Cours: Résultats de préservation

Teacher: Tomas Ibarlucia

Prop: Si $f$ est une application élémentaire partielle de $ℳ$ dans $ℳ$, alors elle s’étend en un automorphisme d’une extension élémentaire $𝒩 \succcurlyeq ℳ$

f \leadsto f': 𝒩 → 𝒩

On a prouvé qu’une telle $f$ s’étend en un plongement élementaire $f_1: 𝒩 ⟶ 𝒩, \; 𝒩\succcurlyeq ℳ$.

Maintenant, on considère $f_1^{-1}: {\rm Im} \, f ⊆ 𝒩 ⟶ 𝒩$, qui est une application élémentaire partielle de $𝒩 ⟶ 𝒩$.

Alors elle s’étend à un plongement $g_2: 𝒩_2 ⟶ 𝒩_2, \; 𝒩_2 \succcurlyeq 𝒩$

On prend

f_2 = g_2^{-1}: {\rm Im } \, g_2 ⊆ 𝒩_2 ⟶ 𝒩_2

NB: $𝒩_2 = {\rm Im } \, f_2$

On étend $f_2$ à un plongement $f_3: 𝒩_3 ⟶ 𝒩_3$, et ainsi de suite.

Donc on obtient une suite $f_n$ d’appli élémentaires partielles de $𝒩_n ⟶ 𝒩_n$ tq

𝒩_{2n} = {\rm Im } \, f_{2n}\\ 𝒩_{2n+1} = {\rm dom } \, f_{2n+1}

on prend

𝒩' ≝ \bigcup\limits_{n} f_n \qquad f' = \bigcup\limits_{n} f_n

et on obtient un automorphisme $f: 𝒩 ⟶ 𝒩’$.


Résultats de préservation

ℒ_{Grp} ≝ \lbrace \cdot, (-)^{-1}, \rbrace\\ ℒ_{sGrp} ≝ \lbrace \cdot \rbrace\\ ℒ_{an} ≝ \lbrace +, -, \cdot, 0, 1 \rbrace

Déf: Une formule $φ$ est universelle (resp. existentielle) si elle est de la forme:

φ \; \underbrace{≡}_{\text{éq. dans tous les modèles}} \; ∀x_1, …, ∀x_n. ψ

où $φ$ n’a pas de quantificateurs.

(resp. $φ \; ≡ \; ∃x_1, …, ∃x_n. ψ$ où $ψ$ n’a pas de quantificateurs)

NB: Les formules universelles et existentielles sont closes par conjonctions et disjonctions:

∀ \overline x, φ ∧ ∀ \overline y, ψ ≡ ∀ \overline x ∀ \overline y, (φ ∧ ψ)

et

∃ \overline x, φ ∨ ∃ \overline y, ψ ≡ ∃ \overline x ∃ \overline y, (φ ∨ ψ)

à condition que les variables dans $\overline{x}$ et $\overline{y}$ soient distinctes.

Déf: Si $T$ est une théorie, alors la partie universelle de $T$ est

T_∀ \; ≝ \; \lbrace φ \text{ énoncés universels : } T ⊨ φ\rbrace

De même, on définit

T_∃ \; ≝ \; \lbrace φ \text{ énoncé existentiel : } T ⊨ φ\rbrace

On note

Th_∀(ℳ) ≝ (Th(ℳ))_∀\\ Th_∃(ℳ) ≝ (Th(ℳ))_∃

On dit que $T$ est universellement axiomatisable (resp. existentiellement axiomatisable) s’il existe une théorie $T’$ composée d’énoncés universels (resp. existentiels) tq

T ≡ T'

NB: C’est ssi

T_∀ ⊨ T \qquad \text{ (resp. } T_∃ ⊨ T \text{)}

Prop: Sont équivalentess:

  • $ℳ ⊨ T_∀$
  • Il existe $𝒩 ⊨ T$ tq $ℳ ⊆ 𝒩$

En particulier, sont équivalents:

  • $ℳ ⊨ Th_∀(𝒩)$
  • $𝒩 ⊨ Th_∃(ℳ)$
  • $Th_∀(𝒩) ⊆ Th_∀(ℳ)$
  • $Th_∃(ℳ) ⊆ Th_∃(𝒩)$
  • $⊛⊛ \quad$ Il existe $𝒩’ \succcurlyeq 𝒩$ et un plongement $ℳ \hookrightarrow 𝒩’$
  • Il existe $𝒩’ \supseteq ℳ$ et un plongement élémentaire $𝒩 \hookrightarrow 𝒩’$

Preuve:

$⟸$: Si $ℳ ⊆ 𝒩$, $𝒩 ⊨ T$ et $φ ∈ T_∀$, alors on a $φ = ∀ \overline{x} ψ$, $ψ$ sans quantificateurs.

Donc: $𝒩 ⊨ ∀ \overline{x} ψ$, i.e. pour tout $\overline{a} ∈ N^n$, 𝒩 ⊨ ψ(\overline{a})

En particulier, si $\overline{a} ∈ M^n$, on a $𝒩 ⊨ ψ(\overline{a})$ et donc $ℳ ⊨ ψ(\overline{a})$ car $ψ$ est une combinaison booléenne de formules atomiques et $ℳ ⊆ 𝒩$.

Donc

ℳ ⊨ ψ(\overline{a}) \text{ pour tout } \overline{a} ∈ M^n

i.e. ℳ ⊨ φ

$⟹$: On veut montrer que $T ∪ Diag(ℳ)$, puisqu’alors tout modèle $𝒩 ⊨ T ∪ Diag(ℳ)$ satisfait l’énoncé.

Si $T ∪ Diag(ℳ)$ est inconsistant, il existe $φ(c_{\overline{a}}) ∈ Diag(ℳ)$ tq

T ⊨ ¬ φ(c_{\overline{a}}) \qquad \text{( } φ \text{ sans quantificateurs )}

Comme $c_{\overline{a}}$ n’est pas dans le langage de $T$, cela donne

T ⊨ \underbrace{∀ \overline{x} ¬ φ(\overline{x})}_{∈ T_∀}

Donc

ℳ ⊨ ∀ \overline{x} ¬ φ(\overline{x}) \qquad \text{( car } ℳ ⊨ T_∀ \text{ par hypothèse )}

Absurde car $ℳ ⊨ φ(\overline{a})$

2e partie:

ℳ ⊨ Th_∀(𝒩) \quad ⟹ \quad Th_∀(𝒩) ⊆ Th_∀(ℳ)\\ 𝒩 ⊨ Th_∃(ℳ) \quad ⟹ \quad Th_∃(ℳ) ⊆ Th_∃(𝒩)\\

NB: Si $φ$ est universelle, alors $¬ φ$ est existentielle, et réciproquement. Donc si $ℳ ⊨ ψ$ et $ψ$ existentielle mais $𝒩 \not ⊨ ψ$, alors $𝒩 ⊨ ¬ ψ$, donc $¬ ψ ∈ Th_∀(𝒩)$, donc $ℳ ⊨ ¬ ψ$ (sous l’hypothèse que $ℳ ⊨ Th_∀(𝒩)$). Contradiction.

L’équivalence de $ℳ ⊨ Th_∀(𝒩)$ avec $⊛⊛$ suit de la partie 1, en considérant $T = Th(𝒩)$

Cela donne (pour $ℳ ⊨ Th_∀(𝒩) ⟹ ⊛⊛$) une structure $\widetilde{𝒩} ≡ 𝒩$ tq $M ⊆ \widetilde{𝒩}$.

Puis par les théorèmes de l’extension élémentaire commune, on obtient $𝒩’$ telle que

ℳ \hookrightarrow \widetilde{𝒩} \; \overset{\text{élém.}}{\hookrightarrow} \; 𝒩'\\ 𝒩 \; \overset{\text{élém.}}{\hookrightarrow} \; 𝒩'\\

donc

𝒩 \; \overset{\text{élém.}}{\hookrightarrow} \; 𝒩' \\ ℳ \; \hookrightarrow \; 𝒩'


Thm (de préservation pour $∀$): Soit $T$ une théorie. Sont équivalents:

  • $T$ est universellement axiomatisable
  • Si $ℳ ⊨ T$ et $𝒩 ⊆ ℳ$, alors $𝒩 ⊨ T$

Preuve:

$⟹$: clair.

$⟸$: On veut voir que T_∀ ⊨ T

Soit $ℳ ⊨ T_∀$. Par la proposition 1, il existe $𝒩 ⊨ T$ tq $ℳ ⊆ 𝒩$.

Alors par hypothèse, $ℳ ⊨ T$.


Prop 2: Sont équivalents:

  • $𝒩 ⊨ T$
  • Il existe un $ℳ ⊨ T$ et $𝒩’ ≡ 𝒩$ tq $ℳ ⊆ 𝒩’$.

Preuve:

$⟸$: clair.

$⟹$: On remarque que $T ∪ Th_∀(ℳ)$ est consistante: sinon, il existe $∀ \overline{x} φ ∈ Th_∀(𝒩)$ où $φ$ est sans quantificateurs tq

T ⊨ \underbrace{¬ ∀ \overline{x} φ}_{\text{c'est existentiel !}}

donc $¬ ∀ \overline{x} φ ∈ T_∃$.

Comme $𝒩 ⊨ T_∃$, $𝒩 ⊨ ¬ ∀ \overline{x} φ$: absurde car $∀ \overline{x} φ ∈ Th_∀(𝒩)$.

Donc il existe un modèle

ℳ ⊨ T ∪ Th_∀(𝒩)

Comme $ℳ ⊨ Th_∀(𝒩)$, par la proposition 1, il existe $𝒩’ ⊨ Th(𝒩)$ tq $ℳ ⊆ 𝒩’$.



Thm (de présevation pour $∃$): Soit $T$ une théorie. Sont équivalents:

  • $T$ est existentiellement axiomatisable
  • A chaque fois qu’on a $ℳ ⊆ 𝒩$ et $ℳ ⊨ T$, alors $𝒩 ⊨ T$

Preuve:

$⟹$: Clair.

$⟸$: On veut montrer que la partie existentielle implique déjà tout $T$:

T_∃ ⊨ T

Soit $𝒩 ⊨ T_∃$, alors par la proposition 2, il existe $ℳ ⊨ T$ et $𝒩’ ≡ 𝒩$ tq $ℳ ⊆ 𝒩’$.

Alors par hypthèse, $𝒩’ ⊨ T$. Comme $𝒩’ ≡ 𝒩$, $𝒩 ⊨ T$.

Version locale (formule par formule)

Déf: Soient $T$ une théorie, $φ(\overline{x})$ une formule. On dit que $φ(\overline{x})$ est universelle (resp. existentielle) modulo $T$ s’il existe une formule universelle (resp. existentielle) $ψ(\overline{x})$ tq

T ⊨ ∀ \overline{x} (φ(\overline{x}) \leftrightarrow ψ(\overline{x}))

Thm: Sont équivalents

  • $φ(\overline{x})$ est universelle modulo $T$
  • A chaque fois que $ℳ ⊆ 𝒩$ et $ℳ, 𝒩 ⊨ T$, $\overline{a} ∈ M^{\vert \overline{x} \vert}$ et $𝒩 ⊨ φ(\overline{a})$, alors on a $ℳ ⊨ φ(\overline{a})$.

De même, sont équivalents

  • $φ(\overline{x})$ est existentielle modulo T
  • Si l’on a $ℳ ⊆ 𝒩$ et $ℳ, 𝒩 ⊨ T$, $a ∈ M^{\vert x \vert}, ℳ ⊨ φ(\overline{a})$, alors $𝒩 ⊨ φ(\overline{a})$

Preuve:

NB: La deuxième partie découle de la première en prenant des négations (exercice).

1ère partie: (même stratégie qu’avant)

$⟹$: clair

$⟸$:

Soit

Σ(\overline{x}) \; ≝ \; \underbrace{\lbrace ψ(\overline{x}) \text{ universelle : } T ⊨ ∀ \overline{x} \, (φ(\overline{x}) \leftrightarrow ψ(\overline{x})) \rbrace}_{\text{clos par conjonction}}

On prétend que

T ∪ Σ(\overline{c}) ⊨ φ(\overline{c}) \qquad \text{ où } \overline{c} \text{ est une constante fraîche}

En effet, si

(ℳ, \overline{a}) ⊨ T ∪ Σ(\overline{c})

alors

T ∪ \lbrace φ(\overline{c}) \rbrace ∪ Diag_{ℒ ∪ \lbrace \overline{c}\rbrace}(ℳ, \overline{a})

est satisfaisable: sinon,

T ∪ \lbrace φ(\overline{c}) \rbrace ⊨ ¬ ψ(\overline{c}, \overline{d})

pour une certaine formule

ψ(\overline{c}, \overline{d}) ∈ Diag_{ℒ ∪ \lbrace \overline{c}\rbrace}(ℳ, \overline{a})

et alors

T ∪ \lbrace φ(\overline{c}) \rbrace ⊨ ∀ \overline{y}, \, ¬ ψ(\overline{c}, \overline{y})

puis

T ⊨ φ(\overline{c}) → ∀ \overline{y}, \, ¬ ψ(\overline{c}, \overline{y})

donc

T ⊨ ∀ \overline{x}, \; (φ(\overline{x}) → \underbrace{∀ \overline{y}, \, ¬ ψ(\overline{x}, \overline{y}}_{∈ Σ(\overline{x})}))

Soit donc

(𝒩, \overline{b}) ⊨ T ∪ \lbrace φ(\overline{c}) \rbrace ∪ Diag_{ℒ ∪ \lbrace \overline{c}\rbrace}(ℳ, \overline{a})

Alors

ℳ ⊆ 𝒩, \, \overline{a} = \overline{b}, \, \begin{cases} N ⊨ T \\ M ⊨ T \end{cases}, \; 𝒩 ⊨ φ(\overline{a})

Par hypothèse, $ℳ ⊨ φ(\overline{a})$. Cela montre

T ∪ Σ(\underbrace{\overline{c}}_{\text{constante fraîche}}) ⊨ φ(\overline{c})

Par compacité, il y a $ψ(\overline{x}) ∈ Σ(\overline{x})$ tq

T ∪ \lbrace ψ(\overline{c}) \rbrace ⊨ φ(\overline{c})

i.e.

T ⊨ ∀ \overline{x} \, (ψ(\overline{x}) → φ(\overline{x}))

Donc on a bien $ψ ≡ φ \mod T$, où $ψ$ est universelle.


Déf: Une formule $φ$ est une $∀∃$-formule (resp. $∃∀$-formule) si

φ ≡ ∀ \overline{x} \, ∃ \overline{y} \, \underbrace{ψ}_{\text{sans quantif.}}

resp.

φ ≡ ∃ \overline{x} \, ∀ \overline{y} \, \underbrace{ψ}_{\text{sans quantif.}}

Comme avant, on définit

T_{∀ ∃} \; ≝ \; \lbrace φ \; ∀∃ \text{-énoncé : } T ⊨ φ\rbrace\\ T_{∃∀} \; ≝ \; \lbrace φ \; ∃∀ \text{-énoncé : } T ⊨ φ\rbrace\\ Th_{∀∃}(ℳ) = (Th(ℳ))_{∀∃} \quad \text{, etc.}

On définit aussi:

Diag_∀(ℳ) \; ≝ \; \lbrace φ(c_{\overline{m}}) \quad ℒ_M \text{-énoncés universels : } ℳ ⊨ φ(\overline{m})\rbrace

NB:

Diag_∀(ℳ) = (Diag_el(ℳ))_∀ = Th_∀^{ℒ_M}(ℳ)

Déf: Soit $ℳ ⊆ 𝒩$.

On dit que $ℳ$ est existentiellement close dans $𝒩$, noté $ℳ \preccurlyeq_1 𝒩$, si $∀ a ∈ M^n$, $φ(\overline{x})$ existentielle, si $𝒩 ⊨ φ(\overline{a})$, alors $ℳ ⊨ φ(\overline{a})$.

NB: $ℳ \preccurlyeq_1 𝒩$ si $ℳ ⊆ 𝒩$ et $𝒩_M ⊨ Diag_∀(ℳ)$

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