Cours 8: La catégories des espaces cohérents est monoïdale close

Catégories $Coh$ et $Stab$

Continuité:

\[b ∈ f(x) ⟹ ∃ d \text{fin. tq} b ∈ f(d)\]

Stabilité:

$d$ minimal

Linéarité:

$d$ un singleton

Si $f: A ⟶ B$ linéaire:

\[tr_\ell(f) ⊆ \vert A \vert × \vert B \vert\]

car \(tr(f) ⊆ Cl_{fin}(A) × \vert B \vert\)

mais toutes les cliques de $A$ sont des singletons dans le cas linéaire.

$Coh$:

catégorie des espaces cohérents et fonctions linéaires

$Stab$:

catégorie des espaces cohérents et fonctions stables

Il y a un foncteur d’oubli (inclusion)

\[𝒰: Coh ⟶ Stab\]

$Coh$ a les coproduits

• \[\vert A_1 \oplus A_2 \vert ≃ \vert A_1 \vert + \vert A_2 \vert\]
• \[(c, i) \sim_{A_1 \oplus A_2} (c', i') ⟺ i = i' \text{ et } c \sim_{A_i} c'\]

Pour tout $A$:

\[\vert 0 \oplus A \vert ≃ \vert A \vert ⟹ \vert 0 \vert = ∅\]

L’espace cohérent initial est $0$ (tq $\vert 0 \vert = ∅$): en effet, l’injection

\[ι_A : 0 ⟶ A\]

envoie la clique vide sur la clique vide.

Mais remarquons qu’on l’avait noté $⊤$ dans $Stab$: c’était l’objet terminal !

En fait: dans $Coh$,

\[0 = ⊤ \text{ est initial et terminal: c'est un objet zéro}\]

NB:

• dans la catégorie $Vect_𝕂$, l’espace vectoriel trivial $\lbrace 0 \rbrace$ est aussi un élément zéro. Dans cette catégorie, les produits et coproduits finis coïncident aussi !

• au niveau de la trame, les espaces cohérents se comportent comme les espaces vectoriels :

  • une base du coproduit $\oplus$ est donnée par une base des deux espaces
  • on peut donner des modèles d’espaces vectoriels à la logique linéaire
  • mais: dans $Coh$, les coproduits et les produits ne coïcident pas !

Rappel: produit $\&$ dans $Coh$:

• \[\vert A_1 \& A_2 \vert = \vert A_1 \vert + \vert A_2 \vert\]
• \[(c, i) \sim_{A_1 \& A_2} (c', i') ⟺ i ≠i' \text{ ou } \Big(i = i' \text{ et } c \sim_{A_i} c' \Big)\]

DE PLUS: $Coh$ n’est pas une CCC ⇐ $\& A$ n’a pas d’adjoint à droite (pareil pour les espaces vectoriels).

Alors qu’on avait bien

\[Stab(Γ \& A, B) ≃ Stab(Γ, A ⇒ B)\]

$Coh$ est une Catégorie Monoïdale

Catégories monoïdales

Une catégorie monoïdale:

est la donnée d’un uplet $(𝒞, \otimes, 1, \underbrace{α, λ, ρ}_{\text{morphismes structuraux}})$, où:

• $𝒞$ est une catégorie
• $\otimes: 𝒞 × 𝒞 ⟶ 𝒞$ est un bifoncteur
• $1: \mathbb{1} ⟶ 𝒞$ ($1$ est un objet de $𝒞$)

• Associativité: le diagramme suivant commute:

  \[\begin{xy} \xymatrix{ 𝒞×𝒞×𝒞 \ar[r]^{\otimes × Id} \ar[d]_{Id × \otimes} \ar[rd]^{α} & 𝒞×𝒞 \ar[d]^{\otimes} \\ 𝒞×𝒞 \ar[r]_{\otimes} & 𝒞 } \end{xy}\]

  où $α_{A, B, C}: (A\otimes B) \otimes C ⟶ A \otimes (B \otimes C)$ est un isomorphisme naturel

• $1$ élément neutre pour $\otimes$: Uniteurs

  • $ρ_A: A \otimes 1 ⟶ A$: \(\_ \otimes 1 \overset{ρ}{≃} Id\)

  • $λ_A: 1 \otimes A ⟶ A$: \(1 \otimes \_ \overset{λ}{≃} Id\)

• le pentagone de MacLane commute

• les triangles des uniteurs à gauche et à droite commutent:

  \[\begin{xy} \xymatrix{ (1 \otimes A) \otimes B \ar[r]^{α_{1, A, B}} \ar[rd]_{λ_A \otimes id_B} & 1 \otimes (A \otimes B) \ar[d]^{λ_{A \otimes B}} \\ & A \otimes B } \end{xy}\]

  et idem à droite

NB:

• si $α, λ, ρ$ sont des identités ⟶ on parle de catégorie monoïdale stricte

• mais il n’y a aucune raison qu’elle soit stricte:

  • ex: les espaces vectoriels et le produit tensoriel $\otimes$ forment une catégorie monoïdale faible

• Théorème de cohérence (MacLane): la naturalité des morphismes structuraux et la commutativité des triangles et du pentagone de MacLane impliquent que si deux objets sont isomorphes via $α, λ, ρ$, alors ils le sont d’une seule manière (un seul iso).

• principe du microcosme: pour définir la notion de catégorie monoïdale, on a utilisé le fait que la catégorie des (petites) catégories est monoïdale ($\otimes$ est le produit de catégories)

  • une catégorie monoïdale est une 2-catégorie avec un seul objet, de la même manière qu’un monoïde est une 1-catégorie avec un seul objet

  • principe du microcosme ⟶ pour défnir une structure au niveau $n$, on a besoin de la structure au niveau $n+1$

    • on utilise le fait que la faiblesse des égalités “collapse” à un certain niveau ⟶ ici, si on était en train de définir une 2-catégorie monoïdale, on aurait pu demander à ce que le pentagone de MacLane ne commute pas strictement, mais seulement à un 3-isomorphisme près.

Catégories monoïdales symétriques

Notées SMC (Symmetric Monoidal Category).

On a en plus une transformation naturelle $σ: \otimes ⟶ Σ ; \otimes$ (où $Σ: 𝒞 × 𝒞 ⟶ 𝒞 × 𝒞$ est le foncteur qui échange deux objets)

\[σ_{A, B}: A \otimes B ⟶ B \otimes A\]

qui, en plus vérifie:

• des conditions de cohérence
• \[σ_{B, A} \circ σ_{A, B} = id_{A \otimes B}\]

NB:

• Cas plus général: catégories monoïdales tressées ⟶ $σ_{A, B}$ n’est plus égale à $σ^{-1}_{A, B}$

Exs:

• La catégorie des e.v. + produit tensoriel est monoïdale symmétrique

Toute catégorie cartésienne est monoïdale symmétrique

$(Set, ×, \lbrace \star \rbrace, ⋯)$ est une catégorie monoïdale symmétrique faible

Remarque: De même, toute catégorie cartésienne est monoïdale symmétrique → modulo l’axiome du choix, en choisissant un objet produit (ils sont tous isomorphes), $×$ donne un foncteur produit:

\[(A, B) ⟼ A × B\]

L’élement neutre pour $\otimes$ est l’objet terminal $1$

Prop: Une catégorie monoïdale symétrique est cartésienne ssi il existe des transformations naturelles (monoïdales):

• Diagonale (possibilité de dupliquer): \(δ_A: A ⟶ A \otimes A\)

• Possibilité d’effacer \(ε_A : A ⟶ 1\)

rendant tout objet un comonoïde.

NB: la logique linéaire diffère de la logique intuitioniste en ce qu’elle refuse précisément ces possibilités de dupliquer et d’effacer ⟶ elle est bien monoïdale cependant (les espaces cohérents forment une catégorie monoïdale mais pas cartésienne).

Catégories monoïdales symétriques closes

Notées SMCC (Symmetric Monoidal Closed Category).

Catégorie monoïdale symétrique close (SMCC):

est une SMC telle que pour tout objet $A$, le foncteur $_ \otimes A: 𝒞 ⟶ 𝒞$ a un adjoint à droite $A \multimap _: 𝒞 ⟶ 𝒞$:

\[𝒞(Γ \otimes A, B) ≃ 𝒞(Γ, A \multimap B)\]

NB: si la catégorie est cartésienne, $\multimap$ coïncide avec $⇒$.

$Coh$ est une catégorie monoïdale symétrique close

Espace cohérent “produit tensoriel”:

\[\vert A \otimes B \vert ≃ \vert A \vert × \vert B \vert\]

Et :

\[(a, b) \sim_{A \otimes B} (a', b') ⟺ a \sim_A a' \text{ et } b \sim_{B} b'\]

Espace cohérent “flèche linéaire”:

\[\vert A \multimap B \vert ≃ \vert A \vert × \vert B \vert\]

Et :

\[(a, b) \frown_{A \multimap B} (a', b') ⟺ a \sim_A a' \text{ implique } b \frown_{B} b'\]

Lemme: $Coh$ est une SMCC

Preuve: similairement à ce qu’on a fait avant dans $Stab$, on montre que

\[Cl(A \multimap B) ≃ Coh(A, B)\]

(la définition de $\multimap$ est pensée pour)

Espace $!A$ et linéarisation

$!A$

Espace cohérent $A \multimap B$:

• \[\vert A \multimap B \vert ≃ \vert A \vert × \vert B \vert\]
• \[(a, b) \frown_{A \multimap B} (a', b') ⟺ a \sim_A a' \text{ implique } b \frown_{B} b'\]

Espace cohérent $A ⇒ B$:

• \[\vert A ⇒ B \vert ≃ Cl_{fin}(A) × \vert B \vert\]
• \[(d, b) \frown_{A ⇒ B} (d', b') ⟺ d ∪ d'∈ Cl(A) \text{ implique } b \frown_{B} b'\]

Les cliques

• du premier sont les fonctions linéaires
• du deuxième sont les fonctions stables

Donc en définissant

l’espace $! A$ (bien-sûr $A$ / bang $A$):

\[\vert ! A \vert ≝ Cl_{fin}(A)\]

où \(d \sim_{! A} d' ⟺ d ∪ d' ∈ Cl(A)\)

Il vient que:

\[A ⇒ B = !A \multimap B\]

Foncteur $!: Stab ⟶ Coh$

On va définir un foncteur

\[!: Stab ⟶ Coh\]

Sur les objets

ok, avec ce qui précède.

Sur les morphismes:

Soit $f: A ⟶ B$ stable. Il faut définir $!f: !A ⟶ !B$ linéaire.

On définit $!f$ comme la fonction linéaire dont la trace est

\[tr \; !f ≝ \left\lbrace \left(\bigcup_{i=1}^n d_i, \lbrace b_1, ⋯, b_n \rbrace \right) \mid n∈ ℕ, ∀i, (d_i, b_i) ∈ tr(f), \bigcup_{i=1}^n d_i ∈ Cl(A) \right\rbrace\]

NB: $\bigcup_{i=1}^n d_i ∈ Cl(A)$ implique que $\lbrace b_1, ⋯, b_n \rbrace ∈ Cl(B)$ par définition de $A ⇒ B$

On vérifie que $tr(!f)$ est une clique de $!A \multimap !B$: en effet, si

\[\left(\bigcup_{i=1}^n d_i, \lbrace b_1, ⋯, b_n \rbrace\right) ≠ \left(\bigcup_{i=1}^n d'_i, \lbrace b'_1, ⋯, b'_n \rbrace\right)\]

et si $d_i ∪ d’_j ∈ Cl(A)$, alors $b_i \frown b’_j$.

NB: \(tr(id_A) = \lbrace (\lbrace a \rbrace, a) \mid a ∈ \vert A \vert\rbrace\)

et

\[tr_\ell(id_A) = \lbrace (a, a) \mid a ∈ \vert A \vert\rbrace\]

Adjonction $! \dashv 𝒰$

Prop: Le foncteur d’oubli $𝒰: Coh ⟶ Stab$ a pour adjoint à gauche $!: Stab ⟶ Coh$:

\[Coh(!A, B) ≃ Stab(A, B)\]

Preuve: en effet, cela vient du fait qu’on a

\[A ⇒ B \, = \, !A \multimap B\]

NB: ça va nous permettre de traduire la logique intuitioniste (donc le $λ$-calcul) dans la logique linéaire, qui en est un raffinement: en effet: l’opération $A ⇒ B$ est décomposée en deux opérations $!A \multimap B$

• espaces cohérents: dimension 0
• fonctions linéaires: dimension 1
• réécriture: dimension 2 (2-catégorique)