TD 1: Topologie générale, Espace quotient

Feuille 1

Exercice 2.

Si $A, B$ sont connexes es

	Connexité
$∪$	non
$∩$	non
$\overline{\bullet}$	oui
$\bullet^°$	non
$Fr$	non
$F$ fermé	non

Sinus du topologue

\[A ≝ \lbrace (x, \sin \frac 1 x) \mid x ∈ ℝ^\ast \rbrace\\ \overline{A} = A ∪ \lbrace 0 \rbrace × [-1, 1]\]

	Connexité par arcs
$∪$	non
$∩$	non
$\overline{\bullet}$	non
$\bullet^°$	non
$Fr$	non
$F$ fermé	non

	Quasi-compacité
$∪$	oui
$∩$	non
$\overline{\bullet}$	non
$\bullet^°$	non
$Fr$	non
$F$ fermé	oui

Non pour l’adhérence et la frontière

\[X ≝ Y ∪ \lbrace a \rbrace\]

avec topologie $τ$ engendrée par les $U ∪ \lbrace a \rbrace$, $U$ ouvert de $X$

$X ≝ [0, +∞[$, topo donnée par $]a, +∞[$

Non pour l’intersection

\[A ≝ \lbrace 0 \rbrace ∪ ]2, +∞[\\ B ≝ \lbrace 1 \rbrace ∪ ]2, +∞[\]

Tout ouvert contenant $0$ recouvre $A$ ⟹ $A$ quasi-compact.

$A ∩ B = ]2, +∞[$ n’est pas quasi-compact.

Non pour l’intérieur

Un quasi-compact dans $ℝ$ est un fermé borné: l’intérieur d’un intervalle fermé borné n’est pas un intervalle fermé borné.

---

	Séparation
$∪$	non
$∩$	oui
$\overline{\bullet}$	non
$\bullet^°$	oui
$Fr$	non
$F$ fermé	oui (tout ss-ensemble d’un esp. séparé est séparé)

Non pour l’union

• $X = \lbrace 0, 1 \rbrace$
• $τ = \lbrace ∅, X, \lbrace 0 \rbrace \rbrace$
• $A = \lbrace 0 \rbrace, B = \lbrace 1 \rbrace$ séparés
• mais $A ∪ B$ non séparé

Adhérence et frontière

• $A = \lbrace a \rbrace, \overline{A} = X$ pas séparé
• $Fr \, A = Y$ pas forcément séparé

---

	Séparabilité
$∪$	oui
$∩$	non
$\overline{\bullet}$	oui
$\bullet^°$	oui
$Fr$
$F$ fermé

Union

• $A ⊆ X, B ⊆ Y$
• $\overline{A} = X, \overline{B} = Y$
• $\overline{A ∪ B} = X ∪ Y$

Intérieur

Si $A$ est dénombrable dense dans $X$, alors tout ouvert recontre $A$, donc tout ouvert de $X\strut^\mathrm{o}$ recontre $A$

Intersection

$Y ∪ \lbrace a, b \rbrace = X$

$τ$ engendré par les $U ∪ \lbrace a, b \rbrace$

• $A = \lbrace a \rbrace ∪ Y,\; \overline{A} = X$
• $B = \lbrace b \rbrace ∪ Y,\; \overline{B} = X$

tout ouvert contenant $\lbrace a \rbrace$ contient forcément $\lbrace a, b \rbrace$

\[A ∩ B = Y \text{ pas forcément séparable}\]

Ex d’espace non séparable: espace non dénombrable avec la topologie discrète

Frontière

• $Y ∪ \lbrace a \rbrace = X$
• $A = \lbrace a \rbrace$
• $Fr \, \lbrace a \rbrace = Y$ non forcément séparable

Fermés

• $\lbrace a \rbrace$ ouvert
• $Y$ fermé (non forcément séparable)

Remarque (sans rapport avec l’exercice)

\[f: X ⟶ Y\]

L’image directe se comporte mal par rapport à toutes les opération: elle préserve juste $∪$ et $⊆$

L’image réciproque préserve l’inclusion, la réunion, $∩$, le complémentaire

---

$A ⊆ f^{-1} f A$ pour tout $A⊆ X$, avec égalité ssi $f$ est injective.

$f f^{-1} B ⊆ B$ pour tout $B ⊆ X$ avec égalité ssi $f$ est surjective.

Toute application bijective continue d’un compact dans un séparé est un homéo

Exercice 8

Partie 1

Soit

• $X$ un e.t.
• $A$ une partie non vide
• $\sim$ egendrée par $x \sim x’ \quad ∀x, x’ ∈ A$
• $p: X ⟶ X/\sim = X/A$

Ex:

• Disque $D^n ⊆ ℝ^n$ ≝ $(x_1, ⋯, x_n) ∈ ℝ^n; \sum\limits_{ i } x_i^2 ≤ 1$

• Frontière du disque $\partial D^n ⊆ ℝ^n$ ≝ $(x_1, ⋯, x_n) ∈ ℝ^n; \sum\limits_{ i } x_i^2 = 1$

• Sphère $S^n ⊆ ℝ^{n+1}$: $(x_1, ⋯, x_{n+1})∈ ℝ^{n+1}; \sum\limits_{ i } x_i^2 = 1$

\[(x_1, ⋯, x_n) ∈ ℝ^n, \Vert x \Vert^2 ≝ \sum\limits_{ i=1 }^n x_i^2\] \[\begin{cases} D^n\backslash \lbrace 0 \rbrace &⟶ S^n \\ x &\mapsto \left(\frac{x}{\Vert x \Vert} \sin π \Vert x \Vert, \, \cos π \Vert x \Vert\right) \end{cases}\]

défini pour $x≠0$, continue sur $D^n \backslash \lbrace 0 \rbrace$

On prolonge cette application par continuité en $0$, en posant

\[f(0) = (\underbrace{0, ⋯, 0}_{0 ∈ ℝ^n}, 1) = N(ord)\]

$f$ est constante sur les classes d’équivalence de $\sim$

\[\Vert x \Vert = 1 ⟺ f(x) = (0, ⋯, 0, -1) = S(ud)\]

$f$ est continue est surjective.

L’application $f$ passe au quotient

\[\overline{f}: D^n/ \partial D^n ⟶ S^n\]

continue, surjective

$\overline{f}$ est injective ($f$ est injective de ${(D^n)}^\mathrm{o}$ sur $S^n \backslash \lbrace S \rbrace$)

\[\begin{xy} \xymatrix{ D^n \ar[r]^f \ar[dr]_{p} & S^n \\ & D^n/ \partial D^n \ar[u]_{\overline{f}} } \end{xy}\]

$[x], [y] ∈ D^n/ \partial D^n$

Si $f(x) = f(y) ∈ S^n \backslash \lbrace S \rbrace$, alors $x, y ∈ {D_n}^\mathrm{o}$

$f/{D_n}^\mathrm{o}$ inj sur $S^n \backslash \lbrace S \rbrace$, donc $x= y ∈ {D_n}^\mathrm{o}$ ⟹ $[x] = [y]$

$f$ injective sur ${D_n}^\mathrm{o}$

\[f(x) = f(y) ≠ N ⟺ \begin{cases} 0 ≤ \Vert x \Vert, \Vert y \Vert ≤ 1 \\ \cos π \Vert x \Vert = \cos π \Vert y \Vert \\ \frac{x}{\Vert x \Vert} \sin π \Vert x \Vert = \frac{y}{\Vert y \Vert} \sin π \Vert y \Vert\\ \end{cases}\]

⟹ \(\begin{cases} \Vert x \Vert = \Vert y \Vert \\ (x - y) \sin π \Vert x \Vert = 0\\ \end{cases}\)

⟹ $x= y$ car $0 ≤ \Vert x \Vert, \Vert y \Vert ≤ 1$

---

• $D^n/\partial D^n$ est quasi-compact
• $S^n$ séparée

\[⟹ \overline{f} \text{ homéo}\]

Exercice 8.2

• $X$ e.t.
• $A ⊆ X, A ≠ ∅$
• $f: A ⟶ X$ continue
• $p: X ⟶ X/\sim$

hypothèse: $∀x ∈ X, \lbrace x, f(x), f^2(x), ⋯ \rbrace$ a un ou deux éléments distincts

Relation d’éq sur $X$:

• $x ∉ A ∪ f(A)$
• $x ∈ A$
• $x ∈ f(A)\backslash A$

Classe d’éq de $x$ formée par

• $\lbrace x \rbrace$
• $\lbrace f(x) \rbrace ∪ f^{-1}(\lbrace f(x) \rbrace)$
• $\lbrace x \rbrace ∪ f^{-1}(\lbrace x \rbrace)$

$X/\sim = X/f$

Ex:

1)

• $X = [0, 1]$
• $A = \lbrace 0 \rbrace$
• $f(0)=1$
• $[0, 1]/f = [0, 1]/\lbrace 0, 1 \rbrace$

\[\begin{xy} \xymatrix{ [0, 1] \ni t \ar[r]^f \ar[dr]_{p} & S^1 \ni \exp(2iπ t) \\ & [0, 1]/ f \ar[u]_{\text{homéo}} } \end{xy}\]

Continue surjective sur les classes d’éq

⟶ bijection entre un compact et un séparé ⟹ homéo

2)

• $X = [0, 1]^2$
• $A = \lbrace 0 \rbrace × [0, 1]$
• $f(0, y) = (1, y) \quad (0, y) ∈ A$

\[X/f ≃ S^1 × [0, 1] \text{ cylindre}\]

4)

• $[0, 1]^2 = X$
• $A = \lbrace 0 \rbrace × [0, 1]$
• $f(0, y) = (1, 1-y)$

\[X/f = \text{ Ruban de Möbius fermé}\]

5) Bouquet de cercles

• $X = Y = S^1$
• $A = \lbrace a \rbrace, f(a) = b$

L’écrasement est un cas particlier d’identification

• $X$ e.t.
• $A ≠∅$

\[f: A ⟶ X \text{ cste}\]