Lemme : fonction uniformément continue qui admet une intégrale

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Soit fRR+ : f est uniformément continue et f admet une intégrale sur R+ f(x)x0

Soit xR,ϵ>0, et η>0 un mcu(f,ϵ). On suppose que F=déf0f a une limite finie en +.
Pour tout t[x,x+η] :

ϵf(x)f(t)ϵ

d’où, en intégrant sur [x,x+η] et en divisant par η :

ϵf(x)1ηxx+ηf=F(x+η)F(x)ϵ Or :

F(x+η)F(x)x0 (par abus de notation, en “libérant” x).

Donc

f(x)x0.

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