Cours 4 : Groupes, Actions de groupe, Formule de Burnside

Groupes

Groupe :

Monoïde où tout élément est inversible

Sous-Groupe :

$H ⊆ G$ sous-groupe ssi \(∀g, h ∈ H, gh^{-1} ∈ H\)

Sous-groupe distingué/normal $H ⊆ G$ :

Une des conditions équivalentes suivantes est vraie :

• $∀g ∈ G, gH = Hg$
• $∀g ∈ G, gHg^{-1} = H$
• stable par automorphismes intérieurs

Translation à gauche de $g$ :

$G ⟶ G, h \mapsto gh$

NB : n’a pas de propriétés algébriques

Conjugaison par $g$ :

\[𝜎_g : \begin{cases} G ⟶ G \\ h \mapsto ghg^{-1} \end{cases}\]

Automorphisme intérieur.

$∀ g_1, g_2∈G, 𝜎_{g_1} 𝜎_{g_2} = 𝜎_{g_1 g_2}$

\[Hom(G, Aut(G)) ∋ 𝜎 : \begin{cases} G ⟶ Aut(G) \\ g \mapsto 𝜎_g \end{cases}\]

Une relation d’équivalence “compatible” est de la forme : “∃ $H$ ss-groupe distingué” $ssi$ :

\[g_1 \sim g_2 ⟺ g_1 H = g_2 H\]

Alors $H = \overline{1}$ est un sous-groupe distingué, et \(∀g_1, g_2 ∈ G, g_1 \sim g_2 ⟺ g_1 g_2^{-1} \sim 1\)

Comme cette relation d’équivalence est une congruence, on sait que le quotient $G/\sim$ est muni d’une structure de monoïde, et la surjection canonique $𝜋$ est un morphisme de monoïdes.

\[𝜋 : \begin{cases} G ⟶ G/\sim \\ g \mapsto gH \end{cases}\]

Notation : $G/H ≝ G/\sim$

Comme $G$ est un groupe, et $𝜋$ surjective, $G/H$ est un groupe, d’élément neutre $𝜋(1)=H$, et $∀g_1, g_2 ∈G$,

\[g_1Hg_2H = (g_1g_2)H\]

Prop : Soit $𝜑 : G_1 ⟶ G_2$ un morphisme de monoïdes.

$Ker(𝜑)$ est un ss-groupe distingué. On a : $∀g, g’∈G$,

\[𝜑(g)=𝜑(g') ⟺ g Ker(𝜑) = g' Ker(𝜑)\]

$𝜑$ se factorise :

\[{\displaystyle {\begin{matrix}G_1&{\xrightarrow {𝜑}}&G_2\\𝜋 \downarrow &\nearrow \widehat{g}\\G/\sim \end{matrix}}}\]

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Question: avec une représentaiton finie, comme représenter un groupe et sa loi ?

1. Groupes libres

Présentation :

• Groupe libre à un générateur $≃ ℤ$
• $ℤ/nℤ = ⟨x \vert x^n=1⟩$
• Groupe diédral $D_{2n} ≃ ⟨𝜌, 𝜎 \vert 𝜌^n=1, 𝜎^2=1, 𝜎𝜌𝜎^{-1}=𝜌^{-1}⟩$ :
  • rotation d’angle $\pm 2𝜋/3$
  • 3 symétries

Un groupe s’écrit comme un quotient d’un groupe libre $L/R$.

ex : $SL_2(ℤ)$ : groupe libre avec $2$ générateurs :

$S = \begin{pmatrix}0 & -1 \ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $T = \begin{pmatrix}1 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. Groupes abéliens libres de type fini

Groupes isomorphes à $ℤ^n$

Thm de classification pour les groupes abéliens (de type fini).

3. Groupes finis

Groupe symétrique :

$𝕾_n$ : bijections de $⟦1,n⟧$ munies de la composition.

Groupe utilisé pour classifier “modulo le nom des éléments”.

Ordre de $g∈G$:

ordre du sg $⟨g⟩$

Thm de Lagrange : Soit $G$ un groupe fini d’ordre $n$, $g∈G$. L’ordre de $g$ divise $n$.

Plus généralement : si $H$ est un sg de $G$, $\vert H \vert / \vert G \vert$

Preuve : On définit sur $G$ la relation : si $g, g’∈G$,

\[g\sim g' ⟺ ∃h∈H; g = g'h\]

• $\sim$ est une relation d’équivalence
  • réflexivité : $h=1$
  • symétrie : on multiplie par $h^{-1} ∈ H$
  • transitivité : $hh’∈H$ si $h,h’∈H$

• Soit $g∈G$, $\overline{g}$ sa classe d’équivalence. Soit

  \[\begin{cases} H ⟶ \overline{g} \\ h \mapsto gh \end{cases}\]

  Cette application est surjective par déf de $\sim$, et est injective car $gh = gh’ ⟹ h=h’$, en multipliant à gauche par $g^{-1}$.

  Donc c’est une bijection, et $\vert \overline{g} \vert = \vert H \vert$

Ainsi,

$$G = k

H

$$, où $k$ est le nb de classes à gauche.

3. Groupe opérant sur un ensemble.

Opération de de $G$ sur l’ensemble $E$ :

c’est la donnée d’une application

\[\begin{cases} G\times E ⟶ E \\ (g,x) \mapsto g\cdot x \end{cases}\]

telle que :

• $∀x∈E, 1\cdot x = x$ ($1$ opère comme $id$ sur $E$)
• $∀g, g’∈E, ∀x∈G, g\cdot (g’ \cdot x) = (gg’)\cdot x$

NB : Si $G$ opère sur $E$, $g$ étant dans $G$ : l’opération de $g$ sur $E$ définit une bijection dont l’inverse est définie par l’opération de $g^{-1}$.

• $∀g∈G, ∀x∈E, g\cdot (g’ \cdot x) = (gg’)\cdot x = 1\cdot x = x$
• $∀g∈G, ∀x∈E, g’\cdot (g \cdot x) = (g’g)\cdot x = 1\cdot x = x$

On peut donc définir une application

\[𝜑 ≝ \begin{cases} G ⟶ 𝕾(E) \\ g \mapsto g\cdot \bullet \end{cases}\]

$∀g∈G$, 𝜑(g) est la bijection de $E$ définie par

\[∀x∈E, 𝜑(g)(x) = g\cdot x\]

Prop : $𝜑$ est un morphisme de groupes.

Preuve :

• $𝜑(gg’)(x) = (gg’)\cdot x$
• $(𝜑(g)\circ 𝜑(g’))(x) = 𝜑(g)(𝜑(g’)(x)) = g\cdot(g’\cdot x)$

donc

\[𝜑(gg') = 𝜑(g)\circ 𝜑(g')\]

Réciproquement : tout morphisme $𝜑$ de $G$ dans $𝕾(E)$ définit une opération de $G$ sur $E$ :

\[\begin{cases} G\times E ⟶ E \\ (g,x) \mapsto g\cdot x ≝ 𝜑(g)(x) \end{cases}\]

On a aussi 2 définitions équivalentes :

Prop : une opération de $G$ sur $E$ définit une relation d’équivalence sur $E$.

Si $x, y ∈E$ :

\[x\sim y ⟺ ∃g∈G; x=g\cdot y\]

NB: Les classes d’équivalence pour cette relation sont appelées des orbites.

Prop : Soit $G$ un groupe qui opère sur $E$, soit $x∈E$ et $𝜔_x ≝ \lbrace y∈E \vert y\sim x \rbrace$ l’orbite de $x$.

On appelle stabilisateur de $x$ le sous-groupe : \(H_x = \{g ∈ G | g\cdot x = x\}\)

L’application

\[\begin{cases} G ⟶ 𝜔_x \\ g \mapsto g\cdot x \end{cases}\]

est une application surjective telle que :

\[∀g, g'∈G, g\cdot x = g'\cdot x ⟺ ∃h∈H_x; g = g'h\]

On en déduit que, si $G$ est d’ordre fini :

\[|G| = |H_x||𝜔_x|\]

Preuve :

• $H_x$ est un sous-groupe
  • $1∈H_x$
  • stable par produit et par passage à l’inverse

L’application

\[𝜗 ≝ \begin{cases} G ⟶ 𝜔_x \\ g \mapsto g\cdot x \end{cases}\]

est surjective.

NB : En théorie des catégories, on note (surjection) $G \twoheadrightarrow 𝜔_x$.

$g, g’∈G$.

\[𝜗(g) = 𝜗(g') ⟺ g^{-1}g' ∈ H_x ⟺ ∃h∈H_x; g' = gh\]

On définit la relation d’équivalence $≡$ :

\[g≡g' ⟺ g\cdot x = g'\cdot x\]

La classe d’éq de $g$ est

\[gH_x = \{gh | h∈H_x\}\]

$gH_x$ est en bijection avedc $H_x$ :

\[\begin{cases} gH_x ⟶ H_x \\ gh \mapsto h \end{cases}\]

On peut alors quotienter par $≡$, et $G/≡ ≃ 𝜔_x$ (on a factorisé par la relation “avoir la même image par $𝜗$”)

Soit $k$ le nombre classes d’éq pour $≡$ (classes à gauche).

On a

\[|G| = k |H_x|\]

et

\[k = |G/≡| = |𝜔_x|\]

Ex : dénombrement de graphes, à numérotation des sommets (isomorphisme de graphes) près :

graph graphe1 {
     a -- b;
     c;
 }

$\sim$

graph graphe1 {
     a -- c;
     b;
 }

Fixateur $Fix(g)$ de $g∈G$ agissant sur $E$ :

Notion duale du stabilisateur : ensemble des points fixes de $g$ dans $E$.

Formule (qui n’est pas) de Burnside : Soit $G$ un groupe fini opérant sur un ensemble fini $E$.

Soit $k = \vert E/G\vert$ le nombre d’orbites de $E$ sous l’opération de $G$.

\[k = \vert E/G\vert = \frac{1}{|G|}\sum\limits_{g∈G}|Fix(g)|\]

Preuve : On procède par double comptage.

Soit

\[X≝\{(g,x) \vert g∈G ∧ x∈E ∧ g\cdot x =x \}\]

On étudie le cardinal de $X$ en partitionnant selon $G$ puis selon $E$ :

• \[X = \bigsqcup\limits_{x∈E} \underbrace{\{(g,x) \vert g∈G ∧ g\cdot x = x \}}_{ = \{(g,x) | g∈Stab_G(x) \}}\]

\[|X| = \sum\limits_{x∈E} |Stab_G(x)|\]

Soit $x∈E, 𝜔_x$ son orbite.

On sait que :

\[|G| = |𝜔_x||Stab_G(x)|\]

donc

\[|Stab_G(x)|= \frac{|G|}{|𝜔_x|}\] \[|X| = \sum\limits_{𝜔∈E|G}(\sum\limits_{x∈𝜔} |Stab_G(x)|) \\ = \sum\limits_{𝜔∈E|G}(\sum\limits_{x∈𝜔} ) \\ = \sum\limits_{𝜔∈E|G}(|𝜔| |G|/|𝜔|) = |G|k\\\]

2.

\[X = \{(g,x) | g∈G, x∈E, g\cdot x = x\} \\ = \bigsqcup_{g∈G} \{(g,x) | x∈E, g\cdot x = x\} \\ = \bigsqcup_{g∈G} \{(g,x) | x∈Fix(g)\}\\ = \bigsqcup_{g∈G} |Fix(g)|\\\]

Ex :

Colliers à $n$ perles, $k$ couleurs : combien de colliers ?

Si on numérote les perles, on a $k$ choix par perle donc $k^n$ choix.

$ℤ/nℤ$ opère sur l’ensemble des “colorations numérotées”.

Le nb de colliers est le nb d’orbites sous l’action de $ℤ/nℤ$.

ex :

• $n=7$, $k=2$ : \(2^7 = |\{rouge, bleu\}^{⟦1,7⟧}|\)

  Dans $ℤ/7ℤ$ : tous les éléments sont d’ordre $7$ sauf $0$ (d’ordre $1$).

  Donc :

  • $Fix(0) =\lbrace rouge, bleu\rbrace^{⟦1,7⟧}$
  • $∀i≠0, Fix(i) = \lbrace colliers monochromes \rbrace$

  Nb de colliers :

  \[\frac 1 7 \sum\limits_{i=0}^6 |Fix(i)| \\ = \frac 1 7 (2^7 + 6×2) \\ = 20\]