TD2 : Produits tensoriels

EX 1.2.10

1.

2.

a) $v \otimes id: N \otimes M ⟶ N’’ \otimes M$ est surjective.

Il faut utiliser que $N’’ \otimes M$ est engendré comme $A$-module par les $n’‘\otimes m$. On conclut avec le fait que $v$ est surjective.

b) $Im(u \otimes id) = Ker(v \otimes id)$

  • $⊆$: fonctorialité
\begin{xy} \xymatrix{ N \otimes_A M \ar@{->>}[r]^{v \otimes_A Id} \ar@{->>}[d] & N'' \otimes_A M \\ N \otimes_A M/I \ar[ur] } \end{xy}

On veut mq $I ≝ Im(u \otimes id) = ker (v \otimes id)$, i.e. que $N \otimes M /I ≃ N’’ \otimes M$ est un iso.

On essaye de construire un inverse.

\begin{xy} \xymatrix{ N'' \otimes_A M \ar[r] \ar@{->>}[d] & N \otimes_A M / I \\ N'' × M \ar[ur] } \end{xy}

on fixe une $σ: N’’ ⟶ N$ tq $v \circ σ = id$ (possible car $v$ est surjective).

Puis:

(n'', m) ⟼ \overline{σ(n'') \otimes m}: N'' × M ⟶ N \otimes_A M / I

EX 1.3.4

Si

0 ⟶ M' \overset{u}{⟶} M \overset{v}{⟶} M'' ⟶ 0

est une sec de $A$-modules, mq

M \text{ est noetherien (resp. artinien)} ⟺ M' \text{ et } M'' \text{ le sont}

Preuve:

  • $⟹$:

    • pour $M’$: comme $u$ est injective, toute suite croissante de sous-modules de $M’$ en est une dans $M$, et stationne donc.

    • pour $M’’$: comme $v$ est surjective, on prend l’image inverse d’une suite de sous-modules de $M’’$, laquelle stationne donc, et reprenant l’image directe, le résultat est acquis.

  • $⟸$:

    Soit $M_0 ⊆ ⋯ ⊆ M_n$ une suite croissante de sous-modules de $M$. La suite $v(M_0) ⊆ ⋯ ⊆ v(M_n)$ stationne à partir du rang $N’’$, donc $M’ ∩ M_0 ⊆ ⋯ ⊆ M’ ∩ M_n$ stationne à partir de $N’$, qu’on peut (sans perte de généralité) supposer $N’ = N’’ ≝ N$. Donc pour $n≥ N$: 0 ⟶ M' ∩ M_n = M' ∩ M_{n+1} ⟶ M_n\overset{\text{donc}}{=} M_{n+1} ⟶ v(M_n) = v(M_{n+1}) ⟶ 0

2.

0 ⟶ M_n ⟶ \bigoplus_{i=1}^n M_i ⟶ \bigoplus_{i=1}^{n-1} M_i ⟶ 0

par induction sur $n$ en utilisant 1.

3.

Si $M$ est de type fini et $m_1, \ldots, m_r$ un système de générateurs:

\begin{cases} A^r \twoheadrightarrow M \\ (a_1, \ldots, a_r) \mapsto \sum\limits_{ i=1 }^r a_i m_i \end{cases}

comme $A$ est noetherien, $A^r$ est noetherien par 2, et $M$ est alors noetherien par 1.

Exercice 2.2.4

Les $p$-Sylow de $𝔖_3, 𝔄_4$:

$𝔖_3$

  • $\vert 𝔖_3 \vert = 2 × 3$
  1. Les 2-Sylow de $𝔖_3$ sont iso à $ℤ/2$: ce sont ceux engendrés par une transposition: il y en a $3$
  2. Les 3-Sylow de $𝔖_3$ sont iso à $ℤ/3$: ce sont ceux engendrés par les 3 cycles: il y en a $1$

Par Sylow, on sait qu’il existe un 2-Sylow $S$ dans $𝔄_4$. Mais comme les seuls éléments d’ordre $2$ ou $4$ dans $𝔄_4$ sont les produits de transposition à support disjoint:

S ≝ \lbrace Id, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(3,2) \rbrace

De plus, $S$ est normal dans $𝔄_4$.


$\vert 𝔄_4 \vert = 24/2 = 2^2 × 3$

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