Cours 4 : Groupes, Actions de groupe, Formule de Burnside

Groupes

Groupe :

Monoïde où tout élément est inversible

Sous-Groupe :

$H \subseteq G$ sous-groupe ssi $\forall g, h \in H, g h^{- 1} \in H$

Sous-groupe distingué/normal $H \subseteq G$ :

Une des conditions équivalentes suivantes est vraie :

$\forall g \in G, g H = H g$
$\forall g \in G, g H g^{- 1} = H$
stable par automorphismes intérieurs

Translation à gauche de $g$ :

$G ⟶ G, h \mapsto g h$

NB : n’a pas de propriétés algébriques

Conjugaison par $g$ :: $𝜎_{g} : {\begin{cases} G ⟶ G \\ h \mapsto g h g^{- 1} \end{cases}$

Automorphisme intérieur.

$\forall g_{1}, g_{2} \in G, 𝜎_{g_{1}} 𝜎_{g_{2}} = 𝜎_{g_{1} g_{2}}$

H o m (G, A u t (G)) ∋ 𝜎 : {\begin{cases} G ⟶ A u t (G) \\ g \mapsto 𝜎_{g} \end{cases}

Une relation d’équivalence “compatible” est de la forme : “∃ $H$ ss-groupe distingué” $s s i$ :

g_{1} \sim g_{2} ⟺ g_{1} H = g_{2} H

Alors $H = \overset{―}{1}$ est un sous-groupe distingué, et $\forall g_{1}, g_{2} \in G, g_{1} \sim g_{2} ⟺ g_{1} g_{2}^{- 1} \sim 1$

Comme cette relation d’équivalence est une congruence, on sait que le quotient $G / \sim$ est muni d’une structure de monoïde, et la surjection canonique $𝜋$ est un morphisme de monoïdes.

𝜋 : {\begin{cases} G ⟶ G / \sim \\ g \mapsto g H \end{cases}

Notation : $G / H ≝ G / \sim$

Comme $G$ est un groupe, et $𝜋$ surjective, $G / H$ est un groupe, d’élément neutre $𝜋 (1) = H$ , et $\forall g_{1}, g_{2} \in G$ ,

g_{1} H g_{2} H = (g_{1} g_{2}) H

Prop : Soit $𝜑 : G_{1} ⟶ G_{2}$ un morphisme de monoïdes.

$K e r (𝜑)$ est un ss-groupe distingué. On a : $\forall g, g^{'} \in G$ ,

𝜑 (g) = 𝜑 (g^{'}) ⟺ g K e r (𝜑) = g^{'} K e r (𝜑)

$𝜑$ se factorise :

\begin{matrix} G_{1} & \overset{𝜑}{\to} & G_{2} \\ 𝜋 ↓ & ↗ \hat{g} \\ G / \sim \end{matrix}

Question: avec une représentaiton finie, comme représenter un groupe et sa loi ?

1. Groupes libres

Présentation :

Groupe libre à un générateur $≃ ℤ$
$ℤ / n ℤ = ⟨ x | x^{n} = 1 ⟩$
Groupe diédral $D_{2 n} ≃ ⟨ 𝜌, 𝜎 | 𝜌^{n} = 1, 𝜎^{2} = 1, 𝜎 𝜌 𝜎^{- 1} = 𝜌^{- 1} ⟩$ :
- rotation d’angle $\pm 2 𝜋 / 3$
- 3 symétries

Un groupe s’écrit comme un quotient d’un groupe libre $L / R$ .

ex : $S L_{2} (ℤ)$ : groupe libre avec $2$ générateurs :

$S = (\begin{matrix} 0 & - 1 1 & 0 \end{matrix})$ et $T = (\begin{matrix} 1 & 1 0 & 1 \end{matrix})$

2. Groupes abéliens libres de type fini

Groupes isomorphes à $ℤ^{n}$

Thm de classification pour les groupes abéliens (de type fini).

3. Groupes finis

Groupe symétrique :: $𝕾_{n}$ : bijections de $⟦ 1, n ⟧$ munies de la composition.

Groupe utilisé pour classifier “modulo le nom des éléments”.

Ordre de $g \in G$ :: ordre du sg $⟨ g ⟩$

Thm de Lagrange : Soit $G$ un groupe fini d’ordre $n$ , $g \in G$ . L’ordre de $g$ divise $n$ .

Plus généralement : si $H$ est un sg de $G$ , $| H | / | G |$

Preuve : On définit sur $G$ la relation : si $g, g^{'} \in G$ ,

g \sim g^{'} ⟺ \exists h \in H; g = g^{'} h

$\sim$ est une relation d’équivalence
- réflexivité : $h = 1$
- symétrie : on multiplie par $h^{- 1} \in H$
- transitivité : $h h^{'} \in H$ si $h, h^{'} \in H$
Soit $g \in G$ , $\overset{―}{g}$ sa classe d’équivalence. Soit
${\begin{cases} H ⟶ \overset{―}{g} \\ h \mapsto g h \end{cases}$
Cette application est surjective par déf de $\sim$ , et est injective car $g h = g h^{'} ⟹ h = h^{'}$ , en multipliant à gauche par $g^{- 1}$ .

Donc c’est une bijection, et $| \overset{―}{g} | = | H |$

Ainsi,

$$G = k

$$, où

k

est le nb de classes à gauche.

3. Groupe opérant sur un ensemble.

Opération de de $G$ sur l’ensemble $E$ :: c’est la donnée d’une application

{\begin{cases} G \times E ⟶ E \\ (g, x) \mapsto g \cdot x \end{cases}

telle que :

$\forall x \in E, 1 \cdot x = x$ ( $1$ opère comme $i d$ sur $E$ )
$\forall g, g^{'} \in E, \forall x \in G, g \cdot (g^{'} \cdot x) = (g g^{'}) \cdot x$

NB : Si $G$ opère sur $E$ , $g$ étant dans $G$ : l’opération de $g$ sur $E$ définit une bijection dont l’inverse est définie par l’opération de $g^{- 1}$ .

$\forall g \in G, \forall x \in E, g \cdot (g^{'} \cdot x) = (g g^{'}) \cdot x = 1 \cdot x = x$
$\forall g \in G, \forall x \in E, g^{'} \cdot (g \cdot x) = (g^{'} g) \cdot x = 1 \cdot x = x$

On peut donc définir une application

𝜑 ≝ {\begin{cases} G ⟶ 𝕾 (E) \\ g \mapsto g \cdot ∙ \end{cases}

$\forall g \in G$ , 𝜑(g) est la bijection de $E$ définie par

\forall x \in E, 𝜑 (g) (x) = g \cdot x

Prop : $𝜑$ est un morphisme de groupes.

Preuve :

$𝜑 (g g^{'}) (x) = (g g^{'}) \cdot x$
$(𝜑 (g) \circ 𝜑 (g^{'})) (x) = 𝜑 (g) (𝜑 (g^{'}) (x)) = g \cdot (g^{'} \cdot x)$

donc

𝜑 (g g^{'}) = 𝜑 (g) \circ 𝜑 (g^{'})

Réciproquement : tout morphisme $𝜑$ de $G$ dans $𝕾 (E)$ définit une opération de $G$ sur $E$ :

{\begin{cases} G \times E ⟶ E \\ (g, x) \mapsto g \cdot x ≝ 𝜑 (g) (x) \end{cases}

On a aussi 2 définitions équivalentes :

Prop : une opération de $G$ sur $E$ définit une relation d’équivalence sur $E$ .

Si $x, y \in E$ :
$x \sim y ⟺ \exists g \in G; x = g \cdot y$

NB: Les classes d’équivalence pour cette relation sont appelées des orbites.

Prop : Soit $G$ un groupe qui opère sur $E$ , soit $x \in E$ et $𝜔_{x} ≝ {y \in E | y \sim x}$ l’orbite de $x$ .

On appelle stabilisateur de $x$ le sous-groupe : $H_{x} = {g \in G | g \cdot x = x}$

L’application
${\begin{cases} G ⟶ 𝜔_{x} \\ g \mapsto g \cdot x \end{cases}$
est une application surjective telle que :
$\forall g, g^{'} \in G, g \cdot x = g^{'} \cdot x ⟺ \exists h \in H_{x}; g = g^{'} h$
On en déduit que, si $G$ est d’ordre fini :
$| G | = | H_{x} | | 𝜔_{x} |$

Preuve :

$H_{x}$ est un sous-groupe
- $1 \in H_{x}$
- stable par produit et par passage à l’inverse

L’application

𝜗 ≝ {\begin{cases} G ⟶ 𝜔_{x} \\ g \mapsto g \cdot x \end{cases}

est surjective.

NB : En théorie des catégories, on note (surjection) $G ↠ 𝜔_{x}$ .

$g, g^{'} \in G$ .

𝜗 (g) = 𝜗 (g^{'}) ⟺ g^{- 1} g^{'} \in H_{x} ⟺ \exists h \in H_{x}; g^{'} = g h

On définit la relation d’équivalence $\equiv$ :

g \equiv g^{'} ⟺ g \cdot x = g^{'} \cdot x

La classe d’éq de $g$ est

g H_{x} = {g h | h \in H_{x}}

$g H_{x}$ est en bijection avedc $H_{x}$ :

{\begin{cases} g H_{x} ⟶ H_{x} \\ g h \mapsto h \end{cases}

On peut alors quotienter par $\equiv$ , et $G / \equiv≃ 𝜔_{x}$ (on a factorisé par la relation “avoir la même image par $𝜗$ ”)

Soit $k$ le nombre classes d’éq pour $\equiv$ (classes à gauche).

On a

| G | = k | H_{x} |

k = | G / \equiv | = | 𝜔_{x} |

Ex : dénombrement de graphes, à numérotation des sommets (isomorphisme de graphes) près :

$\sim$

Fixateur $F i x (g)$ de $g \in G$ agissant sur $E$ :: Notion duale du stabilisateur : ensemble des points fixes de $g$ dans $E$ .

Formule (qui n’est pas) de Burnside : Soit $G$ un groupe fini opérant sur un ensemble fini $E$ .

Soit $k = | E / G |$ le nombre d’orbites de $E$ sous l’opération de $G$ .
$k = | E / G | = \frac{1}{| G |} \sum_{g \in G} | F i x (g) |$

Preuve : On procède par double comptage.

Soit

X ≝ {(g, x) | g \in G \land x \in E \land g \cdot x = x}

On étudie le cardinal de $X$ en partitionnant selon $G$ puis selon $E$ :

$X = ⨆_{x \in E} \underset{= {(g, x) | g \in S t a b_{G} (x)}}{\underset{⏟}{{(g, x) | g \in G \land g \cdot x = x}}}$

| X | = \sum_{x \in E} | S t a b_{G} (x) |

Soit $x \in E, 𝜔_{x}$ son orbite.

On sait que :

| G | = | 𝜔_{x} | | S t a b_{G} (x) |

donc

| S t a b_{G} (x) | = \frac{| G |}{| 𝜔_{x} |}

\begin{matrix} | X | = \sum_{𝜔 \in E | G} (\sum_{x \in 𝜔} | S t a b_{G} (x) |) \\ = \sum_{𝜔 \in E | G} (\sum_{x \in 𝜔}) \\ = \sum_{𝜔 \in E | G} (| 𝜔 | | G | / | 𝜔 |) = | G | k \end{matrix}

\begin{matrix} X = {(g, x) | g \in G, x \in E, g \cdot x = x} \\ = ⨆_{g \in G} {(g, x) | x \in E, g \cdot x = x} \\ = ⨆_{g \in G} {(g, x) | x \in F i x (g)} \\ = ⨆_{g \in G} | F i x (g) | \end{matrix}

Ex :

Colliers à $n$ perles, $k$ couleurs : combien de colliers ?

Si on numérote les perles, on a $k$ choix par perle donc $k^{n}$ choix.

$ℤ / n ℤ$ opère sur l’ensemble des “colorations numérotées”.

Le nb de colliers est le nb d’orbites sous l’action de $ℤ / n ℤ$ .

ex :

$n = 7$ , $k = 2$ : $2^{7} = | {r o u g e, b l e u}^{⟦ 1, 7 ⟧} |$

Dans $ℤ / 7 ℤ$ : tous les éléments sont d’ordre $7$ sauf $0$ (d’ordre $1$ ).

Donc :
- $F i x (0) = {r o u g e, b l e u}^{⟦ 1, 7 ⟧}$
- $\forall i \neq 0, F i x (i) = {c o l l i e r s m o n o c h r o m e s}$
Nb de colliers :
$\begin{matrix} \frac{1}{7} \sum_{i = 0}^{6} | F i x (i) | \\ = \frac{1}{7} (2^{7} + 6 \times 2) \\ = 20 \end{matrix}$

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