Cours 2 :

Extension/restriction des scalaires

$f: A ⟶ B$ un morphisme d’anneaux commutatifs.

$M$ un $A$-module ⟶ $B \otimes_A M$ est muni d’une structure naturelle de $B$-module

Modules noetheriens / artiniens

  1. Comme
⋯ \supset p^{-2} ℤ \supset p^{-1} ℤ \supset ℤ \supset p ℤ \supset p^2 ℤ \supset ⋯

le $ℤ$-module $ℚ$ n’est ni neotherien, ni artinien.

  1. Le $ℤ$-module $ℤ$ est noetherien mais pas artinien.

Si $I_0 ≝ a_0 ℤ ⊆ ⋯ ⊆ I_n ≝ a_n ℤ ⊆ I_{n+1} ⊆ ⋯$ est une suite d’idéaux de $ℤ$, alors

a_{n+1} \mid a_n \mid ⋯ \mid a_0

Plus généralement: les anneaux principaux sont noetheriens.

  1. Le $ℤ$-module $\underbrace{ℤ[\frac 1 p]}_{≝ \lbrace \frac a p \mid a ∈ℤ, n ∈ ℤ\rbrace} / ℤ$ est artinien mais pas neotherien.

1.4.17

1.

∃ φ ∈ GL(V); \; u' = φ \circ u \circ φ^{-1} \\ ⟺ ∃ φ ∈ GL(V); \; u' \circ φ = φ \circ u

Lemme de Schur avec:

  • $A = M_n(ℂ)$
  • $M = ℂ^n$ est (le seul) $A$-module simple

alors

End_A(M) ≝ \lbrace U ∈ End(M) = M_n(ℂ) \mid ∀V ∈ A = M_n(ℂ), UV = VU \rbrace = k ≝ ℂ Id

0 ⟶ pℤ/p^2 ⟶ ℤ/p^2 ⟶ ℤ/p ⟶ 0
0 ⟶ \underbrace{k e_1}_{≃ k} ⟶ k^2 ⟶ \underbrace{k^2 / e_1 k}_{≃ k}

ex: $u ≝ \begin{pmatrix} 1 & 1
1 & 0
\end{pmatrix}: k^2 ⟶ k^2$

Groupes finis

Produit semi-direct

2 ⟹ 1: $\tilde{G}’’ = s(G’’)$

1 ⟹ 2: $u_{\mid \tilde{G}’’}: $\tilde{G}’’ ⟶ G’’$ est

  • surjectif car $G = \tilde{G}’’ ∩ G’ = \lbrace 1 \rbrace$

  • injectif car $ker(u) = \tilde{G}’’ ∩ G’ = \lbrace 1 \rbrace$

On pose $s = (u_{\mid \tilde{G}’’})^{-1}$

Exemple 2.3.7

  1. Montrer que $𝔖_4$ se dévisse en produits semi-directs de groupes cycliques.
𝔖_4 \vartriangleright 𝔄_4 \vartriangleright V_4 ≝ \lbrace (12)(34),(13)(24), (14)(23), id \rbrace \vartriangleright \lbrace (12)(34), id \rbrace

Est-ce que 1 ⟶ 𝔄_4 ⟶ 𝔖_4 ⟶ ℤ/2 ⟶ 1 est scindée ?

On construit une section

  • $s: 1 ⟼ (12)$

Est-ce que 1 ⟶ 𝔄_4 ⟶ ℤ/3 ⟶ 1 est scindée ?

On construit une section

  • $s: 1 ⟼ (123)$

Enfin, on a déjà vu que $V_4 ≃ ℤ/2 × ℤ/2$

Conclusion :

𝔖_4 = ((ℤ/2 × ℤ/2) \rtimes ℤ/3) \rtimes ℤ/3
  1. Montrer que $ℍ_8$ ne peut pas s’écrire comme produit semi-direct de deux sous-groupes non triviaux.
  • $ℍ_8 = \lbrace ±1, ±i, ±j, ±k \rbrace$

  • $i^2 = j^2 = k^2 = -1$

  • $ij = -k, \; jk=-i,\; ki=-j$

Disjonction de cas selon les sous-groupes :

  • sous-groupes d’ordre 2: c’est $\lbrace ±1 \rbrace$ ($-1$ est le seul élément d’ordre $2$ de $ℍ_8$)

On a

1 ⟶ \lbrace ±1 \rbrace ⟶ ℍ_8 ⟶ ℍ_8/\lbrace ±1 \rbrace ⟶ 1

cette suite ne se scinde pas : sinon, $s(ℍ_8/\lbrace ±1 \rbrace) ⊆ ℍ_8$ serait un sous-groupe d’ordre $4$ ne contenant pas $-1$, or tous les sous-groupes d’ordre $4$ de $ℍ_8$ sont $⟨i⟩, ⟨j⟩, ⟨k⟩$, et ils contiennent tous $-1$ (puisque $i^2=j^2=k^2=-1$)

  • sous-groupes d’ordre 4: ce sont $⟨i⟩, ⟨j⟩, ⟨k⟩$

On a

1 ⟶ ⟨i⟩ ⟶ ℍ_8 ⟶ ℍ_8/⟨i⟩ ⟶ 1

cette suite ne se scinde pas : sinon, $s(ℍ_8/⟨i⟩) ⊆ ℍ_8$ serait un sous-groupe d’ordre $2$ d’intersection triviale avec $⟨i⟩$, or, le seul sous groupe d’ordre 2 est $⟨-1⟩$, et $-1 ∈ ⟨i⟩$.

Plus rapidement, on aurait pu noter que

  • Deux sous-groupes non triviaux de $ℍ_8$ ne sont jamais d’intersection triviale puisqu’ils contiennent $-1$

  • tous les sous-groupes de $ℍ_8$ sont distingués, donc si $ℍ_8$ était PSD de deux sous-groupes, il en serait PD, or ses sous-groupes sont abéliens, et un produit de groupes abéliens est abélien. Mais $ℍ_8$ n’est pas abélien

Exemple 2.3.11

Quels sont le sous-groupe dérivé et l’abélianisé de $𝔄_n, 𝔖_n, ℍ_8$ ?

Poun $n = 2, 3, 4, ≥5$

On a toujours $ε: 𝔖_n \twoheadrightarrow \lbrace ±1 \rbrace = ℤ/2$ donc $D 𝔖_n ⊆ ker(ε) = 𝔄_n$

  • Pour $n ≥ 5$, comme $𝔄_n$ est simple (et non abélien), donc $D 𝔄_n = 𝔄_n$ et $𝔄_n^{ab} = \lbrace 1 \rbrace$

  • $D 𝔖_n \lhd 𝔄_n$, d’où $D 𝔖_n = 𝔄_n$ (car $D 𝔖_n ≠ 1$ par non abélianité de $𝔖_n$), et $𝔖_n^{ab} = ℤ/2$

  • $n=2$ : $𝔖_2 = ℤ/2, \; D𝔖_2 = \lbrace 1 \rbrace, 𝔖_2^{ab} = ℤ/2$

$n ≥ 3$:

NB: $[(abc), (bc)] = (acb)$ donc $D𝔖_n$ contient toujours les $3$-cycles, donc pour $n≥ 3$ : 𝔄_n = ⟨\text{3-cycles}⟩ ⊆ D𝔖_n ⊆ 𝔄_n donc dès que $n ≥ 3$,

  • $𝔄_n = D 𝔖_n$
  • $𝔖_n^{ab} = ℤ/2$

Pour $n=4$:

1 ⟶ V_4 ⟶ 𝔄_4 ⟶ ℤ/3 ⟶ 1

($V_4$ est un $2$-Sylow de $𝔄_4$), donc $𝔄_4/V_4 ⊆ 𝔄_4/𝔄_4^{ab}$, et

1 ⊊ D𝔄_4 ⊆ V_4

Mais $D𝔄_4$ ne peut pas être d’ordre 2, car les sous-groupes d’ordre 2 de $𝔄_n$ ne sont pas distingués.

Sinon,

1 ⟶ D 𝔄_4 ⟶ 𝔄_4 ⟶ \underbrace{𝔄_4^{ab}}_{\text{abélien d'ordre } 6 ≃ ℤ/6} ⟶ 1 mais pas d’élément d’ordre 6 dans $𝔄_4$.


$G$ un groupe fini. $Π$ un ensemble de nombres premiers divisant $\vert G \vert$ On dit que $H ⊆ G$ ss-groupe est

  • un $Π$-groupe si les seuls diviseurs de $\vert H \vert$ sont dans $Π$
  • un groupe de Hall si $gcd(|H|, [G:H]) = 1$ Montrer par rec sur $\vert G \vert$ que
  1. $G$ contient toujours des $Π$-ss groupes de Hall.
  2. deux $Π$-ss groupes maximaux sont toujours conjugués dans $G$

Ex: $𝔐_n(k)$, où $k$ est un corps commutatif, est semi-simple.

  • $M = k^{\oplus n}$
  • $A = 𝔐_n(k) = End_A(M) = kId$
  • $\dim_{A’} M = \dim_k M = n$
  • $M$ un $A$-module simple
  • $M$ est semi-simple, car simple : il suffit de mq $∀ 0 ≠ m ∈ M$, $Am = M$

    • Si $k^{\oplus n} \ni m≠0$, il existe $i$ tq $m_i ≠ 0$.

      Donc $E_{1, i} m_i = m_i e_i ∈ M ⟹ e_i ∈ M$

      Et $E_{j, i} e_i = e_j ∈ M$, d’où $M = Am$

NB: En notant $I’$ l’ensemble des $i ∈ I$ tq $e_i ≠ 0$: pour tout $I$, $I = I’$ est fini.

En effet : Si $j ∈ I’\backslash I$ et $ℑ_j$ non isomorphe aux $ℑ_i$ :

ℑ_j = A ℑ_j = \sum\limits_{ i χ I' } \underbrace{A_i ℑ_j}_{ = 0}

donc $A = \bigoplus_{i ∈ I’} A_i$


3.2.2.1 Position du problème

Corollaire 3.2.1.: théorème de structure

\begin{cases} \widehat{K[G']} ↪︎ \widehat{K[G]} \\ M' \mapsto M' \text{ où } g \cdot m' = p(g) \cdot m \end{cases}
\begin{cases} \widehat{K[G]} ≃ \widehat{K[G]} \\ M \mapsto M(χ) = M \otimes_K K ≃ M \text{ où } g \cdot m = χ(g) g \cdot m \text{ où } g \cdot m' = p(g) \cdot m \end{cases}

Attention, même si $(K, χ)$ n’est pas un module trivial, on peut avoir $M ≃ M(χ)$.


3.2.2.3. Caractères

Lemme 3.2.2 (Brauer - Nesbitt)


Pour tout $K[G]$-module

M ≃ \bigoplus_{I∈\widehat{K[G]}} I^{ν_I(M)}
χ_M = \sum\limits_{ i ∈ \widehat{K[G]}} ν_I(M) χ_I

D’où (χ_M, χ_I)_G = ν_I(M)

Et :

(χ_M, χ_M)_G = \sum_{I∈\widehat{K[G]}} ν_I(M) ν_J(M) \underbrace{(χ_I, χ_J)}_{≝ \; δ_{I, J}} \\ = \sum\limits_{ I } \underbrace{ν_I(M)^2}_{≥0}

Donc

M ∈ \widehat{K[G]} ⟺ (χ_M, χ_M)_G = 1

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