1} = 1 - 0 = 1\]

Soit RG la théorie des graphes ($ℒ = \lbrace E\rbrace$, $∀x, y. x \, E \, y ⟺ y \, E \, x, \quad ∀ x \, x \, \not E x$) plus les axiomes $(\star_n)$ pour chaque $n$ (axiomes d’extension)

Cor: RG est consistante.

En effet: $E: Ω ⟶ 𝒫(V × V), (a,b) ∈ E \text{ ssi } X_{\lbrace a, b\rbrace}(ω) = 1$. Comme \(ℙ(\lbrace ω \; \mid \; (V, E(ω)) ⊨ RG\rbrace) = 1 > 0\) alors $\lbrace ω \; \mid \; (V, E(ω)) ⊨ RG\rbrace ≠ ∅$.

Thm: RG est $\aleph_0$-catégorique.

Preuve: Va-et-vient.

Soit $G_1, G_2 ⊨ RG$. On considère $I$ = iso entre sous-graphes finis.

  • (va): $f: A ≃ B, f ∈ I, \; a ∈ G_1 \backslash A$

    On pose

    \[A_1 ≝ \lbrace c ∈ A \; \mid \; a \, E \, c\rbrace\\ A_2 ≝ \lbrace c ∈ A \; \mid \; a \, \not E \, c\rbrace\\ B, B_1, B_2 = f(A), f(A_1), f(A_2)\]

    Par $\star$, il existe $b ∈ G_2, b ∉ B$ tq

    • $b \, E \, d \quad ∀ d ∈ B_1$
    • $b \, \not E \, d \quad ∀ d ∈ B_2$

    On définit $g: A ∪ \lbrace a \rbrace ⟶ B ∪ \lbrace b \rbrace, f ⊆ g, g(a) = b$. C’est bien un iso.

Ensembles définissables

Soit $ℳ$ une $ℒ$-structure, $A ⊆ M$,

\[φ ∈ (ℒ_A)_{ω,ω}, \; φ = φ(\bar x), \; \vert \bar x \vert = n\]

alors

\[φ(ℳ) ≝ \lbrace \bar b ∈ M^n \; \mid \; ℳ ⊨ φ(\bar b)\rbrace\]

est l’ensemble défini par $φ$ dans $ℳ$.

Comme $φ ∈ (ℒ_A)_{ω,ω}$, on dit que c’est un ensemble $A$-définissable.

Donc si $φ ∈ ℒ_{ω,ω}$, on dit que $∅$-définissable (ou définissable avec paramètres).

NB: Si $D ≝ φ(ℳ)$ et $𝒩 \succcurlyeq ℳ$, alors $D$ a une extension canonique à $𝒩$:

\[D^𝒩 ≝ φ(𝒩)\]

Observations:

  • $D ⊆ D^𝒩$ (car si $ℳ ⊨ φ(b)$ alors $𝒩 ⊨ φ(b)$)

  • $D^𝒩$ ne dépend pas de $φ$, i.e. si $D = ψ(ℳ)$, alors $ℳ ⊨ ∀ \bar x \; (φ(\bar x) ⟺ ψ(\bar x))$ donc $𝒩 ⊨ ∀ \bar x \; (φ(\bar x) ⟺ ψ(\bar x))$, et alors $φ(𝒩) = ψ(𝒩)$

Lemme: $D = φ(ℳ) ⊆ M^n$ ens. déf. Sont équivalents:

  • $D$ est infini
  • il existe $𝒩 \succcurlyeq ℳ$ tq $D ⊊ D^𝒩$

Preuve:

$⟸$: Si $k = \vert D \vert < ∞$, alors $ℳ ⊨ “∃ ! k \text{ dans } D”$. Donc pour toute $𝒩 \succcurlyeq ℳ$, on a aussi $\vert D^𝒩 \vert = k$, donc $\vert D \vert = \vert D^𝒩 \vert$

$⟹$:

\[Diag_{el}(ℳ) ∪ \lbrace \bar c ≠ c_{\bar m}\rbrace_{\bar m ∈ D}\\ ∪ \lbrace φ(\bar c)\rbrace\]

est finiment satisfaisable dans $ℳ$.

Prop: Soit $D$ un ensemble définissable de $ℳ$. Soit $A ⊆ M$.

Sont éq.:

  • $D$ est $A$-définissable
  • Pour toute expansion élémentaire $𝒩 \succcurlyeq ℳ$ et tout $σ ∈ Aut(𝒩 \backslash A)$, on a $σ(D^𝒩)= D^𝒩$

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