TIPE 2016 Transparents : Théorie des modèles

Ax-Grothendieck : démonstration algébrique

Nullstellensatz et Astuce de Rabinowitsch

Nullstellensatz faible et fort

Problématique et premiers outils

Théorème d’Ax-Grothendieck Toute fonction polynomiale de \mathbb{C}^n dans \mathbb{C}^n qui est injective est surjective.

Premières observations

  • Théorème de d’Alembert

  • Principe des tiroirs

Nullstellensatz faible Si \mathbb{K} est algébriquement clos (AC), pour tout idéal J de \mathbb{K}[X_1, \ldots, X_n], \hbox{V}(J)=\emptyset \Longrightarrow J = \mathbb{K}[X_1, \ldots, X_n]

\hbox{V}(J) {\overset{ {\text{déf}}}{=}}\bigcap\limits_{P \in J} P^{-1}\left(\{0\}\right)
\Phi {\overset{ {\text{déf}}}{=}}\left\{ \begin{array}{cll} \mathbb{K}^n & \to & \big\{\text{Idéaux maximaux de } \mathbb{K}[X_1,\ldots, X_n] \big\} \\ (a_1, \ldots, a_n) & \mapsto & \hspace{3em} \big\langle X_1-a_1 , \ldots,\, X_n-a_n \big\rangle \end{array}\right.

est une bijection.

\bigg\Downarrow Astuce de Rabinowitsch

Nullstellensatz fort \mathbb{K} AC : pour tous polynômes P_1, \ldots, P_m \in \mathbb{K}[X_1, \ldots, X_n], l’idéal J {\overset{\text{déf}}{=}}\big\langle P_1 , \ldots,\, P_m \big\rangle vérifie : \hbox{I}\left(\hbox{V}(J)\right)=\sqrt{J}

  • \hbox{I}\left(\hbox{V}(J)\right) est l’idéal des polynômes s’annulant en chacun des éléments de \hbox{V}(J)

  • \sqrt{J} est le radical de J (l’ensemble des polynômes dont une puissance strictement positive appartient à J)

Astuce de Rabinowitsch

Le Nullstellensatz faible implique le fort !

   Soit J {\overset{ {\text{déf}}}{=}}\big\langle P_1 , \ldots,\, P_m \big\rangle \subset \mathbb{K}[X_1, \ldots, X_n].

  • \sqrt{J} \subset \hbox{I}\left(\hbox{V}(J)\right) : évident, par intégrité de \mathbb{K}.

  • \hbox{I}\left(\hbox{V}(J)\right) \subset \sqrt{J} : Si P \in \hbox{I}\left(\hbox{V}(J)\right)\backslash\{0\} : \mathfrak{I} {\overset{ {\text{déf}}}{=}}\big\langle 1 - X_0 P, \, P_1 , \ldots,\, P_m \big\rangle   \hbox{V}(\mathfrak{I}) = \emptyset \overset{ \text{Nullstellensatz faible}}{\Longrightarrow} \mathfrak{I} = \mathbb{K}[X_0,\, X_1, \ldots, X_n]    d’où : \hspace{-13 mm} 1 = (1 - X_0 P) \, \underbrace{Q_0(X_0, \ldots, X_n)}_{\in \mathbb{K}[X_0,\, X_1, \ldots, X_n]} + \sum \limits_{i=1}^m P_i \, \underbrace{Q_i(X_0, \ldots, X_n)}_{\in \mathbb{K}[X_0,\, X_1, \ldots, X_n]}     

    \bigg\Downarrow X_0 \leftarrow 1/P

    1 = \sum \limits_{i=1}^m P_i(X_1, \ldots, X_n) \, Q_i(1/P, \, X_1, \ldots, X_n) soit, pour r assez grand : P^r = \sum \limits_{i=1}^m P_i(X_1, \ldots, X_n) \, \underbrace{ {\widetilde Q_i}(X_1, \ldots, X_n)}_{\in \mathbb{K}[X_1, \ldots, X_n]} \in J

Ax-Grothendieck

Ax-Grothendieck

Plan de la démonstration

Heuristique : procéder par l’absurde, en considérant P : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n injectif mais non surjectif

  1. <1-> Le démontrer dans les clôtures algébriques des corps finis

    • Le Nullstellensatz fort \longrightarrow fournit des “témoins” de l’injectivité et de la non surjectivité de P
  2. <2-> Étendre le résultat à \mathbb{C}, en exhibant une clôture algébrique de corps fini où Ax n’est pas vérifié.

\forall x,y \in \overline{\mathbb{K}}^n, P(x) - P(y) = 0 \Longrightarrow x - y = 0

\bigg\Downarrow Nullstellensatz fort + $$i$$-ème coordonnée

X_i-Y_i \in \sqrt{\big\langle P_i(X_1, \ldots, X_n)-P_i(Y_1, \ldots, Y_n) \big\rangle} \Rightarrow il existe Q : \overline{\mathbb{K}}^n \times \overline{\mathbb{K}}^n \to \overline{\mathbb{K}}^n, r \in \mathbb{N}^* tels que : \forall x,y \in \overline{\mathbb{K}}^n, \, \, \big(P(x)-P(y)\big)Q(x,y) = (x-y)^r

Ax à l’épreuve de la théorie des modèles

Ax à l’épreuve de la théorie des modèles

Prélude : Schéma de Vérité de Tarski

Tout commence avec le constat, faussement trivial : “Il neige” est vrai si, et seulement si il neige.

Pour i \in \mathbb{N}, on se donne des “ensembles de symboles” (dits langages) \mathcal{L}_i et \mathcal{L}_{i+1} \supsetneq \mathcal{L}_i. On se place sur un \mathcal{L}_i-système formel (ex : logique du premier ordre) :

  • \mathcal{L}_i est appelé Langage-Objet

  • \mathcal{L}_i contient (éventuellement) un prédicat de vérité “\text{vrai}_i

Schéma de vérité de Tarski : Pour tout \mathcal{L}_i-énoncé p : p est \text{vrai}_{i+1} ssi I_{i+1}(p)

où : I_{i+1}(p) est l’interprétation de p dans le \mathcal{L}_{i+1}-système formel

:

\mathcal{L}-structure

: Un ensemble \mathcal{M} où on interprète les éléments de \mathcal{L} : i.e on choisit

  • c^{\mathcal{M}} pour chaque symbole de constante c \in \mathcal{L}

  • ET f^{\mathcal{M}} : \mathcal{M}^{n_f} \to \mathcal{M} pour chaque symbole de fonction f \in \mathcal{L} d’arité n_f

  • ET P^{\mathcal{M}} \subset \mathcal{M}^{n_P} pour chaque symbole de prédicat P \in \mathcal{L} d’arité n_P

On interprète, ainsi, les \mathcal{L}-formules atomiques closes, puis les \mathcal{L}-énoncés de manière “usuelle” à partir des formules atomiques, par induction.

Modèle

: \mathcal{M} est un modèle de l’énoncé \theta si, et seulement si, \theta est vrai dans \mathcal{M} : on note \mathcal{M} \vDash \theta

Satisfaisabilité

: une théorie \mathcal{T} est dite : satisfaisable si elle admet au moins un modèle, finiment satisfaisable si toute partie finie de \mathcal{T} est satisfaisable.

Conséquence sémantique

: on dit qu’un énoncé \theta est une conséquence (sémantique) d’une théorie \mathcal{T} si : pour tout modèle \mathcal{M} de \mathcal{T}, \mathcal{M} \vDash \theta. On le note \mathcal{T} \vDash \theta.

Filtres, Ultrafiltres, et Ultraproduits

Filtres, Ultrafiltres, et Ultraproduits

Ou comment concrétiser la notion “limite” de modèles

Filtre

: un filtre \mathcal{F} sur un ensemble I est une partie de \mathcal{P}(I) vérifiant :

  • \emptyset \not\in \mathcal{F}
  • \forall X \in \mathcal{F}, \forall Y \in \mathcal{P}(I), \, Y \supset X \Longrightarrow Y \in \mathcal{F}
  • \forall X, Y \in \mathcal{F}, \, X \cap Y \in \mathcal{F}
Ultrafiltre

: un filtre maximal (pour l’inclusion).

Ultrafiltres : remarque qualitativeIntuitivement, un ultrafiltre correspond à la donnée des “grandes” parties de I, de telle sorte que toute partie est soit “grande” (\mathcal{U}-presque sûre) soit “petite” (\mathcal{U}-négligeable) : l’“opposé” de son complémentaire.

Égalité $$\mathcal{U}$$-presque partout On définit, sur \prod_{i \in I} \mathcal{M}_i, une relation d’équivalence d’“égalité \mathcal{U}-presque partout” par : \forall M, N \in \prod_{i \in I} \mathcal{M}_i, M \overset{\mathcal{U}{\text{-pp}}}{=} N \, \, \iff \, \, \{i \in I \mid \, M_i = N_i \} \in \mathcal{U}

Ultraproduit

: L’ultraproduit \mathcal{M}^{*} des \mathcal{M}_i (i \in I) par l’ultrafiltre \mathcal{U} est le quotient de \prod_{i \in I} \mathcal{M}_i par la relation d’équivalence \overset{\mathcal{U}{\text{-pp}}}{=}. On le note \prod_{i \in I} \mathcal{M}_i \Big/ \mathcal{U}.

Théorème de Łoś Une formule est vraie dans un ultraproduit si, et seulement si, elle est vraie en presque toutes coordonnées : Si \mathcal{M}^* {\overset{ {\text{déf}}}{=}}\prod_{i \in I} \mathcal{M}_i \Big/ \mathcal{U} est un ultraproduit de \mathcal{L}-structures, \phi(x_1, \ldots, \, x_n) une \mathcal{L}-formule, et M^* = \left(\overline{M^{(1)}}, \ldots, \, \overline{M^{(n)}}\right) \in {\left(\mathcal{M}^*\right)}^n, alors : \mathcal{M}^* \vDash \phi(M^*) \iff \{i \in I \mid \, \mathcal{M}_i \vDash \phi\left(M^{(1)}_i, \ldots, \, M^{(n)}_i \right) \, \} \in \mathcal{U}

Théorèmes de Compacité et de Transfert

Théorèmes de Compacité et de Transfert

Théorème de Compacité Une théorie est satisfaisable si et seulement si elle est finiment satisfaisable.

Les $$\mathbb{F}_p$$ “tendent” vers $$\mathbb{C}$$ Pour tout P \subset \mathbb{P} infini, et tout ultrafiltre non principal \mathcal{U} sur P : L’ultraproduit de la famille des clôtures algébriques des \left(\mathbb{F}_p\right)_{p \in P} est isomorphe à \mathbb{C}.

Théorème de Transfert Toute théorie \mathcal{T} du langage des anneaux est vraie dans \mathbb{C} dès qu’elle est vraie dans les clôtures algébriques des \mathbb{F}_p, pour une infinité de nombres premiers p.

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