Younesse Kaddar

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Hi! My name is Younesse Kaddar. I'm a theoretical computer science student at École Normale Supérieure Paris-Saclay, France. Welcome to my website!

Système différentiel : orbites

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Oral

On dispose de \((U, V, X_0, \lambda) \in \left(\mathfrak{M}_{n,1}(\mathbb{R})\right)^3 \times \mathbb{R}\). On considère alors \(A {\overset{ {\text{déf}}}{=}}\lambda I_n + U{}^tV\) et le système différentiel \(\left\{ \begin{array}{lcll} Y' & = & AY \\ Y(0) & = & X_0 \end{array}\right. \hspace{1em}\big(S_{U, V, X_0, \lambda}\big)\)

  1. Résoudre tous les problèmes de Cauchy correspondants.

  2. Quels sont les sous-espaces de \(\mathfrak{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) de dimension minimale qui contiennent l’orbite \(\Omega_{X_0}\) passant par \(X_0\) ?

  3. Donner une CNS sur \((U, V, \lambda)\) pour que l’orbite \(\Omega_{X_0}\) soit bornée.

  4. Donner une CNS sur \((U, V, \lambda)\) pour que l’orbite \(\Omega_{X_0}\) soit bornée sur \(\mathbb{R}_{+}\).

  1. Soit \(X \in (\mathfrak{M}_{n,1})^{\mathbb{R}}\) vérifiant \(\big(S_{U, V, X_0, \lambda}\big)\), soit \(t \in \mathbb{R}\). On pose \(B {\overset{ {\text{déf}}}{=}}U {}^t V\). \(\begin{align*} X(t) \, &= \, \operatorname{e}^{tA} X_0 \\ &= \, \operatorname{e}^{t\lambda I_n} \operatorname{e}^{t U {}^tV} X_0 && \text{(car } [\lambda I_n, U {}^tV] = 0 ) \\ &= \, \operatorname{e}^{t\lambda} \operatorname{e}^{t B} X_0\end{align*}\)

    Or, en posant \(\alpha {\overset{ {\text{déf}}}{=}}{}^t V U = \operatorname{Tr}(U {}^t V) = \left\langle V, U \right\rangle\) pour le produit scalaire euclidien canonique : \(\forall k \in \mathbb{N}^*, \, B^k = (U {}^t V)^k = \alpha^{k-1} U {}^t V = \alpha^{k-1} B\) d’où \(\operatorname{e}^{t U {}^tV} = I_n + \sum\limits_{k \geq 1} \frac{t^k \alpha^{k-1}}{k!} B = \begin{cases} \, I_n + \dfrac{\operatorname{e}^{t \alpha}-1}{\alpha} B & \mbox{si } \alpha \neq 0, \\ \, I_n + tB & \mbox{sinon.} \end{cases}\)

    Donc \(\forall t \in \mathbb{R}, \, \, X(t) = \begin{cases} \, \operatorname{e}^{\lambda t} X_0 + \operatorname{e}^{\lambda t} \dfrac{\operatorname{e}^{t \alpha}-1}{\alpha} \, B \, X_0 & \mbox{si } \alpha \neq 0, \\ \, \operatorname{e}^{\lambda t} X_0 + \operatorname{e}^{\lambda t} t B \, X_0 & \mbox{sinon.} \end{cases} {\hspace{1em} \circledast}\)

  2. Soit \(F\) un sous-espace de \(\mathfrak{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) tel que \(X_0 \in F\).

    • Remarquons déjà que : \(F \supset \Omega_{X_0} \iff \begin{cases} \, X_0 \in F\\ \, B X_0 \in F \end{cases}\)       En effet : La condition est évidemment suffisante, et elle est nécessaire, puisque (avec \(t=1\) dans \(\circledast\)) : \(\begin{cases} \, \underbrace{\operatorname{e}^{\lambda} X_0}_{\in F} + \underbrace{\operatorname{e}^{\lambda} \dfrac{\operatorname{e}^{ \alpha}-1}{\alpha}}_{\neq 0_\mathbb{R}} \, B \, X_0 \in F & \mbox{si } \alpha \neq 0, \\ \, \operatorname{e}^{\lambda} X_0 + \operatorname{e}^{\lambda} B \, X_0 \in F & \mbox{sinon.} \end{cases}\) d’où \(B X_0 \in F\).

  • Minorons la dimension de \(F \supset \Omega_{X_0}\) :

  • Cas 1 : \(B = 0\), i.e \(U = 0\) ou \(V = 0\)

    (car \(B = \left([U]_i [V]_j\right)_{i,j \in ⟦ 1, n ⟧}\))    Alors le plus petit (pour l’inclusion) sous-espace contenant \(\Omega_{X_0}\) est \(\mathbb{R} X_0\), et \(F \supset \mathbb{R} X_0 \, \text{, et } \, \dim F \geq 1\)

  • Cas 2 : \(B \neq 0\), i.e \(U \neq 0\) et \(V \neq 0\) Remarquons que : \(B X_0 = U ({}^t V X_0) = \left\langle V, X_0 \right\rangle U\) Donc :

    • Sous-Cas 1 : \(X_0 \in \operatorname{Ker}B \, \overset{ U \neq 0}{=} \, (V)^\bot\) OU

    • Sous-Cas 2 : \(X_0 \in \mathbb{R} U\)    Dans les deux cas, il vient, de même, que : \(F \supset \mathbb{R} X_0 \, \text{, et } \, \dim F \geq 1\)

    • Sous-Cas 3 : \(X_0 \not\in \operatorname{Ker}B \cup \mathbb{R} U\)    Alors \({\rm Vect}\left(X_0, B X_0\right)\) est un plan, d’où : \(F \supset {\rm Vect}\left(X_0, B X_0\right) \text{, et } \, \dim F \geq 2\)

  En conclusion : \(F \supset \Omega_{X_0} \iff \begin{cases} \, F \supset \mathbb{R} X_0 & \mbox{si } X_0 \in \operatorname{Ker}B \cup \mathbb{R} U, \\ \, F \supset \underbrace{ {\rm Vect}\left(X_0, B X_0\right)}_{\text{ c'est un plan}} & \mbox{sinon.} \end{cases}\)

  1. Si \(X_0 \in \mathfrak{M}_{n,1}\backslash\{0\}\), on cherche une condition nécessaire et suffisante sur \((U, V, \lambda)\) pour que l’orbite \(\Omega_{X_0} = \{\operatorname{e}^{t\lambda} \operatorname{e}^{t B} X_0 \}_{t \in \mathbb{R}}\) soit bornée.

    • On se débarrasse des cas triviaux :

      • Si \(n=1\) : la CNS est \(\lambda = -B = -UV\)

      • Si \(B = 0\) : comme \(\Omega_{X_0} = \left\{\operatorname{e}^{\lambda t} X_0\right\}_{t \in \mathbb{R}}\), il faut et il suffit que \(\lambda = 0\)

     

  • Supposons que \(n \geq 2\) et \(B \neq 0\) :

    • Cas 1 : \(\alpha = \operatorname{Tr}(U {}^t V) \neq 0\) :    \(B\) est diagonalisable, car annulée par le polynôme scindé à racines simples \(X(X-\alpha)\), et : il existe \(P = \Big(\begin{array}{c|c|c|c} C_1 & C_2 & \cdots & C_n \end{array}\Big) = \left( \begin{array}{c} \vphantom{\Big|}L_1 \\ \hline \vdots \\ \hline L_n \\ \end{array}\right) \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\) telle que \(\begin{align*} \operatorname{e}^{t B} \, &= \, P \, \begin{pmatrix} 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & 0 & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \operatorname{e}^{t \alpha}\\ \end{pmatrix} \, P^{-1} \\ &= \, \Big(\begin{array}{c|c|c|c} 0 & \cdots & 0 & \operatorname{e}^{t \alpha} C_n \end{array}\Big) \, P^{-1} \\ &= \, \left( \begin{array}{c} \vphantom{\Big|}\operatorname{e}^{t \alpha} [C_n]_1 L_n \\ \hline \vdots \\ \hline \operatorname{e}^{t \alpha} [C_n]_n L_n \\ \end{array}\right) \, && \text{(non borné car } C_n \neq 0\text{ et } L_n \neq 0 ) \\\end{align*}\) Donc \(\Omega_{X_0}\) n’est pas bornée.

    • Cas 2 : \(\alpha = \operatorname{Tr}(U {}^t V) = 0\) :    \(B\) n’est pas diagonalisable, car \({\rm Sp}(B) = \{0\}\), et, pour tout \(t \in \mathbb{R}\) : \(\operatorname{e}^{\lambda t} X_0 + \operatorname{e}^{\lambda t} t B \, X_0 \in \Omega_{X_0}\) donc \(\Omega_{X_0}\) n’est pas bornée.

  Finalement, si \(X_0 \in \mathfrak{M}_{n,1}\backslash\{0\}\) : \(\Omega_{X_0} \, \text{ est bornée} \iff \bigg(n=1 \, \text{ et } \, \lambda = -UV \bigg) \, OU \, \bigg(B=0 \, \text{ et } \, \lambda = 0 \bigg)\)

  1. Si \(X_0 \in \mathfrak{M}_{n,1}\backslash\{0\}\), on veut que \(\Omega'_{X_0} {\overset{ {\text{déf}}}{=}}\{\operatorname{e}^{t\lambda} \operatorname{e}^{t B} X_0 \}_{t \in \mathbb{R}_{+}}\) soit bornée. On reprend les mêmes cas que précédemment :

      • Si \(n=1\) : la CNS est \(\lambda \leq -B = -UV\)

      • Si \(B = 0\) : il faut et il suffit que \(\lambda \leq 0\)

     

  • Supposons que \(n \geq 2\) et \(B \neq 0\) :

    • Cas 1 : \(\alpha = \operatorname{Tr}(U {}^t V) \neq 0\) :    Il existe \(P = \Big(\begin{array}{c|c|c|c} C_1 & C_2 & \cdots & C_n \end{array}\Big) = \left( \begin{array}{c} \vphantom{\Big|}L_1 \\ \hline \vdots \\ \hline L_n \\ \end{array}\right) \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\) telle que \(\begin{align*} \operatorname{e}^{t \lambda}\operatorname{e}^{t B} = \, \left( \begin{array}{c} \vphantom{\Big|}\operatorname{e}^{t (\lambda + \alpha)} [C_n]_1 L_n \\ \hline \vdots \\ \hline \operatorname{e}^{t (\lambda + \alpha)} [C_n]_n L_n \\ \end{array}\right) \, \\\end{align*}\) Donc \(\Omega_{X_0}\) est bornée si, et seulement si, \(\lambda + \alpha \leq 0\)

    • Cas 2 : \(\alpha = \operatorname{Tr}(U {}^t V) = 0\) :    \(\operatorname{e}^{\lambda t} X_0 + \operatorname{e}^{\lambda t} t B \, X_0 \in \Omega_{X_0}\) et \(\Omega_{X_0}\) est bornée si, et seulement si, \(\lambda \leq 0\) et \(\Big(X_0 \in \operatorname{Ker}B \text{ ou } \lambda \neq 0 \Big)\)

  Finalement, si \(X_0 \in \mathfrak{M}_{n,1}\backslash\{0\}\) : \(\Omega'_{X_0} \, \text{ est bornée} \iff \left\{ \begin{array}{l} \hspace{2.7em}n=1 \, \text{ et } \, \lambda \leq -UV \\ OU \hspace{1em}\, B=0 \, \text{ et } \, \lambda \leq 0 \\ OU \hspace{1em}\, \lambda \leq - \operatorname{Tr}(U {}^t V) \, \text{ et } \, \Big(\operatorname{Tr}(U {}^t V) \neq 0 \text{ ou } X_0 \in \operatorname{Ker}B \text{ ou } \lambda \neq 0 \Big) \\ \end{array}\right.\)

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