Catégories $Coh$ et $Stab$

Continuité:

$$b\in f(x)⟹\exists d\text{fin. tq}b\in f(d)$$

Stabilité:

$d$ minimal

Linéarité:

$d$ un singleton

Si $f:A⟶B$ linéaire:

car $tr(f)\subseteq C{l}_{fin}(A)\times |B|$

mais toutes les cliques de $A$ sont des singletons dans le cas linéaire.

$Coh$:

catégorie des espaces cohérents et fonctions linéaires

$Stab$:

catégorie des espaces cohérents et fonctions stables

Il y a un foncteur d’oubli (inclusion)

$Coh$ a les coproduits

• $$|A_1\oplus A_2|\simeq |A_1|+|A_2|$$
• $$(c,i){\sim }_{A_1\oplus A_2}(c^{\prime },i^{\prime })⟺i=i^{\prime }\text{ et }c{\sim }_{A_i}{c}^{\prime }$$

Pour tout $A$:

L’espace cohérent initial est $0$ (tq $|0|=\varnothing$): en effet, l’injection

envoie la clique vide sur la clique vide.

Mais remarquons qu’on l’avait noté $\top$ dans $Stab$: c’était l’objet terminal !

En fait: dans $Coh$,

NB:

• dans la catégorie $Vec{t}_{𝕂}$, l’espace vectoriel trivial $\{0\}$ est aussi un élément zéro. Dans cette catégorie, les produits et coproduits finis coïncident aussi !

• au niveau de la trame, les espaces cohérents se comportent comme les espaces vectoriels :

  • une base du coproduit $\oplus$ est donnée par une base des deux espaces
  • on peut donner des modèles d’espaces vectoriels à la logique linéaire
  • mais: dans $Coh$, les coproduits et les produits ne coïcident pas !

Rappel: produit $\mathrm{\&}$ dans $Coh$:

• $$|A_1\mathrm{\&}{A}_2|=|A_1|+|A_2|$$
• $$(c,i){\sim }_{A_1\mathrm{\&}{A}_2}(c^{\prime },i^{\prime })⟺i\ne i^{\prime }\text{ ou }(i=i^{\prime }\text{ et }c{\sim }_{A_i}{c}^{\prime })$$

DE PLUS: $Coh$ n’est pas une CCC ⇐ $\mathrm{\&}A$ n’a pas d’adjoint à droite (pareil pour les espaces vectoriels).

Alors qu’on avait bien

$Coh$ est une Catégorie Monoïdale

Catégories monoïdales

Une catégorie monoïdale:

est la donnée d’un uplet $(𝒞,\otimes ,1,\underset{\text{morphismes structuraux}}{\underbrace{\alpha ,\lambda ,\rho }})$, où:

• $𝒞$ est une catégorie
• $\otimes :𝒞\times 𝒞⟶𝒞$ est un bifoncteur
• $1:\mathbb{1}⟶𝒞$ ($1$ est un objet de $𝒞$)

• Associativité: le diagramme suivant commute:

  $$𝒞\times 𝒞\times 𝒞\otimes \times IdId\times \otimes \alpha 𝒞\times 𝒞\otimes 𝒞\times 𝒞\otimes 𝒞$$

  où ${\alpha }_{A,B,C}:(A\otimes B)\otimes C⟶A\otimes (B\otimes C)$ est un isomorphisme naturel

• $1$ élément neutre pour $\otimes$: Uniteurs

  • ${\rho }_A:A\otimes 1⟶A$: $\mathrm{\_}\otimes 1\stackrel{\rho }{\simeq }Id$

  • ${\lambda }_A:1\otimes A⟶A$: $1\otimes \mathrm{\_}\stackrel{\lambda }{\simeq }Id$

• le pentagone de MacLane commute

• les triangles des uniteurs à gauche et à droite commutent:

  $$(1\otimes A)\otimes B{\alpha }_{1,A,B}{\lambda }_A\otimes i{d}_{B}1\otimes (A\otimes B){\lambda }_{A\otimes B}A\otimes B$$

  et idem à droite

NB:

• si $\alpha ,\lambda ,\rho$ sont des identités ⟶ on parle de catégorie monoïdale stricte

• mais il n’y a aucune raison qu’elle soit stricte:

  • ex: les espaces vectoriels et le produit tensoriel $\otimes$ forment une catégorie monoïdale faible

• Théorème de cohérence (MacLane): la naturalité des morphismes structuraux et la commutativité des triangles et du pentagone de MacLane impliquent que si deux objets sont isomorphes via $\alpha ,\lambda ,\rho$, alors ils le sont d’une seule manière (un seul iso).

• principe du microcosme: pour définir la notion de catégorie monoïdale, on a utilisé le fait que la catégorie des (petites) catégories est monoïdale ($\otimes$ est le produit de catégories)

  • une catégorie monoïdale est une 2-catégorie avec un seul objet, de la même manière qu’un monoïde est une 1-catégorie avec un seul objet

  • principe du microcosme ⟶ pour défnir une structure au niveau $n$, on a besoin de la structure au niveau $n+1$

    • on utilise le fait que la faiblesse des égalités “collapse” à un certain niveau ⟶ ici, si on était en train de définir une 2-catégorie monoïdale, on aurait pu demander à ce que le pentagone de MacLane ne commute pas strictement, mais seulement à un 3-isomorphisme près.

Catégories monoïdales symétriques

Notées SMC (Symmetric Monoidal Category).

On a en plus une transformation naturelle $\sigma :\otimes ⟶\Sigma ;\otimes$ (où $\Sigma :𝒞\times 𝒞⟶𝒞\times 𝒞$ est le foncteur qui échange deux objets)

qui, en plus vérifie:

• des conditions de cohérence
• $${\sigma }_{B,A}\circ {\sigma }_{A,B}=i{d}_{A\otimes B}$$

NB:

• Cas plus général: catégories monoïdales tressées ⟶ ${\sigma }_{A,B}$ n’est plus égale à ${\sigma }_{A,B}^{-1}$

Exs:

• La catégorie des e.v. + produit tensoriel est monoïdale symmétrique

Toute catégorie cartésienne est monoïdale symmétrique

$(Set,\times ,\{\star \},\cdots )$ est une catégorie monoïdale symmétrique faible

Remarque: De même, toute catégorie cartésienne est monoïdale symmétrique → modulo l’axiome du choix, en choisissant un objet produit (ils sont tous isomorphes), $\times$ donne un foncteur produit:

L’élement neutre pour $\otimes$ est l’objet terminal $1$

Prop: Une catégorie monoïdale symétrique est cartésienne ssi il existe des transformations naturelles (monoïdales):

• Diagonale (possibilité de dupliquer): ${\delta }_A:A⟶A\otimes A$

• Possibilité d’effacer ${\epsilon }_A:A⟶1$

rendant tout objet un comonoïde.

NB: la logique linéaire diffère de la logique intuitioniste en ce qu’elle refuse précisément ces possibilités de dupliquer et d’effacer ⟶ elle est bien monoïdale cependant (les espaces cohérents forment une catégorie monoïdale mais pas cartésienne).

Catégories monoïdales symétriques closes

Notées SMCC (Symmetric Monoidal Closed Category).

Catégorie monoïdale symétrique close (SMCC):

est une SMC telle que pour tout objet $A$, le foncteur ${}_{\otimes }A:𝒞⟶𝒞$ a un adjoint à droite $A{⊸}_{:}𝒞⟶𝒞$:

$$𝒞(\Gamma \otimes A,B)\simeq 𝒞(\Gamma ,A⊸B)$$

NB: si la catégorie est cartésienne, $⊸$ coïncide avec $\Rightarrow$.

$Coh$ est une catégorie monoïdale symétrique close

Espace cohérent “produit tensoriel”:

$$|A\otimes B|\simeq |A|\times |B|$$

Et :

$$(a,b){\sim }_{A\otimes B}(a^{\prime },b^{\prime })⟺a{\sim }_A{a}^{\prime }\text{ et }b{\sim }_B{b}^{\prime }$$

Espace cohérent “flèche linéaire”:

$$|A⊸B|\simeq |A|\times |B|$$

Et :

$$(a,b){⌢}_{A⊸B}(a^{\prime },b^{\prime })⟺a{\sim }_A{a}^{\prime }\text{ implique }b{⌢}_B{b}^{\prime }$$

Lemme: $Coh$ est une SMCC

Preuve: similairement à ce qu’on a fait avant dans $Stab$, on montre que

(la définition de $⊸$ est pensée pour)

Espace $!A$ et linéarisation

$!A$

Espace cohérent $A⊸B$:

• $$|A⊸B|\simeq |A|\times |B|$$
• $$(a,b){⌢}_{A⊸B}(a^{\prime },b^{\prime })⟺a{\sim }_A{a}^{\prime }\text{ implique }b{⌢}_B{b}^{\prime }$$

Espace cohérent $A\Rightarrow B$:

• $$|A\Rightarrow B|\simeq C{l}_{fin}(A)\times |B|$$
• $$(d,b){⌢}_{A\Rightarrow B}(d^{\prime },b^{\prime })⟺d\cup d^{\prime }\in Cl(A)\text{ implique }b{⌢}_B{b}^{\prime }$$

Les cliques

• du premier sont les fonctions linéaires
• du deuxième sont les fonctions stables

Donc en définissant

l’espace $!A$ (bien-sûr $A$ / bang $A$):

$$|!A|\stackrel{\scriptscriptstyle\mathrm{def}}{=}C{l}_{fin}(A)$$

où $d{\sim }_{!A}{d}^{\prime }⟺d\cup d^{\prime }\in Cl(A)$

Il vient que:

Foncteur $!:Stab⟶Coh$

On va définir un foncteur

Sur les objets

ok, avec ce qui précède.

Sur les morphismes:

Soit $f:A⟶B$ stable. Il faut définir $!f:!A⟶!B$ linéaire.

On définit $!f$ comme la fonction linéaire dont la trace est

NB: $\bigcup _{i=1}^n{d}_i\in Cl(A)$ implique que $\{b_1,\cdots ,b_n\}\in Cl(B)$ par définition de $A\Rightarrow B$

On vérifie que $tr(!f)$ est une clique de $!A⊸!B$: en effet, si

et si $d_i\cup d_j^{\prime }\in Cl(A)$, alors $b_i⌢b_j^{\prime }$.

NB: $tr(i{d}_A)=\{(\{a\},a)\mid a\in |A|\}$

et

Adjonction $!⊣𝒰$

Prop: Le foncteur d’oubli $𝒰:Coh⟶Stab$ a pour adjoint à gauche $!:Stab⟶Coh$:

$$Coh(!A,B)\simeq Stab(A,B)$$

Preuve: en effet, cela vient du fait qu’on a

NB: ça va nous permettre de traduire la logique intuitioniste (donc le $\lambda$-calcul) dans la logique linéaire, qui en est un raffinement: en effet: l’opération $A\Rightarrow B$ est décomposée en deux opérations $!A⊸B$

• espaces cohérents: dimension 0
• fonctions linéaires: dimension 1
• réécriture: dimension 2 (2-catégorique)