TIPE 2016 Résumé : Théorie des modèles

Prélude et Motivations

Ax-Grothendieck : démonstration algébrique

Nullstellensatz fort

Soient n \geq 1, m \geq 0 et \mathbb{K} un corps.

Lemme de Zariski

Soient x_1, \ldots, x_n \not\in \mathbb{K} et A ≝ \mathbb{K}[x_1, \ldots, x_n] une \mathbb{K}-algèbre de type fini (i.e finiment engendrée, en tant que \mathbb{K}-algèbre).\ Si A est un corps, alors A est algébrique sur \mathbb{K}.

Supposons que A = \mathbb{K}[x_1, \ldots, x_n] est un corps. Preuve par récurrence sur n \in \mathbb{N}^* :

  • Pour n=1 : le résultat est évident, puisque x_1^{-1} \in A = \mathbb{K}[x_1]

  • Si le résultat est acquis pour n \in \mathbb{N}^* : Par l’absurde
    on peut supposer, sans perte de généralité, que a_1 est transcendant sur \mathbb{K} (sinon, c’est trivial). Comme A est un corps, A = \underbrace{\mathbb{K}(x_1)}_{≝k[x_2, \ldots, x_n]} Pour tout i \in ⟦ 2,n ⟧ : par hypothèse de récurrence, x_i est racine d’un polynôme unitaire P_i \in k[X]. En notant D_i(x_1) (D_i \in \mathbb{K}[X]) le produit des dénominateurs des coefficients de P_i, et en posant D ≝\prod_{j=2}^n D_j en multipliant “P_i(x_i) = 0” par D(x_1)^m, pour un entier m suffisamment grand, il vient que : D(x_1) x_i est entier sur \mathbb{K}[x_1]. De plus, comme \mathbb{K}[a_1] \cong \mathbb{K}[X], il existe un polynôme irréductible Q premier avec P.

    Donc (Q(x_1))^{-1} \in A=k[x_2, \ldots , x_n] (c’est un corps), et D(x_1)^r (Q(x_1))^{-1} \in k[D(x_1) x_2, \ldots , D(x_1) x_n] pour un entier r assez grand, d’où D(x_1)^r (Q(x_1))^{-1} est entier sur \mathbb{K}[x_1].

    Or : \mathbb{K}[x_1] est factoriel (en tant qu’anneau principal), donc intégralement clos, et : D(x_1)^r (Q(x_1))^{-1} \in \mathbb{K}[x_1] d’où Q \lvert D, ce qui est absurde.

Nullstellensatz faible

Si \mathbb{K} est algébriquement clos, pour tout idéal J de \mathbb{K}[X_1, \ldots, X_n], \hbox{V}(J)=\emptyset \Longrightarrow J = \mathbb{K}[X_1, \ldots, X_n]

\hbox{V}(J) ≝\bigcap\limits_{P \in J} P^{-1}\left(\{0\}\right)

La fonction \Phi ≝\left\{ \begin{array}{lcll} & \mathbb{K}^n & \to & \big\{\text{Idéaux maximaux de } \mathbb{K}[X_1,\ldots, X_n] \big\} \\ & (a_1, \ldots, a_n) & \mapsto & \hspace{3em} \big\langle X_1-a_1 , \ldots,\, X_n-a_n \big\rangle \end{array}\right. est une bijection.\

  • Surjectivité : Soit I un idéal maximal de \mathbb{K}[X_1,\ldots, X_n]. On note A le corps \mathbb{K}[X_1,\ldots, X_n]/I.\ Le morphisme \phi ≝\left\{ \begin{array}{lcll} & \mathbb{K} & \to & A \\ & \lambda & \mapsto & \overline{\lambda} \end{array}\right. est injectif (si \lambda \in \operatorname{Ker}\phi, alors \lambda \in I, et \lambda = 0 car sinon I = \mathbb{K}[X_1,\ldots, X_n]), d’où k ≝\phi\left(\mathbb{K}\right) est un sous-corps algébriquement clos de A, et A = k\big[\overline{X_1},\ldots, \overline{X_n}\big].\ Par le lemme de Zariski, A est algébrique sur k : c’est donc k (car k est algébriquement clos), et A \overset{ \phi^{-1}}{\cong} \mathbb{K}. En posant, pour tout i \in ⟦ 1,n ⟧, a_i ≝\phi^{-1}\big(\overline{X_i}\big) \in \mathbb{K}, X_i - a_i \in I, d’où I \supset \big\langle X_1-a_1 , \ldots,\, X_n-a_n \big\rangle, et par maximalité de \big\langle X_1-a_1 , \ldots,\, X_n-a_n \big\rangle, I = \big\langle X_1-a_1 , \ldots,\, X_n-a_n \big\rangle.

  • Injectivité :

    Si \big\langle X_1-a_1 , \ldots,\, X_n-a_n \big\rangle = \big\langle X_1-b_1 , \ldots,\, X_n-b_n \big\rangle, alors pour tout i \in ⟦ 1,n ⟧ :

    a_i - b_i = X_i - b_i - (X_i - a_i) \in I d’où a_i = b_i, car sinon I = \mathbb{K}[X_1,\ldots, X_n].

Par contraposée : si J est un idéal strict de \mathbb{K}[X_1,\ldots, X_n], J est inclus dans un idéal maximal I \supset J. De fait, par bijectivité de \Phi, il existe un élément de \mathbb{K}^n en lequel s’annulent les polynômes de I, et donc de J.

Astuce de Rabinowitsch

Si \mathbb{K} est algébriquement clos, pour tous polynômes P_1, \ldots, P_m \in \mathbb{K}[X_1, \ldots, X_n], l’idéal J ≝\big\langle P_1 , \ldots,\, P_m \big\rangle vérifie : \hbox{I}\left(\hbox{V}(J)\right)=\sqrt{J}

  • \hbox{I}\left(\hbox{V}(J)\right) est l’idéal des polynômes s’annulant en chacun des éléments de \hbox{V}(J)

  • \sqrt{J} est le radical de J (i.e l’ensemble des polynômes dont une puissance appartient à J)

Soit J ≝\big\langle P_1 , \ldots,\, P_m \big\rangle \subset \mathbb{K}[X_1, \ldots, X_n].

  • \sqrt{J} \subset \hbox{I}\left(\hbox{V}(J)\right) : évident, par intégrité de \mathbb{K}.

  • \hbox{I}\left(\hbox{V}(J)\right) \subset \sqrt{J} : Soit P \in \mathbb{K}[X_1, \ldots, X_n] un polynôme non nul s’annulant en chacun des éléments de \hbox{V}(J). On se place dans \mathbb{K}[X_0,\, X_1, \ldots, X_n], et on pose \mathfrak{I} ≝\big\langle 1 - X_0 P, \, P_1 , \ldots,\, P_m \big\rangle Ainsi, \hbox{V}(\mathfrak{I}) = \emptyset, et par le Nullstellensatz faible : \mathfrak{I} = \mathbb{K}[X_0,\, X_1, \ldots, X_n] \ni 1 c’est-à-dire : 1 = (1 - X_0 P) \, Q_0(X_0, \ldots, X_n) + \sum \limits_{i=1}^m P_i \, Q_i(X_0, \ldots, X_n) {\hspace{1em} \circledast} pour des polynômes Q_0, \ldots, Q_m \in \mathbb{K}[X_0,\, X_1, \ldots, X_n]. En prenant l’image des membres de \circledast par le morphisme d’anneaux \left\{ \begin{array}{lcll} & \mathbb{K}[X_0,\, X_1, \ldots, X_n] & \to & \mathbb{K}(X_1, \ldots, X_n) \\ & Q(X_0,\, X_1, \ldots, X_n) & \mapsto & Q(1/P, \, X_1, \ldots, X_n) \\ \end{array}\right. il vient : 1 = \sum \limits_{i=1}^m P_i(X_1, \ldots, X_n) \, Q_i(1/P, \, X_1, \ldots, X_n) soit, en multipliant par P^r pour un entier r assez grand : P^r = \sum \limits_{i=1}^m P_i(X_1, \ldots, X_n) \, {\widetilde Q_i}(X_1, \ldots, X_n) \in J pour des polynômes {\widetilde Q_0}, \ldots, {\widetilde Q_m} \in \mathbb{K}[X_1, \ldots, X_n].

Ax - Grothendieck

Toute fonction polynomiale de \mathbb{C}^n dans \mathbb{C}^n qui est injective est bijective.

  • Pour les clôtures algébriques des corps finisSi \mathbb{K} est un corps fini dont \overline{\mathbb{K}} est une clôture algébrique : toute fonction polynomiale P de \overline{\mathbb{K}}^n dans \overline{\mathbb{K}}^n qui est injective est bijective.

    Par l’absurde, si P = (P_1, \ldots, P_n) : \overline{\mathbb{K}}^n \to \overline{\mathbb{K}}^n est injective mais non surjective : \forall x,y \in \overline{\mathbb{K}}^n, P(x) - P(y) = 0 \Longrightarrow x - y = 0 d’où, par le Nullstellensatz fort, en considérant la i-ème coordonnée (i \in ⟦ 1,n ⟧) : X_i-Y_i \in \sqrt{\big\langle P_i(X_1, \ldots, X_n)-P_i(Y_1, \ldots, Y_n) \big\rangle} \subset \overline{\mathbb{K}}[X_1, \ldots, X_n, \, Y_1, \ldots, Y_n] et il existe une fonction polynomiale Q : \overline{\mathbb{K}}^n \times \overline{\mathbb{K}}^n \to \overline{\mathbb{K}}^n, r \in \mathbb{N}^* tels que : \forall x,y \in \overline{\mathbb{K}}^n, \, \, \big(P(x)-P(y)\big)Q(x,y) = (x-y)^r

    Par non-surjectivité, il existe x_0 \in \overline{\mathbb{K}}^n tel que : \forall x \in \overline{\mathbb{K}}^n, P(x) - x_0 \neq 0 Donc \forall x \in \overline{\mathbb{K}}^n, \, P(x) - x_0 = 0 \, \, \Longrightarrow \underbrace{1}_{\text{ fonction constante égale à 1}}\hspace{-2.3em}(x) \hspace{1em} = 0 et de même, il existe une fonction polynomiale R : \overline{\mathbb{K}}^n \to \overline{\mathbb{K}}^n telle que : \forall x \in \overline{\mathbb{K}}^n, \, \big(P(x)-x_0 \big) \, R(x) = 1

    On note k le sous-corps de \overline{\mathbb{K}} engendré par \mathbb{K}, x_0, et les coefficients de P, Q, R : il est fini (car finiment engendré et chaque élément de k est algébrique sur \mathbb{K}, donc (lemme 6) \dim_\mathbb{K} k < \infty). Or, P peut être restreinte et corestreinte en une fonction polynomiale \widetilde{P} : k^n \to k^n, qui reste injective et non-surjective. Comme k est fini, c’est absurde.

    Polynôme et fonction polynomiale associéeComme \overline{\mathbb{K}} est infini (sinon \prod_{a \in \overline{\mathbb{K}}} \big(X-a\big) + 1 n’aurait pas de racines), on peut faire l’abus de langage de pas distinguer un polynôme et sa fonction polynomiale associée, car le morphisme d’anneaux qui à un polynôme associe sa fonction polynomiale associée est injectif (tout Q dans son noyau a une infinité de racines, et est donc nul).

     \

  • Dans \mathbb{C} : Par l’absurde, si P = (P_1, \ldots, P_n) : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n est surjective mais non injective, on produit de même des fonctions polynomiales Q : \mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n, R : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n, un complexe x_0 et un entier r \in \mathbb{N}^* tels que : \forall x,y \in \mathbb{C}^n, \, \, \left\{ \begin{array}{l l} \big(P(x)-P(y)\big)Q(x,y) &= (x-y)^r \\ \big(P(x)-x_0 \big) \, R(x) &= 1 \end{array}\right. {\hspace{1em} \circledast} On note \mathcal{E} l’ensemble formé par x_0 et les coefficients de P, Q, R; et on pose A ≝\mathbb{Z}[\mathcal{E}], dont on note I un idéal maximal.

    • Montrons que le corps A/I = \mathbb{Z}[\mathcal{E}]/I est fini :\ Supposons, par l’absurde, que le noyau du morphisme d’anneaux \phi ≝\left\{ \begin{array}{lcll} & \mathbb{Z} & \to & \mathbb{Z}[\mathcal{E}]/I \\ & a & \mapsto & \overline{a} \end{array}\right. est trivial : alors on corestreint \phi à \phi(\mathbb{Z}), et \mathbb{Z} \cong \phi(\mathbb{Z}) \subset A/I. Comme A/I est une \phi(\mathbb{Z})-algèbre finiment engendrée, c’est aussi une \mathfrak{Q}-algèbre finiment engendrée, où \mathfrak{Q} \cong \mathbb{Q}.\ Par le lemme de Zariski, A/I est algébrique sur \mathfrak{Q}. Si on écrit A/I = \phi(\mathbb{Z})[\alpha_1, \ldots, \alpha_m], on peut choisir s \in \mathbb{Z}\backslash \{0\} tel que toutes les images par \phi^{-1} des dénominateurs des coefficients des polynômes minimaux des \left( \alpha_i \right)_{i \in ⟦ 1,m ⟧} divisent s. Il vient alors que les \left( \alpha_i \right)_{i \in ⟦ 1,m ⟧}, et donc le corps A/I, sont entiers sur \phi(\mathbb{Z})[\overline{1}/\phi(s)], d’où \phi(\mathbb{Z})[\overline{1}/\phi(s)] est un corps (lemme 7), et (\overline{1}/(\phi(s)+\overline{1}) \in \phi(\mathbb{Z})[\overline{1}/\phi(s)]. Donc \overline{1} = (\phi(s)+\overline{1}) P(\overline{1}/\phi(s))P \in \phi(\mathbb{Z})[X], et pour q \in \mathbb{N} assez grand : \phi(s)^q = (\phi(s)+\overline{1}) aa \in \phi(\mathbb{Z}), ce qui est impossible, parce que tout diviseur irréductible de \phi(s)+\overline{1} divise le membre de droite mais pas de gauche.  \   \ Donc \operatorname{Ker}\phi est un idéal non trivial de \mathbb{Z}, et \operatorname{Ker}\phi = p \mathbb{Z}, pour un nombre premier p. Donc A/I est de caractéristique p, et il est isomorphe à une algèbre de type fini sur \mathbb{F}_p, laquelle est, par le lemme de Zariski, algébrique sur \mathbb{F}_p. Par le lemme 6, elle est donc un \mathbb{F}_p-espace vectoriel de dimension fini, et, de fait, de cardinal fini.

    • Les formules \circledast sont encore vraies dans une clôture algébrique de A/I : c’est impossible, car le théorème d’Ax-Grothendieck est vérifié dans les clôtures algébriques des corps finis, par le lemme introductif.

Ax-Grothendieck à l’épreuve de la théorie des modèles

Notions de base

Syntaxe

Un système formel (par exemple : le calcul des prédicats (logique du premier ordre), dans lequel on se placera dans la suite) est constitué des éléments ci-après.

Langage

C’est un ensemble de symboles de fonctions et de prédicats (ou relations) d’arités (i.e : de “nombre d’argument”) finies, ainsi que de constantes (fonctions d’arité nulle): dans la suite, on se placera sur le langage des anneaux : \mathcal{L}_{\textit{ anneaux}} = \{0,1,+,\times\}

On se donne un ensemble dénombrable de variables \{x_i\}_{i \in \mathbb{N}}.

Terme
  • une variable x_i (i \in \mathbb{N})

  • OU une constante

  • OU une fonction d’arité n \in \mathbb{N} appliquée à n termes

Formule atomique

Un prédicat d’arité n \in \mathbb{N} appliqué à n termes

Formule

Une expression construite par induction à partir des formules atomiques, et des symboles ((, ), ",") / connecteurs (\to, \leftrightarrow, \lnot, \land, \lor) / quantificateurs (\forall, \exists) de la logique, en l’occurrence, du premier ordre.

Variables liées/libres

Dans une formule, une variable quantifiée est dite liée (libre sinon).

Énoncé/formule close

Une formule ne contenant que des variables liées.

Théorie

un ensemble d’énoncés. Les théories des anneaux commutatifs, des corps, des corps algébriquement clos de caractéristique p \in \underbrace{\{\text{nombres premiers }\}}_{\text{ noté \, } \mathbb{P}}, et 0 sont respectivement :\

\begin{array}{l l l} \mathcal{T}_{\textit{ anneaux comm}} = &\big\{ & \\ & \hspace{1em} \forall x_1, \, \forall x_2, \, \forall x_3, \, & (x_1 + x_2) + x_3 = x_1 + (x_2 + x_3) \, ; \\ & \hspace{1em} \forall x_1, \, & x_1 = x_1 + 0 \, ; \\ & \hspace{1em} \forall x_1, \, \exists x_2, \, & x_1 + x_2 = 0 \, ; \\ & \hspace{1em} \forall x_1, \, \forall x_2, \, & x_1 + x_2 = x_2 + x_1 \, ; \\ & \hspace{1em} \forall x_1, \, \forall x_2, \, \forall x_3, \, & (x_1 \times x_2) \times x_3 = x_1 \times (x_2 \times x_3) \, ; \\ & \hspace{1em} \forall x_1, \, & x_1 \times 1 = 1 \times x_1 \, ; \\ & \hspace{1em} \forall x_1, \, \forall x_2, \, \forall x_3, \, & x_1 \times (x_2 + x_3) = x_1 \times x_2 + x_1 \times x_3 \, ; \\ & \hspace{1em} \forall x_1, \, \forall x_2, \, & x_1 \times x_2 = x_2 \times x_1 \, ; \\ & \big\} & \\ & & \\ \mathcal{T}_{\textit{ corps}} = &\big\{\hspace{0.5em}\forall x_1, \, \exists x_2, \, & \lnot (x_1 = 0) \longrightarrow (x_1 \times x_2 = 1) \hspace{0.5em} \big\} \\ \hspace{2.2em}\cup & \mathcal{T}_{\textit{ anneaux comm}} & \\ & & \\ \mathtt{CAC}_{p} = &\mathcal{T}_{\textit{ corps}} & \\ \hspace{1.9em}\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}^*} &\big\{ \hspace{0.5em} \forall x_1, \ldots, \forall x_n, \, \exists x_0 , \, & x_0^n + x_n x_0^{n-1} + \ldots + x_2 x_0 + x_1 = 0 \hspace{0.5em} \big\} \\ \hspace{2.4em}\cup &\big\{ \hspace{0.5em} p = 0 \hspace{0.5em}\big\} & \\ & & \\ \mathtt{CAC}_{0} = &\mathcal{T}_{\textit{ corps}} & \\ \hspace{1.9em}\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}^*} &\big\{ \hspace{0.5em} \forall x_1, \ldots, \forall x_n, \, \exists x_0 , \, & x_0^n + x_n x_0^{n-1} + \ldots + x_2 x_0 + x_1 = 0 \hspace{0.5em} \big\} \\ \hspace{2.1em}\bigcup\limits_{q \in \mathbb{P}} &\big\{ \hspace{0.5em} \lnot (q = 0) \hspace{0.5em}\big\} & \\ & & \\ \end{array}

Sémantique

Soit \mathcal{L} un langage.

\mathcal{L}-structure

Un ensemble \mathcal{M} (appelé domaine du discours) non vide, où on interprète les éléments de \mathcal{L} : i.e on choisit

  • c^{\mathcal{M}} pour chaque symbole de constante c \in \mathcal{L}

  • ET f^{\mathcal{M}} : \mathcal{M}^{n_f} \to \mathcal{M} pour chaque symbole de fonction f \in \mathcal{L} d’arité n_f

  • ET P^{\mathcal{M}} \subset \mathcal{M}^{n_P} pour chaque symbole de prédicat P \in \mathcal{L} d’arité n_P

On interprète, ainsi, les \mathcal{L}-formules atomiques closes, puis les \mathcal{L}-énoncés de manière “usuelle” à partir des formules atomiques, par induction. On dit que la \mathcal{L}-structure \mathcal{M} satisfait un énoncé \theta, qu’on note \mathcal{M} \vDash \theta, si et seulement si \theta une assertion vraie dans \mathcal{M} (après l’avoir interprété). Pour une théorie \mathcal{T} dont les énoncés sont tous vrais dans \mathcal{M}, on note, de même, \mathcal{M} \vDash \theta.

Modèle

\mathcal{M} est un modèle de l’énoncé \theta (resp. de la théorie \mathcal{T}) si, et seulement si, \mathcal{M} \vDash \theta (resp. \mathcal{M} \vDash \mathcal{T}). Les modèles de \mathcal{T}_{\textit{ anneaux comm}} sont les anneaux commutatifs, ceux de \mathtt{CAC}_{0} sont les corps algébriquement clos de caractéristique nulle.

Satisfaisabilité

une théorie \mathcal{T} est dite : satisfaisable si elle admet au moins un modèle, finiment satisfaisable si toute partie finie de \mathcal{T} est satisfaisable.

Conséquence sémantique

on dit qu’un énoncé \theta est une conséquence (sémantique) d’une théorie \mathcal{T} si : pour tout modèle \mathcal{M} de \mathcal{T}, \mathcal{M} \vDash \theta. On le note \mathcal{T} \vDash \theta.

Théorème de Compacité

Filtres, Ultrafiltres et Ultraproduits

Filtre

un filtre \mathcal{F} sur un ensemble I est une partie de \mathcal{P}(I) vérifiant :

  • \emptyset \not\in \mathcal{F}
  • \forall X \in \mathcal{F}, \forall Y \in \mathcal{P}(I), \, Y \supset X \Longrightarrow Y \in \mathcal{F}
  • \forall X, Y \in \mathcal{F}, \, X \cap Y \in \mathcal{F}
Ultrafiltre

un filtre maximal (pour l’inclusion).

Ultrafiltre principal/trivial

un ultrafiltre de la forme \mathcal{U}_{X_0} ≝\{Y \in \mathcal{P}(I) \mid Y \supset X_0 \}, pour une partie X_0 \subset I.\

Filtre de Frechet

Si I est infini, c’est l’ensemble des parties cofinies de I : \mathtt{Fr} ≝\{Y \in \mathcal{P}(I) \mid I\backslash Y \text{ est finie}\}. Il n’est pas principal (si Y \in \mathtt{Fr}, Y\backslash\{y\} \in \mathtt{Fr}, pour tout y \in Y).

Propriété de l’intersection finie

Une famille \mathcal{X} de parties de I a la “propriété de l’intersection finie” si : \forall X_1, \ldots, X_n \in \mathcal{X}, \, \bigcap_{i=1}^n X_i \neq \emptyset. Tout filtre a la propriété de l’intersection finie.

Lemmes sur les ultrafiltres

  1. Tout filtre \mathcal{F} sur I est un ultrafiltre si, et seulement si : \forall X \in \mathcal{P}(I), \, X \not\in \mathcal{F} \Longrightarrow I\backslash X \in \mathcal{F}.

  2. Tout filtre sur I est inclus dans un ultrafiltre.

  3. Toute famille \mathcal{X} de parties de I ayant la propriété de l’intersection finie est incluse dans un ultrafiltre.

  4. Si I est infini : si \mathcal{U} est un ultrafiltre non principal, il contient le filtre de Fréchet.

  5. Mesure associée à un ultrafiltre : tout ultrafiltre sur I correspond à la donnée d’une mesure finiment additive.

  1. Pour tout filtre \mathcal{F} et toute partie X telle X \not\in \mathcal{F} : \mathcal{F} \cup \{X\} n’a pas la propriété de l’intersection finie si, et seulement si, I\backslash X \in \mathcal{F}.

    • En effet : \Longleftarrow : Si I\backslash X \in \mathcal{F}, (I\backslash X)\cap X = \emptyset\ \Longrightarrow : Si \mathcal{F} \cup \{X\} n’a pas cette propriété, il existe X_1, \ldots, X_n \in \mathcal{F} tels que X_1 \cap \cdots \cap X_n \cap X = \emptyset, d’où (I\backslash X) \supset X_1 \cap \cdots \cap X_n, et I\backslash X \in \mathcal{F}
    Donc l’implication directe est acquise, et réciproquement, si
    \forall X \in \mathcal{P}(I), \, X \not\in \mathcal{F} \Longrightarrow I\backslash X \in \mathcal{F}
    \mathcal{F} \cup \{X\} ne peut être un filtre (et donc avoir la propriété de l’intersection finie) que si I\backslash X \not\in \mathcal{F}, et donc (par hypothèse) que si X \in \mathcal{F} (i.e \mathcal{F} \cup \{X\} = \mathcal{F}).
  2. L’ensemble E_{\mathcal{F}} des filtres sur I contenant \mathcal{F} est tel que tout sous-ensemble E' de E_{\mathcal{F}} totalement ordonné (pour l’inclusion) a un majorant (le filtre qu’est l’union des éléments de E', par exemple), donc, par le lemme de Zorn, E_{\mathcal{F}} a un élément maximal (un ultrafiltre).

  3. \mathcal{X} est incluse dans le filtre \mathcal{F}_{\mathcal{X}} ≝\{Y \in \mathcal{P}(I) \mid \exists X_1, \ldots, X_n \in \mathcal{X}; Y \supset X_1 \cap \cdots \cap X_n \}, lui-même inclus dans un ultrafiltre.

  4. Si \mathcal{U} contenait une partie finie X_0, il serait le filtre principal \mathcal{F}_{X_0} qu’elle engendre (il le contiendrait trivialement, et ne pourrait contenir de partie Y \not\supset X_0, car \mathcal{U} \ni (I\backslash Y) \supset X_0).\ Donc, par (A), \mathcal{U} contient toutes les parties cofinies.

  5. À tout ultrafiltre \mathcal{U} sur I, on associe la mesure finiment additive \mu_{\mathcal{U}} : \mathcal{P}(I) \to \{0, 1\} définie par : \forall X \in \mathcal{P}(I), \, \, \mu_{\mathcal{U}}(X) = 1 \iff X \in \mathcal{U} Réciproquement : si \mu : \mathcal{P}(I) \to \{0, 1\} est une mesure finiment additive, \mathcal{U}_\mu ≝\mu^{-1}(\{1\}) est un ultrafiltre.

    • En effet : La seule propriété non triviale à vérifier pour montrer que c’est un filtre est la stabilité par intersection : si \mu(X)=\mu(Y)=1, et, par l’absurde, \mu(X\cap Y) = 0 : 1 = \mu(I) \geq \mu(X \cup Y) = \mu(X\backslash (X\cap Y)) + \mu(Y\backslash (X\cap Y)) = 2.\ De plus, pour tout partie X \not\in \mathcal{U}, 1 = \mu((I\backslash X)\cup X) = \mu((I\backslash X) + \mu(X) = \mu((I\backslash X), d’où \mathcal{U} \ni (I\backslash X), et \mathcal{U} est un ultrafiltre, par (A).

    Dans la suite, on confondra un ultrafiltre et la mesure finiment additive qui lui est naturellement associée.

Ultrafiltres : remarque qualitativeIntuitivement, un ultrafiltre correspond à la donnée des “grandes” parties de I, de telle sorte que toute partie est soit “grande” (\mathcal{U}-presque sûre) soit “petite” (\mathcal{U}-négligeable). Si I est infini et \mathcal{U} non trivial, on convient que X \subset I est “grande” si, et seulement si, son complémentaire est “petit”, que toute intersection finie de parties “grandes” reste “grande” et que I tout entier est “grand”.

  \ Soient \left(\mathcal{M}_i\right)_{i \in I} une famille de \mathcal{L}-structures et \mathcal{U} un ultrafiltre sur I.

Égalité \mathcal{U}-presque partout

On définit, sur \prod_{i \in I} \mathcal{M}_i, une relation d’équivalence d’“égalité \mathcal{U}-presque partout” par : \forall M, N \in \prod_{i \in I} \mathcal{M}_i, \, \, \, M \overset{\mathcal{U}{\text{-pp}}}{=} N \iff \big\{i \in I \mid \, M_i = N_i \big\} \in \mathcal{U} \iff \mu_{\mathcal{U}}\big(\left\{i \in I \mid \, M_i = N_i \right\}\big) = 1

Ultraproduit

L’ultraproduit \mathcal{M}^{*} des \mathcal{M}_i (i \in I) par l’ultrafiltre \mathcal{U} est le quotient de \prod_{i \in I} \mathcal{M}_i par la relation d’équivalence \overset{\mathcal{U}{\text{-pp}}}{=}. On le note \prod_{i \in I} \mathcal{M}_i \Big/ \mathcal{U}.

L’ultraproduit est une $$\mathcal{L}$$-structure\mathcal{M}^* ≝\prod_{i \in I} \mathcal{M}_i \Big/ \mathcal{U} est une \mathcal{L}-structure.

C’est le cas en interprétant

  • c^{\mathcal{M}^*} ≝\overline{\left(c^{\mathcal{M}_i}\right)_{i \in I}} pour chaque symbole de constante c \in \mathcal{L}

  • f^{\mathcal{M}^*} : {\left(\mathcal{M}^*\right)}^{n_f} \to \mathcal{M}^*, \, \, \bigg(\overline{M^{(1)}}, \ldots, \, \overline{M^{(n_f)}}\bigg) \mapsto \overline{\bigg(f^{\mathcal{M}_i}\big(M^{(1)}_i, \ldots, \, M^{(n_f)}_i\big)\bigg)_{i \in I}} pour chaque symbole de fonction f \in \mathcal{L} d’arité n_f

  • chaque symbole de prédicat P \in \mathcal{L} d’arité n_P par : \bigg(\overline{M^{(1)}}, \ldots, \, \overline{M^{(n_P)}}\bigg) \in P^{\mathcal{M}^*} \subset {\left(\mathcal{M}^*\right)}^{n_P} \iff \left\{i \in I \mid \, \big(M^{(1)}_i, \ldots, \, M^{(n_P)}_i \big) \in P^{\mathcal{M}_i} \, \right\} \in \mathcal{U}

Ultraproduits : remarques qualitatives

  • Ce qui est embêtant, c’est que toutes les formules du premier ordre ne sont pas préservées par passage au produit, en général : le fait que chaque M_i (i \in I) satisfasse une formule \phi n’implique pas qu’il en est de même pour l’ultraproduit.\ Par (contre-)exemple, la disjonction “\lor” de l’énoncé "\forall x_1, \, \underbrace{(x_1 = 0)}_{\text{noté } \, A(x_1)} \lor \underbrace{(\exists x_2, \, x_1 \times x_2 = 1)}_{\text{noté } \, B(x_1)}" condamne l’ensemble des modèles de \mathcal{T}_{\textit{ corps}} à ne par être stable par produit cartésien (le connecteur “\lor” est “trop laxiste” : A(0) est vrai et B(0) est faux / A(1) est faux et B(1) est vrai : ce qui condamne A\big((0,1)\big) ET B\big((0,1)\big) à être faux !).\ En revanche, \mathcal{T}_{\textit{ anneaux comm}} a des modèles stables par produit cartésien, car ses énoncés sont des identités algébriques (i.e des clôtures par le quantificateur universel “\forall” de formules atomiques).

  • Intuitivement, un ultraproduit des structures \mathcal{M}_i (i \in I) est une forme de “moyenne”, ou d’“intégrale”, des structures calculée par rapport à la mesure “de probabilité” (seulement finiment additive, et pas \sigma-additive) associée à \mathcal{U}, de telle sorte qu’on pourrait le noter : \int_I \mathcal{M}(i) \, \mathrm d\mu_\mathcal{U}(i) Un ultrafiltre principal associé \{i_0\} est dit “trivial” car il “correspond” à une mesure de Dirac concentrée en \{i_0\} : l’“intégrale” vaut simplement \mathcal{M}_{i_0}. Si I est infini, un ultrafiltre non principal (contenant donc le filtre de Fréchet) correspond à une mesure diffuse : les résultats sont plus riches.

  • L’interprétation d’un ultraproduit en tant que que \mathcal{L}-structure est une interprétation “presque partout” relativement au produit cartésien : “un élément du produit cartésien est le représentant de l’interprétation d’une constante/de l’image par l’interprétation d’une fonction d’un n_f-uplet” OU “des éléments sont en relation dans l’ultraproduit” si c’est le cas en presque toutes coordonnées.

Théorème de Łoś

Une formule est vraie dans un ultraproduit si, et seulement si, elle est vraie en presque toutes coordonnées :\   \ Si \mathcal{M}^* ≝\prod_{i \in I} \mathcal{M}_i \Big/ \mathcal{U} est un ultraproduit de \mathcal{L}-structures, \phi(x_1, \ldots, \, x_n) une \mathcal{L}-formule, et M^* = \bigg(\overline{M^{(1)}}, \ldots, \, \overline{M^{(n)}}\bigg) \in {\left(\mathcal{M}^*\right)}^n, alors : \mathcal{M}^* \vDash \phi(M^*) \iff \left\{i \in I \mid \, \mathcal{M}_i \vDash \phi\big(M^{(1)}_i, \ldots, \, M^{(n)}_i \big) \, \right\} \in \mathcal{U}

Pour toute \mathcal{L}-formule \psi, on note I(\psi) l’ensemble \left\{i \in I \mid \, \mathcal{M}_i \vDash \psi\big(M^{(1)}_i, \ldots, \, M^{(n)}_i \big) \, \right\}.\ Par induction structurelle :

  • Si \phi est atomique, cela résulte de l’interprétation des \mathcal{L}-prédicats et \mathcal{L}-termes dans la \mathcal{L}-structure \mathcal{M}^*.

  • Si \phi = \lnot \psi, \begin{aligned} I(\phi) \in \mathcal{U} \iff& I\big\backslash I(\phi) = \left\{i \in I \mid \, \mathcal{M}_i \vDash \psi\big(M^{(1)}_i, \ldots, \, M^{(n)}_i \big) \, \right\} \not\in \mathcal{U}\end{aligned} car \mathcal{U} est un ultrafiltre. On conclut par hypothèse d’induction.

  • Si \phi = \psi \land \chi : pour que I(\phi) \in \mathcal{U}, il faut (car I(\phi) \subset I(\psi), I(\chi)) et il suffit (par stabilité par intersection) que I(\psi) \in \mathcal{U} et I(\chi) \in \mathcal{U}, puisque \mathcal{U} est un filtre. On conclut par hypothèse d’induction.

  • Si \phi(x_1, \ldots, x_n) = \exists x_0, \, \psi(x_0, x_1, \ldots, x_n) :

    • \Longrightarrow : Si \mathcal{M}^* \vDash \phi(M^*), il existe \overline{M^{(0)}} \in \mathcal{M}^* tel que \mathcal{M}^* \vDash \psi\big(\overline{M^{(0)}}, M^*\big), et, par hypothèse d’induction : \mathcal{U} \ni \left\{i \in I \mid \, \mathcal{M}_i \vDash \psi\big(M^{(0)}_i, M^{(1)}_i, \ldots, \, M^{(n)}_i \big) \, \right\} \subset \left\{i \in I \mid \, \mathcal{M}_i \vDash \exists x_0, \psi\big(x_0, M^{(1)}_i, \ldots, \, M^{(n)}_i \big) \, \right\} = I(\phi) Donc I(\phi) \in \mathcal{U}, car \mathcal{U} est un filtre.

    • \Longleftarrow : Si I(\phi) \in \mathcal{U}, pour tout i \in I(\phi) : par l’axiome du choix, il existe M^{(0)}_i \in \mathcal{M}_i tel que \mathcal{M}_i \vDash \psi\big(M^{(0)}_i, M^{(1)}_i, \ldots, \, M^{(n)}_i \big). En notant, pour tout j \in I\backslash I(\phi), M^{(0)}_j un élément quelconque de \mathcal{M}_j \neq \emptyset (avec l’axiome du choix), il vient que : M^{(0)} \in \prod_{i \in I} \mathcal{M}_i est tel que \mathcal{M}^* \vDash \psi\big(\overline{M^{(0)}}, M^*\big) par hypothèse d’induction (comme I(\phi) \in \mathcal{U}), et \mathcal{M}^* \vDash \phi(M^*) est acquis.

Pour conclure, on utilise le fait que : \forall x_0, \phi \equiv \lnot (\exists x_0, \lnot \phi); \phi \lor \psi \equiv \lnot (\lnot \phi \land \lnot \psi); \phi \longrightarrow \psi \equiv \lnot (\phi \land \lnot \psi); et \phi \longleftrightarrow \psi \equiv (\phi \longrightarrow \psi) \land (\psi \longrightarrow \phi).

Théorème de Compacité

Une théorie est satisfaisable si et seulement si elle est finiment satisfaisable.

Soit \mathcal{T} une théorie finiment satisfaisable, dont on note I l’ensemble des parties finies. Par hypothèse : pour tout i \in I, il existe un modèle \mathcal{M}_i tel que \mathcal{M}_i \vDash i.\ Pour tout \theta \in \mathcal{T}, on pose I(\theta) ≝\left\{i \in I \mid \, \mathcal{M}_i \vDash \theta \, \right\}.\ La famille \left(I(\theta)\right)_{\theta \in \mathcal{T}} est incluse dans un ultrafiltre \mathcal{U}, car elle admet la propriété de l’intersection finie (\forall \theta_1, \ldots, \theta_n \in \mathcal{T}, \, \emptyset \neq \bigcap_{k = 1}^n I(\theta_k) \ni \{\theta_1, \ldots, \theta_n\}).\ L’ultraproduit \mathcal{M}^* ≝\prod_{i \in I} \mathcal{M}_i \Big/ \mathcal{U} est alors un modèle de \mathcal{T}, puisque : si \theta \in \mathcal{T}, I(\theta) \in \mathcal{U}, d’où, par Łoś, \mathcal{M}^* \vDash \theta.

Est-il trop “fort” de recourir à l’axiome du choix ?Le recours à l’axiome du choix (équivalent au lemme de Zorn) - pour démontrer l’existence, pour tout filtre, d’un ultrafiltre le contenant ET dans le théorème de Łoś - peut paraître trop “fort”. Mais il n’en est rien : la démonstration “classique” du théorème de compacité repose sur le théorème de complétude de Gödel (“une théorie est satisfaisable si, et seulement si, elle est cohérente/consistante/non contradictoire”), qui y a aussi recours.

Corollaire du théorème de compacité Si \mathcal{T} est une théorie, \theta un énoncé tels que \mathcal{T} \vDash \theta, alors il existe une partie finie F \subset \mathcal{T} telle que F \vDash \theta

On montre la contraposée. Si, pour toute partie finie F \subset \mathcal{T} : F \not\vDash \theta, c’est-à-dire qu’il existe un modèle \mathcal{M}_F de F qui satisfait \lnot \theta, alors \mathcal{T}\cup\{\lnot \theta\} est finiment satisfaisable, et, par compacité, est satisfaisable : cela contredit “\mathcal{T} \vDash \theta”.

Löwenheim-Skolem

Löwenheim-Skolem descendant

Löwenheim-Skolem montant

Ax-Grothendieck

Catégoricité et Complétude

Théorème de transfert

Ax-Grothendieck

ANNEXE

Lemmes pour le Lemme de Zariski
Anneau factoriel

Un anneau commutatif A est dit factoriel si tout élément de A se décompose de manière unique, à ordre et association près, en un produit d’éléments irréductibles et d’un élément inversible.

Anneau intégralement clos

Un anneau intègre A est dit intégralement clos si : pour tous a,b \in A\backslash\{0\}, si a/b (élément du corps des fractions de A) est racine d’un polynôme unitaire à coefficients dans A alors a/b \in A.

Idéal maximal

Un idéal est dit maximal si tout idéal qui le contient strictement est l’anneau lui-même.

  • Lemme 1 : Caractérisation des idéaux maximauxDans un anneau commutatif A : l’idéal I est principal si, et seulement si, A/I est un corps.

    \Longrightarrow : Si I est maximal et a \in (A/I)\backslash\{0\} : en notant a_0 \in A\backslash I un représentant de a, I + a_0A = A (puisque cet idéal contient strictement I). Donc 1 = a_0 b + i, où b \in A, i \in I, et x est inversible.

    \Longleftarrow : Si A/I est un corps et I \subsetneq J \subset A : il existe a_0 \in J\backslash I, dont la classe a vérifie donc a \in (A/I)\backslash\{0\}. Donc 1 = a_0 b + i \in J, où b \in A, i \in I, et J=A.

  • Lemme 2 : Anneau Principal $$\Longrightarrow$$ FactorielTout anneau principal est factoriel.

    Soit a_0 un élément d’un anneau principal A.  \ Existence, par l’absurde : si a_0 n’a pas de décomposition, alors a_0=a_1 ba_1 \not\in A^* et b \not\in A^*, b n’ayant pas non plus de décomposition (a est irréductible). On construit alors proche en proche une famille (a_n)_{n\in \mathbb{N}} telle que a_{n+1}\big|a_n, avec a_{n+1} et a_n non associés. L’idéal \left\langle a_n \right\rangle_{n\in \mathbb{N}} est alors de la forme cA, d’où : il existe N \in \mathbb{N} tel que c \in (a_n)_{n\in ⟦ 0,N ⟧}, donc a_N\big|c\big|a_{N+1} : absurde, car a_N et a_{N+1} ne sont pas associés.

    Pour chaque élément irréductible p, \left\langle p \right\rangle est maximal, car si \left\langle p \right\rangle \subset \left\langle a \right\rangle \subset A, alors p=ab pour un b \in A, et a est une unité - d’où \left\langle a \right\rangle = A - ou b est une unité - d’où \left\langle a \right\rangle = \left\langle p \right\rangle. Donc par le lemme 1, A/\langle p \rangle est un corps. Si u p_1 \cdots p_n = v q_1 \cdots q_m {\hspace{1em} \circledast} avec n,m>0 et des notations évidentes, alors en supposant, sans perte de généralité, que \langle p_1 \rangle ne contient aucun des (\langle p_i \rangle)_{i\in ⟦ 0,n ⟧} ni (\langle q_i \rangle)_{i\in ⟦ 0,m ⟧} : p_1 est nécessairement associé à l’un des q_i, car sinon, par \circledast dans A/\langle p \rangle, la classe de zéro est non nulle. On simplifie par l’élément régulier p_1, et on conclut par élimination de proche en proche.

  • Lemme 3 : Anneau Factoriel $$\Longrightarrow$$ Intégralement closTout anneau factoriel est intégralement clos.

    Soit A un anneau factoriel, dont on note K le corps des fractions. Soit u ≝a/b \in K (où a et b sont premiers entre eux) tel que : u^n+u_{n-1}c^{n-1}+\ldots+c_0=0 En multipliant par b^n : a^n+c_{n-1}ba^{n-1}+\ldots+c_0b^n=0 Soit d un diviseur de b premier ou inversible. Si d est premier, d\lvert a^n, d’où (par théorème de Gauss) d\lvert a : ce qui n’est pas le cas (par hypothèse sur a et b). Donc d est une unité, et u\in A.

Lemmes pour le Nullstellensatz faible
  • Lemme 4 : Extension algébrique d’un corps algébriquement closUn corps algébriquement clos \mathbb{K} n’a pas d’extension algébrique propre

    Si a est un élément d’une extension de corps de \mathbb{K} algébrique sur \mathbb{K} : P(a) = 0, pour un polynôme P à coefficients dans \mathbb{K}. On conclut que a \in \mathbb{K} en utilisant le caractère scindé de P et l’intégrité de \mathbb{K}.

  • Lemme 5 : Maximalité de $$\Big\langle X_1-a_1 , \ldots,\, X_n-a_n \Big\rangle$$Pour tous a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{K}, \Big\langle X_1-a_1 , \ldots,\, X_n-a_n \Big\rangle est un idéal maximal de \mathbb{K}[X_1,\ldots, X_n]

    Le noyau du morphisme d’anneaux surjectif \phi ≝\left\{ \begin{array}{lcll} & \mathbb{K}[X_1,\ldots, X_n] & \to & \mathbb{K} \\ & P(X_1, \ldots, X_n) & \mapsto & P(a_1, \ldots, a_n) \end{array}\right. est l’idéal \Big\langle X_1-a_1 , \ldots,\, X_n-a_n \Big\rangle :\

    • En effet : il le contient évidemment, et si P \in \mathbb{K}[X_1, X_2] a pour racine (a_1, a_2) : P \, = \underbrace{P(X_1,X_2) - P(X_1, a_2)}_{= \, \, (X_2-a_2)Q(X_1,X_2) \, \, \text{, où } \, Q \in \mathbb{K}[X_1, X_2]} \hspace{1em} + \hspace{1em} \underbrace{P(X_1, a_2) - P(a_1,a_2)}_{= \, \, (X_1-a_1)R(X_1) \, \, \text{, où } \, R \in \mathbb{K}[X_1, X_2]} \in \Big\langle X_1-a_1 , X_2-a_2 \Big\rangle On conclut par une récurrence immédiate sur k \in \mathbb{N}^*, pour \mathbb{K}[X_1,\ldots, X_k]

    En factorisant \phi, il vient que \mathbb{K}[X_1,\ldots, X_n]/\left\langle X_1-a_1 , \ldots,\, X_n-a_n \right\rangle \cong \mathbb{K}, d’où \Big\langle X_1-a_1 , \ldots,\, X_n-a_n \Big\rangle est maximal.

Lemmes pour Ax-Grothendieck
  • Lemme 6 : Une $$A$$-algèbre $$B$$ de type fini et entière sur $$A$$ est un $$A$$-module finiSoit A un anneau commutatif. Une A-algèbre B de type fini (i.e : finiment engendrée en tant qu’algèbre) et entière sur A est un A-module fini (i.e : finiment engendré en tant que module)

    Toute A-algèbre B de type fini est de la forme A[x_1, \ldots, x_n] :

    • Si n = 1 : il existe un polynôme unitaire P ≝X^m + \sum\limits_{i=0}^{m-1} p_i X^i \in A[X] de degré m tel que P(x_1) = 0. Donc x_1^m = - \sum\limits_{i=0}^{m-1} p_i x_1^i, et B est finiment engendré par \big(1, x_1, \ldots, x_1^{m-1} \big) en tant que A-module.

    • Si n=2 : il existe des polynômes unitaires P_1, P_2 \in A[X] de degrés m_1, m_2 tels que : P_1(x_1) = 0 , \, \, P_2(x_2) = 0 Montrons que B est finiment engendré, en tant que A-module, par \left(x_1^i x_2^j \right)_{(i,j) \in ⟦ 0, m_1-1 ⟧ \times ⟦ 0, m_2-1 ⟧}. Pour tout P \in B = A[x_1,x_2] = (A[x_1])[x_2], P appartient, de même, au A[x_1]-module engendré par \big(1, x_2, \ldots, x_2^{m_2-1} \big). Or, A[x_1] est engendré, en tant que A-module, par \big(1, x_1, \ldots, x_1^{m_1-1} \big), donc le résultat s’ensuit.

    On conclut par une récurrence immédiate sur n \in \mathbb{N}^*, en montrant que le A-module B est finiment engendré par \left(x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n} \right)_{(i_1,\ldots,i_n) \in ⟦ 0, m_1-1 ⟧ \times \cdots \times ⟦ 0, m_n-1 ⟧} (avec des notations analogues).

  • Lemme 7 : Corps entier sur un sous-anneau commutatifSi B est un corps entier sur un anneau commutatif A \subset B, alors A est un corps.

    Soit a \in A\backslash\{0\}. a^{-1} \in B, donc il existe c_0, \ldots, c_{n-1} \in A tels que (a^{-1})^n + \sum\limits_{i=0}^{n-1} c_i (a^{-1})^i = 0, et A \ni a^{-1} = - \sum\limits_{i=0}^{n-1} c_i a^{n-i-1}.

Schéma de Vérité de Tarski

Tout commence avec le constat, faussement trivial : “Il neige” est vrai si, et seulement si il neige.

À l’aube de la création de la “théorie des modèles” : le problème, millénaire, de la notion de vérité d’un énoncé se pose. Tarski donne un critère caractérisant tout “prédicat de vérité” :

Pour i \in \mathbb{N}, on se donne des “ensembles de symboles” (dit langages) \mathcal{L}_i et \mathcal{L}_{i+1} \supsetneq \mathcal{L}_i. On se place sur un \mathcal{L}_i-système formel (ex : logique du premier ordre) :

  • \mathcal{L}_i est appelé Langage-Objet

  • \mathcal{L}_i contient (éventuellement) un prédicat de vérité “\text{vrai}_i

On se donne un :

  • \mathcal{L}_{i+1}-système formel, où : \mathcal{L}_{i+1} contient \mathcal{L}_i et est appelé métalangage pour le langage-objet \mathcal{L}_i

  • \mathcal{L}_{i+1} contient un prédicat de vérité “\text{vrai}_{i+1}” (n’appartenant pas à \mathcal{L}_i)

Pour tout \mathcal{L}_i-énoncé p : p est \text{vrai}_{i+1} ssi I_{i+1}(p) où : I_{i+1}(p) est l’interprétation de p dans le \mathcal{L}_{i+1}-système formel

(V_i) caractérise les “prédicats de vérité”, pour tout prédicat appartenant à \mathcal{L}_{i+1}\backslash\mathcal{L}_i

De quoi rend compte ce schéma de vérité

  • Le schéma (V_i) rend compte, selon Tarski, de notre intuition la plus élémentaire de la notion de vérité : quelle que soit sa position philosophique, personne ne nie l’équivalence du fait que ‘Socrate est homme’ est vrai, et du fait que Socrate soit un homme.

  • Tarski plonge \mathcal{L}_i dans un métalangage \mathcal{L}_{i+1} contenant \text{vrai}_{i+1} pour éviter le paradoxe du menteur (dû à l’autoréférence) (ex: l’adjectif “hétérologique” est-il hétérologique ou autologique ? / “Cette phrase est fausse.” : faux ou vrai ?)

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