Algèbre Linéaire : Valeurs propres imaginaires pures

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Oral

Si A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R}) a une valeur propre imaginaire pure, montrer que \exists \, S \in \mathcal{S}_n^{+}(\mathbb{R})\backslash\{0\} ; \, \, \, S A + {}^tA S = 0

  • Détermination de S : Notons i \lambda (avec \lambda \in \mathbb{R}) cette valeur propre. Comme {\rm Sp}({}^tA) = {\rm Sp}(A), il existe X \in \mathfrak{M}_{n,1}(\mathbb{R})\backslash\{0\} tel que {}^tA X \, = \, i\lambda \, X. Soit : \begin{align*} {}^tA X {}^t\overline{X} \, &= \, i\lambda \, X {}^t\overline{X}\end{align*} Et : \begin{align*} {}^tA \overline{X} {}^t X \, &= \, -i\lambda \, \overline{X} {}^t X && \text{(en conjuguant (1))} \\ \overline{X} {}^t X A \, &= \, i\lambda \, \overline{X} {}^t X && \text{(en transposant (1))} \\ X {}^t \overline{X} A \, &= \, -i\lambda \, X {}^t \overline{X} && \text{(en conjuguant (3))}\end{align*} On pose S {\overset{\small{\text{déf}}}{=}}X {}^t\overline{X} + \overline{X} {}^t X

  • S convient :

    1. S \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\backslash\{0\} :   En effet :

      • S est à coefficients réels, puisque \overline{X} {}^t X = \overline{X {}^t\overline{X}}

      • En notant i un indice tel que X_i = \|X\|_{\infty} > 0, en position (i,i) : [S]_{i,i} = 2 \|X\|_{\infty} \neq 0, donc S est non nulle.  

  1. S \in \mathcal{S}_{n}^{+}(\mathbb{R}) : En effet : pour tout Y \in \mathfrak{M}_{n,1}(\mathbb{R}) : \begin{align*} {}^t Y (X {}^t\overline{X}) Y &= \sum\limits_{i=1}^n Y_i X_i \overline{X_j} Y_j \\ &= \sum\limits_{i=1}^n Y_i X_i \overline{X_j Y_j} \\ &= \, \,\vphantom{\overline{\left( \begin{array}{c} \vphantom{\Big|}Y_1 X_1 \\ \vdots \\ Y_n X_n \\ \end{array}\right)}}^{t}\hspace{-0.3em}\overline{\left( \begin{array}{c} \vphantom{\Big|}Y_1 X_1 \\ \vdots \\ Y_n X_n \\ \end{array}\right)} \, \, \, \left( \begin{array}{c} \vphantom{\Big|}Y_1 X_1 \\ \vdots \\ Y_n X_n \\ \end{array}\right) \, \, \geq 0\end{align*}

  2. S A + {}^tA S = 0 : ⟶ (1) + (2) + (3) + (4) fournit le résultat.

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