TD3 : Caractères

EX 3.2.5.

1.

  • $ker θ_V ⊆ ker χ_V$ : OK

Réciproque :

Mq si $g ∈ G$ est tq $χ_V(g) = χ_V(g) = \dim V$ alors θ_V(g) = id_V

Comme $G$ est fini,

θ_V(g)^{\vert G \vert} = θ_V(g^{\vert G \vert}) = θ_V(1) = Id

Donc $T^{\vert G \vert} -1$ est un polynôme annulateur de $θ_V(g)$.

En particulier:

  • $θ_V(g)$ est diagonalisable (car $T^{\vert G \vert} -1$ est scindé à racines simples)
  • toutes les vp de $θ_V(g)$ sont de racine $1$.

Donc

θ_V(g) = Id_V ⟺ \text{toutes les vp de } θ_V(g) \text{ sont égales à } 1

Notons $n ≝ \dim V$, et $λ_1, ⋯, λ_n$ les vp comptées avec multiplicité de $θ_V(g)$.

Par hyp,

\sum\limits_{ i=1 }^n \underbrace{λ_i}_{= \exp(i θ_i)} = n

En particulier, en prenant la partie imaginaire:

\sum\limits_{ i=1 }^n \underbrace{\cos θ_i}_{≤ 1} = n

Donc \cos θ_i = 1 \quad ∀i et λ_i = \exp(i θ_i) = 1 \; ∀ i.

2.

Mq

\bigcap_{V ∈ \widehat{ℂ[G]}} N_V = \lbrace e_G \rbrace

En effet: on a ℂ[G] = \bigoplus_{V ∈ \widehat{ℂ[G]}} V^{\oplus \dim_ℂ V}

donc si $g ∈ \bigcap_{V ∈ \widehat{ℂ[G]}} N_V$, $g$ agit comme $id_V$ sur chacun des $V$, donc sur $ℂ[G]$.

Mais ça, ce n’est possible que si g = e_G


Soit $N \lhd G$.

On veut mq $∃ S_N ⊆ \widehat{ℂ[G]}$ tq N = \bigcap_{V ∈ S_N} N_V

1 ⟶ N ⟶ G \overset{p_N}{\twoheadrightarrow} G/N ⟶ 1

On considère $S_N$ l’ensemble des $V∈ \widehat{ℂ[G]}$ obtenus pour $V∈ \widehat{ℂ[G/N]}$ par \begin{cases} G × V ⟶ V \\ (g, v) \mapsto p_N(g) v \end{cases}

Alors N = \bigcap_{V ∈ S_N} N_V

  • $⊆$ est vraie par définition
  • $\supset$ vient de \lbrace e_{G/N} \rbrace = \bigcap_{V ∈ \widehat{ℂ[G/N]}} N_V

3.

  • $⟹$: Ok car $N_V \lhd G$ et $N_V ≠ G$ si $V ≠ 1$
  • $⟸$: tout sous-groupe normal $N \lhd G$ s’écrit $N = \bigcap_{V ∈ S_N} N_V$ pour $S_N ⊆ \widehat{ℂ[G]}$ donc

    • $N=G$ si $S_N = \lbrace 1 \rbrace$
    • $N = \lbrace e_G \rbrace$ sinon

Table des caractères de $𝔄_4$

  • $\vert G \vert$
  • classes de conjugaison
  • abélianisé et rep de l’abélianisé
  • après, il faut commencer à utiliser des méthodes “ad hoc”:

    • orthogonalité $χ_{reg}, ⋯, χ$
    • quotients non abéliens
    • induites par les sous-groupes

Cen_{𝔄_4}((a, b, c)) = \lbrace σ ∈ 𝔄_4 \mid (σ(a), σ(b), σ(c)) = (a, b, c) \rbrace = ⟨(a, b, c)⟩ (4e élément fixé)

\vert 𝔄_4/(a, b, c) \vert = 12/3 = 4

et on a 8 3-cycles donc forcément, on a 2 classes de conjugaison distinctes de 3-cycles.

De plus, si $c$ est un 3-cycle, $c$ et $c^2$ ne sont pas conjugués.

En effet: s’ils l’étaient, ils le resteraient dans tout quotient, puisque si

  • $G \twoheadrightarrow G’$
  • $g_2 = h^{-1} g_1 h$

alors $\widehat{g_2} = \widehat{h}^{-1} \widehat{g_1} \widehat{h}$

Mais dans

1 ⟶ V_4 ⟶ 𝔄_4 ⟶ ℤ/3 ⟶ 1

l’image de $𝔄_4 \ni c$ est $1 ∈ ℤ/3$, et celle de $𝔄_4 \ni c^2$ est $2 ≠ 1 ∈ ℤ/3$

Donc

  $C_1$ $C_2$ $C_3^1$ $C_3^2$
$1 = χ_1$ $1$ $1$ $1$ $1$

  • C_1 = \lbrace id \rbrace
  • C_2 = \lbrace (ab)(cd) \rbrace
  • C_3^1 = \lbrace (abc) \rbrace
  • C_3^2 = \lbrace (abc)^2 \rbrace

Abélianisé

\lbrace 1 \rbrace ⊊ D 𝔄_4 ⊆ V_4

puisque $𝔄_4/V_4 ≃ ℤ/3$ est abélien.

De plus, $D𝔄_4$ ne peut pas être d’ordre $2$, sinon on aurait $𝔄_4$ un quotient abélien d’ordre $6$, i.e. $ℤ/6$.

Or, $𝔄_4$ ne contient pas d’élément d’ordre $6$.

Donc D 𝔄_4 = V_4 et

𝔄_4 \twoheadrightarrow 𝔄_4^{ab} = 𝔄_4/V_4 ≃ ℤ/3
  $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$
$1 = χ_1$ $1$ $1$ $1$
$χ_2$ $1$ $j$ $j^2$
$χ_3$ $1$ $j^2$ $j$

Donc

  $C_1$ $C_2$ $C_3^1$ $C_3^2$
$1 = χ_1$ $1$ $1$ $1$ $1$
$χ_2$ $1$ $1$ $j$ $j^2$
$χ_3$ $1$ $1$ $j^2$ $j$
$χ_4$        

Pour la dernière ligne:

\vert G \vert = \sum\limits_{ V ∈ \widehat{ℂ[G]}} \dim V^2

i.e.

12 = 1 + 1 + 1 + n^2 ⟹ n=3
  $C_1$ $C_2$ $C_3^1$ $C_3^2$
$1 = χ_1$ $1$ $1$ $1$ $1$
$χ_2$ $1$ $1$ $j$ $j^2$
$χ_3$ $1$ $1$ $j^2$ $j$
$χ_4$ $3$      

De plus,

\underbrace{χ_{reg}}_{= \begin{cases} 12 \text{ si } g=e_G \\ 0 \text{ sinon} \end{cases}} = \sum\limits_{ V ∈ \widehat{ℂ[G]}} \dim V × χ_V \\ = χ_1 + χ_2 + χ_3 + 3 χ_4

Donc

  $C_1$ $C_2$ $C_3^1$ $C_3^2$
$1 = χ_1$ $1$ $1$ $1$ $1$
$χ_2$ $1$ $1$ $j$ $j^2$
$χ_3$ $1$ $1$ $j^2$ $j$
$χ_4$ $3$ $-1$ $0$ $0$

Les seuls sous-groupes normaux de $𝔄_4$ sont les intersections de $𝔄_4, V_4, \lbrace 1 \rbrace$, i.e. $𝔄_4, V_4$, ou $\lbrace 1 \rbrace$.

  • $N_{χ_1} = 𝔄_4$
  • $N_{χ_2} = V_4$
  • $N_{χ_3} = V_4$
  • $N_{χ_4} = \lbrace 1 \rbrace$

$𝔖_4$:

K^4 = \bigoplus_{i=1}^4 K e_i \supset K \sum\limits_{ i=1 }^4 e_i = I \text{ est la représentation triviale}
σ \cdot e_i = e_{σ(i)}

Comme $K[𝔖_4]$ est semi-simple:

K^4 = I \oplus W

où $W$ est un $K[𝔖_4]$-module $K$ de dim $3$.

χ_W = χ_{K^4} - \overline{1}
  • $χ_{K^4}(σ)$ = nb de pts fixes de $σ$
  • $χ_{W}(σ)$ = nb de pts fixes de $σ$ - 1

et

  • $χ_W(Id) = 3$
  • $χ_W((ab)(cd)) = -1$
  • $χ_W((abc)) = 0$
  • $χ_W((ab)) = 1$
  • $χ_W((abcd)) = -1$

Donc (χ_W, χ_W)_{𝔖_4} = 1, \quad (χ_W, χ_W)_{𝔄_4} = 1

EX 3.2.11: Représentation d’un produit

$G, G’$ deux groupes finis.

1.

On a déjà vu que si $V, V’$ sont deux $K[G]$-modules, sur $V \otimes V’$

g \cdot (v \otimes v') = (gv) \otimes (gv')

alors χ_{V \otimes V'}(g) = χ_V(g) × χ_{V'}(g)

On peut se ramener à ce cas en observant qu’un $K[G]$-module $V$ définit un $K[G × G’]$-module via la projection $p_G: G × G’ \twoheadrightarrow G$:

V_{\mid G × G'} = p_G^\ast V \\ (g, g') \cdot v = gv

Et

χ_{V_{\mid G × G'}}(g, g') = χ_V(g)

$V \otimes V’$ défini par

(g, g') \cdot (v \times v') = gv \times gv'

est le même que

V_{\mid G × G'} \otimes V'_{\mid G × G'}

Donc

χ_{V \otimes V'}(g) = χ_{V_{\mid G × G'} \otimes V'_{\mid G × G'}}(g) = χ_{V_{\mid G × G'}}(g) × χ_{V'_{\mid G × G'}}(g) = χ_V(g) × χ_{V'}(g)

2.

\begin{align*} (χ_{V_1 \otimes V_1'}, χ_{V_2 \otimes V_2'})_{G × G'} & = \frac{1}{\vert G × G' \vert} \sum\limits_{ (g, g') ∈ G×G' } χ_{V_1 \otimes V_1'}((g, g')) × χ_{V_2 \otimes V_2'}((g, g')^{−1}) \\ &= \frac{1}{\vert G \vert \vert G' \vert} \sum\limits_{ (g, g') ∈ G×G' } χ_{V_1}(g) χ_{V_1'}(g') × χ_{V_1}(g^{−1}) χ_{V_1'}(g'^{−1}) \\ &= \frac{1}{\vert G \vert} \sum\limits_{ g∈ G } χ_{V_1}(g) χ_{V_1}(g^{−1}) × \frac{1}{\vert G' \vert} \sum\limits_{ g'∈ G' } χ_{V_1}(g') χ_{V_1}(g'^{−1}) \\ &= (χ_{V_1}, χ_{V_2})_{G} × (χ_{V'_1}, χ_{V'_2})_{G'} \end{align*}

3.

Mq

\begin{cases} \widehat{K[G]} × \widehat{K[G']} &⟶ \widehat{K[G × G']} \\ (V, V') &\mapsto V \otimes_K V' \end{cases}

est bijective

Lemme

V \otimes_K V' ∈ \widehat{K[G × G']} ⟺ V ∈ \widehat{K[G]} \text{ et } V' ∈ \widehat{K[G']}

En effet:

(χ_{V \otimes V'}, χ_{V \otimes V'})_{G × G'} = (χ_{V}, χ_{V})_{G} × (χ_{V'}, χ_{V'})_{G'}

d’où

V ∈ \widehat{K[G]} \text{ et } V' ∈ \widehat{K[G']} ⟺ (χ_{V}, χ_{V})_{G} = 1 = (χ_{V'}, χ_{V'})_{G'} \\ ⟹ (χ_{V \otimes V'}, χ_{V \otimes V'})_{G × G'} = 1 ⟺ V \otimes_K V' ∈ \widehat{K[G × G']}

Inversement:

Comme pour tout $K[G]$-module $W$, on a (χ_W, χ_W)_G ∈ ℤ_{≥1} d’où

(χ_{V \otimes V'}, χ_{V \otimes V'})_{G × G'} = 1 = \underbrace{(χ_{V}, χ_{V})_{G}}_{∈ ℤ_{≥1}} × \underbrace{(χ_{V'}, χ_{V'})_{G'}}_{∈ ℤ_{≥ 1}}

n’est possible que si (χ_{V}, χ_{V})_{G} = (χ_{V'}, χ_{V'})_{G'} = 1

Injectivité:

Soient $(V_1, V’_1), (V_2, V’_2) ∈ \widehat{K[G]} × \widehat{K[G’]}$ tq V_1 \otimes V'_1 ≃ V_2 \otimes V'_2

Alors

(χ_{V_1 \otimes V'_1}, χ_{V_2 \otimes V'_2})_{G × G'} = 1 = \underbrace{(χ_{V_1}, χ_{V_2})_{G}}_{ = \; 0 \text{ ou } 1} × \underbrace{(χ_{V'_1}, χ_{V'_2})_{G'}}_{ = \; 0 \text{ ou } 1}

Donc (χ_{V_1}, χ_{V_2})_{G} = (χ_{V'_1}, χ_{V'_2})_{G'} = 1 et

\begin{cases} V_1 ≃ V_2\\ V'_1 ≃ V'_2 \end{cases}

Cardinalités égales:

C^{G × G'}_{(g, g')} = \lbrace (γ, γ') (g, g') (γ, γ')^{-1} \mid (γ, γ') ∈ G × G' \rbrace = \lbrace (γ g γ^{-1}, γ' g' γ'^{-1}) \mid (γ, γ') ∈ G × G' \rbrace = C^G_g × C^{G'}_{g'}

donc

\vert K[G × G'] \vert = \vert Cl(G × G') \vert = \vert Cl(G) \vert \vert Cl(G') \vert = \vert K[G] \vert \vert K[G'] \vert

Groupes non abéliens d’ordre 8

Soit $G$ un groupe non abélien d’ordre 8.

1. Son centre est isomorphe à $ℤ/2$, $G/Z(G) ≃ ℤ/2 × ℤ/2$

Mq $Z(G) ≃ ℤ/2$

Le centre est d’ordre $1, 2, 4$ ou $8$.

  • Comme $G$ n’est pas abélien, il $\vert Z(G) \vert ≠ 8$
  • $\vert Z(G) \vert ≠ 4$:

    • en effet: sinon, il serait d’ordre $2$ dans $Z(G)$, donc distingué, et le quotient $G/Z(G)$ serait cyclique (puisque d’ordre 2), donc $G$ serait abélien: faux
  • $\vert Z(G) \vert ≠ 1$, par la formule ds classes

NB: C’est un cas particulier d’une propriété sur les $p$-groupes non abéliens d’ordre $p^3$.

  • $G$ non abélien ⟹ $Z(G) ⊊ G$
  • $G$ $p$-groupe ⟹ $p$ divise $Z(G)$
  • $G/Z(G)$ n’est jamais cycliques ⟹ $p^2$ divise $[G : Z(G)]$

De plus, un groupe d’ordre $p^2$ est forcément abélien (sinon, si $\vert H \vert = p^2$ et $H$ non abélien: $\vert Z(H) \vert = p = 1$ et $\vert H/Z(H) \vert = p$. Donc $H/Z(H)$ est cyclique: impossible).

Mq $G/Z(G) ≃ ℤ/2 × ℤ/2$

Donc G/Z(G) ≃ ℤ/p × ℤ/p

car $\vert G/Z(G) \vert = p^2$ et $G/Z(G)$ non cyclique.

2.

1 ⟶ \underbrace{ℤ/2}_{ = Z(G) = \lbrace 1, z \rbrace} ⟶ G \overset{p}{⟶} \underbrace{ℤ/2 × ℤ/2}_{= \lbrace \overline{0}, \overline{a}, \overline{b}, \overline{c} \rbrace} ⟶ 1
  • $C_1 = \lbrace 1 \rbrace$
  • $C_2 = \lbrace z \rbrace$
  • $C_a ⊆ p^{-1}(a) = \lbrace a, za \rbrace$
  • $C_b ⊆ p^{-1}(b) = \lbrace b, zb \rbrace$
  • $C_c ⊆ p^{-1}(c) = \lbrace c, zc \rbrace$

Or, $a, b, c ∉ Z(G)$, donc \vert C_a \vert, \vert C_b \vert, \vert C_c \vert ≥ 2

et

  • $C_a = \lbrace a, za \rbrace$
  • $C_b = \lbrace b, zb \rbrace$
  • $C_c = \lbrace c, zc \rbrace$

  $C_1$ $C_z$ $C_a$ $C_b$ $C_c$
$1 = χ_1$ $1$ $1$ $1$ $1$ $1$

$ℤ/2$:

  $C_0$ $C_1$
$1 = χ_1$ $1$ $1$
$χ_2$ $1$ $-1$

$DG = Z(G)$

$G^{ab} = ℤ/2 × ℤ/2$

avec $\overline{a} = (0, 1), \overline{b} = (1, 0), \overline{c} = (1, 1)$

$\overline{a} + \overline{b} = \overline{c}$

  $\overline{0}$ $\overline{a}$ $\overline{b}$ $\overline{c}$
$1 = χ_1$ $1$ $1$ $1$ $1$
$χ_2$ $1$ $-1$ $1$ $-1$
$χ_3$ $1$ $1$ $-1$ $-1$
$χ_4$ $1$ $-1$ $-1$ $1$
  $C_1$ $C_z$ $C_a$ $C_b$ $C_c$
$1 = χ_1$ $1$ $1$ $1$ $1$ $1$
$χ_2$ $1$ $1$ $-1$ $1$ $-1$
$χ_3$ $1$ $1$ $1$ $-1$ $-1$
$χ_4$ $1$ $1$ $-1$ $-1$ $1$
$χ_5$ $2$ $2$ $0$ $0$ $0$
8 = 4 + n^2 ⟹ n = 2
χ_{reg} = χ_1 + χ_2 + χ_3 + χ_4 + 2χ_5

Donc χ_5(g) = \frac{-1}{2}(χ_1 + χ_2 + χ_3 + χ_4)(g) \quad \text{ si } g≠e_G

EX 3.3.1. Groupe des transformations affines de la droite

1.

N = ker(\det: G ⟶ 𝔽_q^{×})
1 ⟶ \underbrace{N}_{= \left\lbrace \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \; \middle| \; b ∈ 𝔽_q\right\rbrace} ⟶ G \overset{\det}{⟶} 𝔽_q^{×} ⟶ 1
\det : \begin{cases} G &⟶ 𝔽_q^{×} \\ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} &\mapsto a \end{cases}
(𝔽_q, +): \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & b' \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & b+b' \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Donc G = (𝔽_q, +) \rtimes (𝔽_q^{×}, ×)

2.

Soit $W ≝ Kw ∈ \widehat{K[N]}$ et notons $χ$ son caractère ($χ ≠ 1$).

K[G] \otimes_{K[N]} W = \bigoplus_{a∈ 𝔽_q^{×}} K t_a \otimes w

t_a ≝ \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

On veut calculer le caractère $ψ$ de $K[G] \otimes_{K[N]} W$ et vérifier que $(ψ, ψ)_G = 1$

Classes de conjugaison de $G$

  • C_1 ≝ \lbrace Id \rbrace
  • C_a = \left\lbrace \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \; \middle| \; b ∈ 𝔽_q, a ∈ 𝔽_q\backslash \lbrace 0, 1 \rbrace\right\rbrace
  • C_b = \left\lbrace \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{ ≝ \; U_b} \; \middle| \; b ∈ 𝔽_q\backslash \lbrace 0 \rbrace\right\rbrace
ψ(Id) = [G : N] = q-1

Et

ψ(t_a) = 0

comme $t_a$ permute les éléments de la base, et $a ≠ 0, 1$:

t_a t_a \otimes w = t_{aa'} \otimes w = t_{a'} \otimes w\\ ⟺ aa' = a'\\ ⟺ a=1

En outre :

b≠ 0 ⟹ ψ(U_b) = \sum\limits_{ a ∈ 𝔽_q^{×} } χ(a^{-1} b) = \sum\limits_{ b' ∈ 𝔽_q\backslash \lbrace 0 \rbrace } χ(b') = \underbrace{\sum\limits_{ b' ∈ 𝔽_q } χ(b')}_{= (χ, 1)_{𝔽_q} = 0} -1 = -1

car

\underbrace{(U_b t_a)}_{= t_a U_{a^{-1} b}} \otimes w = t_a U_{a^{-1} b} \otimes w\\ = t_a \otimes \underbrace{U_{a^{-1} b} w}_{ = χ(a^{-1} b) w}

(ψ, ψ)_G = \frac{1}{\vert G \vert} \sum\limits_{ g∈G } ψ(g)ψ(g^{-1}) = \frac{1}{q(q-1)} ((q-1)^2 + (q-1)×(-1)^2 + 0) = 1

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