Cours 4: Adjonction par générateurs et relations, Monades

Adjonction par générateurs et relations

Présentation d’un monoïde par générateurs et relations

Ex 1:

\[\lbrace a, b \rbrace^\ast = ⟨ \underbrace{a, b}_{\text{générateurs}} \mid \underbrace{ \; }_{\text{pas de relations}}⟩\]

Ex 2:

\[ℕ×ℕ ≝ \lbrace a, b \rbrace^\ast = ⟨ \underbrace{a, b}_{\text{générateurs}} \mid \underbrace{ ab = ba }_{\text{relation}}⟩\]

où $(p, q) + (p’, q’) = (p+p’, q+q’)$

Adjonction

Présentation 2-catégorique d’une adjonction (dite formelle) dans une 2-catégorie :

  • une paire de 0-cellules (objets)

  • une paire de 1-cellules $𝒜 \overset{L}{⟶} ℬ$ et $ℬ \overset{R}{⟶} 𝒜$

  • une paire de 2-cellules

  • une paire d’égalités entre 2-cellules

NB: Dans le cas particulier d’une catégorie $𝒲$ vue comme 2-catégorie dont toutes les 2-cellules sont des 2-cellules identité. Une adjonction formelle est la même chose qu’une paire de morphismes inverses l’un de l’autre.

Une adjonction dans $𝒲 = Cat$ est une adjonction (au sens habituel) entre catégories et foncteurs.

Ex:

La 2-catégorie $𝒲 ≝ Rel$ des relations $A \overset{R}{⟶} B ⟺ R ⊆ A × B$ tq

  • \[S \circ R ≝ R ; S ≝ \lbrace (a, c) \mid ∃b∈B; \; (a,b)∈R, (b, c) ∈ S\rbrace\]
  • il y a une 2-cellule entre $R$ et $S$ ssi $R ⊆ S$

Une adjonction entre relations $𝒜 \overset{L}{⟶} ℬ$ et $ℬ \overset{R}{⟶} 𝒜$ tq

  • $id_{A} ⊆ R \circ L$
  • $L \circ R ⊆ id_B$

(pas besoin de vérifier les paires d’égalités, car il y a au plus une 2-cellule entre deux 1-cellules)

\[∀a∈A, \; ∃b ∈ B; (a, b)∈L \text{ et } (b, a) ∈ R\]

En particulier, tout élément $a ∈ A$ a (au moins) une image $b ∈ B$, laquelle est à la fois son antécédent.

\[∀b∈B, \; ∀a ∈ A, \; (b, a)∈R ∧ (a, b) ∈L ⟹ b=b'\]

On a donc l’unicité de l’image/antécédent précédent:

\[∀a∈A, \; ∃ ! b ≝ f(a) ∈ B; (a, f(a))∈L ∧ (f(a), a) ∈ R\]

Donc les adjonctions dans la 2-catégorie $Rel$ sont les fonctions: $L_f$ en est le graphe, $R_f$ une section.

\[R_f \circ L_f = \lbrace (a, a')∈ A × A \mid f(a) = f(a')\rbrace \\ L_f \circ R_f = \lbrace (b, b)∈ B×B \mid ∃a∈A, f(a) = b \rbrace\]

NB:

  1. on peut voir les relations comme des matrices (en position $(i, j) = 1$ ssi ils sont en relation)
  2. Les adjoints à gauche forment une catégorie: ici, la catégorie des adjoints à gauche sont les graphes de fonctions

La catégorie $Ens$ des ensembles et fonctions entre ensembles coïncide avec la catégorie des adjoints à gauche de $Rel$

Monades

Ex:

La monade $T: Ens ⟶ Ens$ qui associe à un ensemble $A$ l’ensemble $A^\ast$ de ses mots finis.

  1. $T$ est un foncteur: si $A \overset{f}{⟶} B$, $Tf ≝ [a_1, ⋯, a_n] ⟼ [f(a_1), ⋯, f(a_n)] : TA ⟶ TB$ (et qui envoie le mot vide sur le mot vide).

  2. \[η_A: \begin{cases} A ⟶ TA \\ a \mapsto [a] \end{cases}\]
  3. \[μ_A: \begin{cases} TTA ⟶ TA \\ [ [a_1^1, ⋯, a_k^1], ⋯ , [a_1^n, ⋯, a_l^n]] ⟼ [a_1^1, ⋯, a_l^n] \end{cases}\]

Th: Toute adjonction $𝒜 \overset{L}{⟶} ℬ$ et $ℬ \overset{R}{⟶} 𝒜$ définit une monade $T ≝ R \circ L$ sur la catégorie $𝒜$, dont

  • l’unité est donnée par l’unité de l’adjonction

  • la multiplication $μ_A ≝ R \circ ε \circ L : TT ≝ RLRL ⟶ RL = T$

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