Algèbre 1
Exercice
EXERCICE 22
Soit $A$ le sous-anneau de $ℂ$ engendré par $i$ (anneau des entiers de Gauß).
- Pour tout $z ∈ ℂ$, démontrer qu’il existe $a ∈ A$ tel que $\vert a − z \vert$
2.
- Démontrer que l’application n ≝ z \mapsto \vert z \vert est un stathme euclidien sur A.
- Soit $a ∈ A$ tel que $N(a)$ soit un nombre premier; démontrer que $a$ est irréductible.
- Pour tout nombre premier $p$, démontrer que l’anneau $A/(p)$ est isomorphe à l’anneau $(ℤ/pℤ)[T]/(T^2 + 1)$. En déduire que $p$ est irréductible dans $A$ si et seulement si $p ≡ 3 (mod 4)$.
- Soit $p$ un nombre premier tel que $p ≡ 1 (mod 4)$. Démontrer qu’il existe $u, v ∈ ℤ$ tels que u^2 + v^2 = p (théorème de Fermat sur les sommes de deux carrés).
1.
M1 :
Observation géométrique dans le plan complexe.
M2 :
Si $a≝ u + iv$ prend les entiers les plus proches de $u$ et $v$ (qui sont à une distance inférieure à $1/2$ de ces derniers).
2.
Calcul.
3.
Soit $𝛼∈ℤ[i]$ tq $∃a,b∈ℤ[i]\backslash ℤ[i]^{×}$ tq
alors
Or : $N(a), N(b) > 1$
donc
$N(𝛼)$ n’est pas premier.
4.
a).
Mq $ℤ[i]/(p) ≃ (ℤ/pℤ)[T]/[T^2+1]$
1.
$𝜑 : f \mapsto f(i)$
$f∈Ker(p)$
$f(i)=0$
Or :
Donc
Mq $Ker(𝛾 \circ 𝜓) = (p)+(T^2+1)$
Réciproquement :
Soit $g’∈(ℤ/pℤ)[T]$ tq $f \mod p = g’ (T^2+1)$
Soit $g∈ℤ[T]$ tq $g \mod p = g’$
Idem :
$𝜓’ : ℤ[i] ⟶ ℤ[i]/(p)$
$𝛾’ : ℤ[T] ⟶ ℤ[i] ≃ ℤ[T]/(T^2+1)$
Mq $Ker(𝜓’ \circ 𝛾’) = (p)+(T^2+1)$
-
$𝜓’ \circ 𝛾’(p) = 𝜓’(p) = 0$
$𝜓’ \circ 𝛾’(T^2+1) = 𝜓’(0) = 0$
-
$𝜓’ \circ 𝛾’(f) = 0 ⟹ 𝛾’(f) ∈ Ker(𝜓’)$
Soit $a∈ℤ[i]$ tq $𝛾’(f)= pa$
Soit $g∈ℤ[T]$ tq $a=g(i)$
𝛾(f-pg) = 0 \\ ∃ h ∈ ℤ[T]; f-pg = (T^2 + 1) h \\ ⟹ f = (T^2+1)h +pg
b).
$(p)$ irréductible dans $ℤ[i]$ ⟺ $p≡3(4) \\ ⟺ T^2 +1 \text{ irréductible dans } ℤ/pℤ[T] \\ ⟺ T^2 +1 \text{ n' pas de racine dans } ℤ/pℤ[T] \\ ⟺ \text{ il n'existe pas d'éléments d'ordre 4 dans } (ℤ/pℤ)^{×}
Or :
$p≠2$ :
$p=2$ :
$2 = (1+i)(1-i)$ donc $2$ n’est pas irréductible.
Soit $p≡1(4)$
$p=ab$ où $a,b∈ℤ[i]\backslash ℤ[i]^{×}$
NB :
$a = (\frac{p-1}{2})!$ est une formule explicite d’une racine carrée de $-1$, par le théorème de Wilson ($(p-1)! ≡ -1(p)$).
Addendum :
Mq $p$ est n’est pas irréductible ssi il est somme de deux carrés.
$⟸$ : Si $∃u, v ∈ ℤ^2$; $p = u^2 + v^2 > 1$
n’est pas irréductible dans $ℤ[i]$
$⟹$ : Si $p$ n’est pas irréductible dans $ℤ[i]$, $p=𝛼𝛽$, avec
- $N(𝛼)>1$
- $N(𝛽)>1$
Soit $p$ premier impair.
Soit $𝛼 = ab^{-1}$ dans $ℤ/pℤ$.
$𝛼^2 = -1$,
Si $p≥3$ irréductible, $p=a^2+b^2$
Or
Donc $p≠3(4)$
$p \mid 𝛼^2 +1$
Si $p=1(4)$,
$∃𝛼∈ℕ^{×}; 𝛼^2=-1(p)$
dans $ℤ[i]$
Si $p$ divise l’un des deux, il divise l’autre par conjuguaison et donc $p \mid 2i$
$p$ ne divise aucun des 2.
NB :
-
On aurait aussi pu considérer l’idéal $I = (𝛼+i, p) = (u+iv)$ (principal). Puis on continue de même.
-
cf. Loi de réciprocité quadratique de Gauss.
Leave a comment