Cours 5 : Anneaux

Anneaux

Anneau $A$ (commutatif, pour nous) :

C’est :

• un groupe abélien $(A,+)$ d’élément neutre noté $0$
• un produit $×$ = une loi interne
  • associative
  • d’élément neutre $1$
  • distributive par rapport à $+$
  • commutative, pour nous

ex : $ℤ/nℤ$, $𝕂[X]$

Idéal $I$ d’un anneau $A$ :

sous-groupe additif tel que : \(∀a∈A, ∀x∈I, ax∈I\)

ex : dans $ℤ$ : les $nℤ$

Prop : Soit $I$ un idéal de $A$ (en particulier : c’est un sg distingué, comme $A$ est commutatif).

Alors le groupe $A/I$ est muni d’une loi interne telle que :

\[𝜋 : A ⟶ A/I\]

vérifie $∀a,a’∈A, 𝜋(aa’) = 𝜋(a) 𝜋(a’)$

et $A/I$ est alors muni d’une structure d’anneau.

Séries formelles

\[𝕂[[X]] ≝ \{\sum\limits_{n≥0} a_n X^n, (a_n) ∈ 𝕂^ℕ\}\]

$𝕂 = ℝ, ℚ, ℂ$

• \[\sum\limits_{n≥0} a_n X^n + \sum\limits_{n≥0} b_n X^n = \sum\limits_{n≥0} (a_n + b_n) X^n\]
• Produit de Cauchy :
  • \[(\sum\limits_{n≥0} a_n X^n) (\sum\limits_{n≥0} b_n X^n) = \sum\limits_{n≥0} (\sum\limits_{k=0}^n a_k b_{n-k}) X^n\]

On définit une distance $d$ sur $𝕂[X]$ (sur $𝕂[[X]]$) telle que pour cette distance,

\[\sum\limits_{n≥0} a_n X^n = \lim\limits_{N ⟶ +∞} \sum\limits_{n=0}^N a_n X^n\]

NB :

• on peut alors les manipuler “comme en analyse”, sans se préoccuper des rayons de convergence

Pour cette distance

\[\lim\limits_{n⟶+∞} X^n = 0\]

Et :

!!! : Une série est convergente ssi son terme général tend vers $0$.

Valuation $v : 𝕂[[X]]⟶ℕ∪\lbrace ±∞\rbrace$ d’une série formelle :

\[v(\sum\limits_{n≥0} a_n X^n) = \begin{cases} +∞ \text{ si } ∀n, a_n = 0 \\ min(i, a_i≠ 0) \text{ sinon} \end{cases}\]

On vérifie :

1) \(v(\sum\limits_{n≥0} a_n X^n) = +∞ ⟺ \sum\limits_{n≥0} a_n X^n = 0\)

2) \(v(\sum\limits_{n≥0} a_n X^n + \sum\limits_{n≥0} b_n X^n) ≥ \min(v(\sum\limits_{n≥0} a_n X^n), v(\sum\limits_{n≥0} b_n X^n))\)

On pose alors :

\[d(\sum\limits_{n≥0} a_n X^n, \sum\limits_{n≥0} b_n X^n) = \exp(-v(\sum\limits_{n≥0} a_n X^n - \sum\limits_{n≥0} b_n X^n))\]

$d$ est une distance ultramétrique :

\[d(\sum\limits_{n≥0} a_n X^n, \sum\limits_{n≥0} b_n X^n) ≤ \max(d(\sum\limits_{n≥0} a_n X^n, \sum\limits_{n≥0} c_n X^n), d(\sum\limits_{n≥0} b_n X^n, \sum\limits_{n≥0} c_n X^n))\]